“做數(shù)學(xué)”促進學(xué)生空間觀念發(fā)展

摘要：空間觀念的核心是空間想象，本質(zhì)是形成空間思維，想象和思維連接并直達創(chuàng)新與創(chuàng)造。如果沒有適當訓(xùn)練，大多數(shù)人的空間觀念只能停留在原始層面而得不到發(fā)展?！白鰯?shù)學(xué)”是促進學(xué)生空間觀念發(fā)展的重要途徑，學(xué)生運用材料和工具在手腦并用的具身學(xué)習(xí)中，對空間圖形及其關(guān)系產(chǎn)生直覺，理解數(shù)學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，創(chuàng)造性解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。“做數(shù)學(xué)”促進學(xué)生空間思維進階的基本樣態(tài)是操作體驗、數(shù)學(xué)實驗和綜合實踐，通過“實物識別”“認識圖形”“分析圖形”“解構(gòu)圖形”等活動，幫助學(xué)生建立空間表象，發(fā)展空間想象，形成空間推理。

關(guān)鍵詞：“做數(shù)學(xué)”? 空間觀念? 操作體驗? 數(shù)學(xué)實驗

引用格式：孫學(xué)東.“做數(shù)學(xué)”促進學(xué)生空間觀念發(fā)展[J].教學(xué)與管理，2022（06）：90-93.

空間觀念是個體對空間、圖形及其關(guān)系的直覺，是一種對四周環(huán)境及對環(huán)境中物體形狀的幾何觀點。現(xiàn)實中，空間觀念所啟示的對象及結(jié)果有趣且有重要價值，已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)領(lǐng)域。隨著計算機技術(shù)的普及，幾何語言成為日常生活中非常重要的工具，也促進了空間觀念在其他領(lǐng)域的廣泛遷移。事實上，空間觀念的核心是空間想象，本質(zhì)是形成空間思維，想象和思維連接并直達創(chuàng)新與創(chuàng)造。因此，相對傳統(tǒng)意義上的數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何，空間觀念的發(fā)展對義務(wù)教育階段學(xué)生而言是更為迫切的需要。

一、“做數(shù)學(xué)”在學(xué)生空間觀念發(fā)展中的作用

一線數(shù)學(xué)教育工作者往往認為：“學(xué)生空間觀念的差異是天生的，后天難以改變?！毖芯勘砻鳎绻麤]有適當?shù)挠?xùn)練，大多數(shù)人的空間觀念是不會發(fā)展的，只能停留在原始的層面上[1]。中小學(xué)生空間思維的差異很大，比如用平面截正方體后所得截面的形狀，空間思維能力好的學(xué)生理所當然認為可以有三角形、四邊形、五邊形和六邊形;大部分學(xué)生會認識到除了四邊形，還可能有三角形;而空間思維能力較弱的學(xué)生無論如何只能想到四邊形。

學(xué)生形成空間觀念的困難在于：難以直接感知周圍環(huán)境和實際物體，難以領(lǐng)悟二維圖形與三維圖形及其相互關(guān)系，難以感悟圖形變換及其性質(zhì)。如同不可能讓學(xué)生在書本里學(xué)會游泳，在PPT里發(fā)現(xiàn)理化生實驗結(jié)果一樣，發(fā)展學(xué)生空間觀念不可能只通過教師講解和反復(fù)解題，更需要學(xué)生的動手操作和親身體驗。正如弗賴登塔爾在論及空間思維的發(fā)展時所說：“把學(xué)生在物理空間的具體活動，通過抽象、繪圖、做出模型等有限步驟達到幾何直覺的最高階段的道路清晰描繪出來，是有巨大的教育學(xué)方面的好處的?！?/p>

“做數(shù)學(xué)”是以“做”為支架的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，學(xué)生運用材料和工具，在手腦協(xié)同的過程中，理解數(shù)學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，創(chuàng)造性解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2]。由此看來，“做數(shù)學(xué)”于發(fā)展學(xué)生空間觀念而言并不是新鮮的學(xué)習(xí)方式，而是必然的學(xué)習(xí)需求，只是“聽中記”“題中熟”的學(xué)習(xí)方式泛濫，淹沒了應(yīng)有之意的“做數(shù)學(xué)”。

