基于分段常數(shù)水平集方法的聲振耦合系統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化

苗曉飛， 趙文暢， 陳海波

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代力學(xué)系 中國科學(xué)院材料力學(xué)行為與設(shè)計重點實驗室，合肥 230026)

近些年來，結(jié)構(gòu)振動和聲學(xué)優(yōu)化問題因其在結(jié)構(gòu)減振降噪方面的重要應(yīng)用前景而成為國際上的研究熱點之一[1]，減少結(jié)構(gòu)關(guān)鍵區(qū)域的振動與聲輻射的研究工作也屢見不鮮。拓?fù)鋬?yōu)化作為一種靈活的結(jié)構(gòu)優(yōu)化手段，可以從本質(zhì)上改變結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫问剑跐M足工作要求的前提下改善結(jié)構(gòu)性能和減輕結(jié)構(gòu)質(zhì)量，經(jīng)濟且美觀，已成為近年來結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域研究的熱點。

1988年，Bends?e等[2]首先提出將均勻化方法引入到連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化中，揭開了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的開端。在此之后，變密度法、漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(evolutionary structural optimization，ESO)和水平集方法(level set method，LSM)等[3-7]越來越多的優(yōu)化算法不斷地被提出。拓?fù)鋬?yōu)化方法的不斷發(fā)展給振動控制提供了新的思路，越來越多的學(xué)者開始將各種優(yōu)化算法運用到振動控制的優(yōu)化問題中。房占鵬等[8]基于雙向漸進優(yōu)化算法，以最大化模態(tài)損耗因子為目標(biāo)進行了約束阻尼板的拓?fù)鋬?yōu)化問題研究；Zhang等[9]基于固體各向同性材料懲罰模型 (solid isotropic material with penalization，SIMP)插值，以最小化結(jié)構(gòu)指定位置處的振動水平為目標(biāo)對自由阻尼板阻尼材料的分布進行了優(yōu)化；Zheng等[10]利用遺傳算法研究了以減少結(jié)構(gòu)振動幅值為目標(biāo)的阻尼材料的最優(yōu)分布問題;Xia等[11]以最大化結(jié)構(gòu)一階頻率為目標(biāo)，利用水平集算法進行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。目前，在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題中，大多僅考慮結(jié)構(gòu)自身而忽略了周圍介質(zhì)對于結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。當(dāng)然，在結(jié)構(gòu)處于類似空氣這類密度相對結(jié)構(gòu)很低的介質(zhì)環(huán)境下，這種忽略是合理且簡便的；而當(dāng)結(jié)構(gòu)處于水這類相對密度較大的介質(zhì)中，則必須考慮流體介質(zhì)和結(jié)構(gòu)之間的相互作用，即強耦合作用。這類流固耦合系統(tǒng)下的拓?fù)鋬?yōu)化工作已開始引起學(xué)者們的注意。商林源等[12]利用放松的優(yōu)化準(zhǔn)則法研究了聲結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)的雙材料拓?fù)鋬?yōu)化問題；Shu等[13]基于水平集方法，考慮了最小化聲振耦合系統(tǒng)內(nèi)聲場聲響應(yīng)的優(yōu)化問題。Akl等[14]以板的厚