二、“做數(shù)學(xué)”發(fā)展學(xué)生空間觀念的要求

空間觀念由一系列通過構(gòu)建與運用心像來表征空間物體、關(guān)系與變換的認識過程組成，學(xué)生空間觀念的發(fā)展需經(jīng)過對他們所看到的圖形形狀及特征的了解、抽象、概括、分析與綜合的過程，因此，只有在充分認識幾何世界的基礎(chǔ)上，學(xué)生的空間觀念才可能更為完備。空間觀念的發(fā)展是一個思維進階的過程，表現(xiàn)為空間感知、空間表象、空間想象和空間推理等認知水平的階段性遞進發(fā)展。

不同認知階段學(xué)生空間觀念發(fā)展的任務(wù)和內(nèi)容載體不同，“做數(shù)學(xué)”的任務(wù)、活動及必要工具也不同（見表1）。

三、“做數(shù)學(xué)”促進學(xué)生空間思維進階的基本形態(tài)

“做數(shù)學(xué)”通過操作體驗、數(shù)學(xué)實驗及綜合實踐等形式，經(jīng)過實物識別、認識圖形、分析圖形和解構(gòu)圖形的過程，實現(xiàn)空間思維進階（如圖1）。以學(xué)生空間思維的階段性表征為線索，闡述“做數(shù)學(xué)”在發(fā)展學(xué)生空間思維中的實踐內(nèi)涵及價值效果。

1.操作體驗：操作實物，建立空間表象

空間表象的基礎(chǔ)是空間感知，即在大量空間知覺的基礎(chǔ)上，形成關(guān)于物體和圖形的形狀、大小及相互位置關(guān)系的印象?！皟和闹腔墼谥讣狻?，然而數(shù)學(xué)對象及內(nèi)容的高度抽象性，容易忽視小學(xué)低年級學(xué)生的認知需要經(jīng)歷對實物的觀察、觸摸和描畫等直觀感知階段。忽視這一點，實際是忽視了學(xué)生由具體到抽象的空間感知和圖形抽象的過程，如此學(xué)生圖形識別等空間表象能力的發(fā)展就會受到制約。比如正方體的主視圖，學(xué)生實際認可的往往是圖2，至于后期解決類似問題時又認為是正方形，多是在習(xí)題的反復(fù)訓(xùn)練中記憶與模仿的結(jié)果。

操作實際物體，可以讓學(xué)生在“做”中真實而深刻地認識圖形、理解圖形，真正意義上完整地經(jīng)歷感知空間—抽象圖形—建立空間表象的過程。

案例1.把平的面請到紙上

目標：經(jīng)歷空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的過程。

實物：積木、印泥和釘子板等。

步驟：（1）印一印、描一描。用印或描的方法將積木的面請到紙上。（2）分一分。將印或描出來的圖形分類，并命名。（3）圍一圍。在釘子板上將印或描出的圖形用橡皮筋圍出來。

案例2.“折出”正方形和長方形的特點

目標：通過實踐操作，發(fā)現(xiàn)正方形和長方形的特點，同時積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

實物：彩紙、直尺、三角板和釘子板等。

步驟：（1）折一折、量一量。通過折正方形、長方形，觀察邊和角的特點，再用直尺、三角板測量驗證。（2）圍一圍。在釘子板上用橡皮筋圍出正方形和長方形，通過移動橡皮筋將正方形和長方形分別變?yōu)殚L方形和正方形。（3）說一說。說出前兩個活動中自己的發(fā)現(xiàn)、可能的理由。能不能用釘子板圍一個圓？

操作體驗促進空間思維發(fā)展的內(nèi)涵：案例1用積木印出一些面，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從立體到平面、從具體到抽象的過程，以此認識基本的平面圖形。在這些具體的實驗活動中學(xué)生領(lǐng)悟到周圍環(huán)境中的立體實物有不同的面，這些面通過描畫在紙上，就抽象為數(shù)學(xué)的研究對象。案例2用折一折、量一量、圍一圍的實驗探索長方形和正方形的特點，進一步從性質(zhì)特征的角度加深對圖形的認識。同時也積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，即以后再研究其他圖形特征時可以通過類似的方式研究圖形的邊、角關(guān)系。

認識圖形是一個感知、抽象的過程，不僅是讓學(xué)生區(qū)別圖形和名稱概念，更重要的是通過認識圖形學(xué)會根據(jù)圖形特點進行分類。學(xué)生容易區(qū)分差異大的圖形，比如三角形和四邊形;差異較小的圖形區(qū)分就有困難，比如長方形和正方形。正方形是長方形的特例，僅僅記住定義是不行的，必須動手操作，在操作的過程中從本質(zhì)上認識圖形的特征，積累包括思維層面、實踐層面的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。這些特征往往是圖形間對比的結(jié)果，這種對比是分類標準建立的過程，比如釘子板能圍出圓嗎？

2.數(shù)學(xué)實驗：實驗思考，發(fā)展空間想象

心理學(xué)把人對頭腦中已有表象進行改造，創(chuàng)造出新形象的過程稱作想象。沒有想象，很難談到對現(xiàn)實世界的了解與把握，很難談到發(fā)明與創(chuàng)造，因此發(fā)展學(xué)生的空間觀念一定要重視想象。空間想象就是以現(xiàn)實世界為背景，對頭腦中已有的幾何表象進行加工改造，創(chuàng)造新形象的過程?？臻g想象是建立空間觀念的核心，它表征為建立并操縱二維和三維物體的心智，從不同角度觀察物體的能力，既包括從現(xiàn)實物體到平面圖形的抽象，也包括從平面圖形到現(xiàn)實物體的想象。

案例3 .從不同方向觀察物體

實驗?zāi)繕耍航?jīng)歷不同方向觀察物體的過程，把三維空間的圖形轉(zhuǎn)化為二維圖形;由平面圖形想象空間圖形，實現(xiàn)二維向三維的轉(zhuǎn)化。

實驗工具：正方體、圓柱體、長方體、圓錐、三棱錐、四棱錐等積木若干，正方形塑料片若干，橡皮泥若干。

實驗步驟：（1）擺一擺，畫一畫。用4個正方體積木搭出“L”形，再從這個物體的前面、右面和上面觀察，借助擺正方形塑料片或者在方格紙上畫圖等方式，將每次看到的“樣子”擺或畫出來。（2）反方向擺一擺，畫一畫。用這4個正方體積木搭出反“L”形物體，同樣從三個面觀察，用正方形塑料片擺或在方格紙上畫看到圖形的“樣子”。（3）議一議，擺一擺。給定一個方向觀察到的形狀，擺出可能的物體;給定兩個方向觀察到的形狀，擺出可能的物體;給定三個方向觀察到的形狀，擺出可能的物體。（4）想一想，堵一堵。選擇積木堵一堵圖3中的正方形、圓和三角形，如果只堵其中一種，你有什么發(fā)現(xiàn)？如果只堵其中兩種呢？將三種都堵上呢？如果沒有你所需要的積木，請用橡皮泥設(shè)計一個你認為可以的立體圖形。

數(shù)學(xué)實驗促進空間思維發(fā)展的內(nèi)涵是用同樣的小立方體拼搭成組合體，從組合體的前面、右邊和上面觀察，想象觀察的圖形，這是形成空間想象力的基礎(chǔ)。這個實驗的關(guān)鍵，首先是觀察方法的規(guī)范;其次是用正方形拼出看到的圖形，在方格中畫出看到的圖形，實現(xiàn)“思維的可視”，促進學(xué)生的想象;最后是通過比較，引導(dǎo)學(xué)生感悟?qū)τ诓煌奈矬w觀察到的面的形狀相同或不同。步驟（3）是給出從某個方向看應(yīng)該看到的樣子，讓學(xué)生用4個小正方體積木搭出符合特征的物體，交流匯總，學(xué)生能搭出多種不同的物體，但從每個方向看到形狀都相同;增加一個方向看到的形狀，符合的搭法少了;再增加一個方向看到的形狀，符合的搭法只有1種。步驟（4）是進一步由二維到三維的空間想象，尤其是設(shè)計出同時能堵住正方形、圓和正三角形的立體圖形，具有較大的挑戰(zhàn)性，學(xué)生必須在前面三步實驗操作形成空間圖形表象的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生新的表象，同時感悟到從三個面看能夠唯一確定立體圖形。設(shè)計出或者認識到如圖4的立體圖形表明學(xué)生已經(jīng)建立了較好的想象力。

空間想象是對頭腦中已有空間表象進一步抽象的存在，也就是說它不是看到過的具體物體的復(fù)制，而是頭腦中存在的抽象了的圖形，正如鄭板橋所謂“其實胸中之竹，并不是眼中之竹也”。對已有空間表象的加工、改造和結(jié)合往往有一個頓悟和豁然開朗的過程，這個過程就是空間想象建立的過程，數(shù)學(xué)實驗可以促進這種想象力的產(chǎn)生。

3.綜合實踐：實踐探究，形成空間推理

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是生活生產(chǎn)中最常用的思維方式，空間推理是在對空間圖形進行結(jié)構(gòu)分解基礎(chǔ)上，對結(jié)論的有邏輯的判斷、驗證和分析，它不僅表現(xiàn)為結(jié)論的獲得，還表現(xiàn)為新問題的發(fā)現(xiàn)和提出。數(shù)學(xué)實驗有助于空間推理能力的發(fā)展和新問題的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造。

案例4.探究正方體截面的形狀

綜合實踐目標：通過“水”立方探索正方體截面的形狀，發(fā)展空間推理能力和發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。

綜合實踐任務(wù)：探究正方體截面的形狀。生活中很多富有美感的物體都是基本圖形的組合，比如造型各異的鉆石就是原石經(jīng)切割、打磨而成的。制作前的設(shè)計需要有很好的想象力，比如一個正方體沿平面切一刀，截面會是什么形狀？

綜合實踐活動：如果不能準確的想象出結(jié)果，可以做具體的實踐活動，比如設(shè)計替代物進行實踐探究。

綜合實踐工具：兩類含水量不同的“水”立方若干個。

綜合實踐步驟：（1）猜想：用一個平面截正方體，所得截面形狀有哪些？能否設(shè)計工具在“做”中發(fā)現(xiàn)結(jié)論？（2）操作“水”立方，觀察水面會有哪些形狀，與你的猜想是否一致，據(jù)此你能提出哪些新的猜想？能說明你的猜想的合理性嗎？（3）觀察水面呈現(xiàn)的四邊形的特點，并說明理由。（4）類比四邊形，說說五邊形、六邊形截面的幾何特征。（5）操作水立方，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

綜合實踐促進空間思維發(fā)展的內(nèi)涵是：正方體截面的形狀是一個空間思維要求比較高的問題，僅僅憑借抽象的思考，學(xué)生很難想通，更難以發(fā)現(xiàn)截面形狀深層次的結(jié)構(gòu)特征。“水”立方數(shù)學(xué)實驗工具把水面當成正方體的截面，通過調(diào)節(jié)“水”立方的擺放方式，可以直觀觀察正方體截面的形狀。同時，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，水面和正方體的每個面相交都形成了截面的一條邊，正方體有六個面，所以截面最多是六邊形。步驟（3）是對具體截面幾何特征的深入觀察：截面四邊形可以是正方形、平行四邊形、菱形、梯形、等腰梯形，好像都至少有一組對邊互相平行，進而推理出正方體任意4個面中至少有兩個面是相對的，它們互相平行，觀察發(fā)現(xiàn)和它們相交的截面也是平行的。進一步推理：截面是五邊形時，5個面里至少有2組面是相對面，所以五邊形截面有兩組邊互相平行。步驟（5）引導(dǎo)學(xué)生進一步發(fā)現(xiàn)，水量少的“水”立方呈現(xiàn)不出六邊形水面，水量多的“水”立方呈現(xiàn)不出三邊形水面，那么，形成六邊形（三角形）的最少（最多）水量分別是多少呢？如果正方體的截面圖形是三角形，切割后的立體圖形會是怎樣的？四邊形、五邊形、六邊形呢？

直觀想象能力是空間思維的核心，學(xué)生的空間思維往往表現(xiàn)為“理所當然如此”，也常處于“知其然不知其所以然”的狀態(tài)，“做數(shù)學(xué)”不僅讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而且通過空間推理認識結(jié)論的合理性不是偶然而是必然，同時進一步發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，并深入推理論證。

實物識別、圖形認識、圖形分析和圖形解構(gòu)等空間認知水平在同一個體中有時是交錯共存的，即同一學(xué)生在某種場合下表現(xiàn)出此種水平，而在另一情境中又可能表現(xiàn)出其他水平。因此，“做數(shù)學(xué)”促進學(xué)生空間思維進階，并不是嚴格意義上的階段劃分，而是一般狀態(tài)下，學(xué)生空間思維發(fā)展的階段描述，目的是藉由“做數(shù)學(xué)”更清晰地認識空間思維發(fā)展的意義、認知狀態(tài)和形成過程。

參考文獻

[1] 鮑建生.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009：281.

[2] 董林偉.數(shù)學(xué)實驗：初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的變革[J].全球教育展望，2020，49（09）：103-115.

[作者：孫學(xué)東（1977-），男，安徽肥東人，江蘇省無錫市教師發(fā)展學(xué)院，副主任，中學(xué)高級職稱，碩士。]

該文為2019年江蘇省基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革實驗重大項目“數(shù)學(xué)實驗：義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科育人的創(chuàng)新實踐”、江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度重點自籌課題“初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生高階思維能力的行動研究”（B/b2018/02/08）的研究成果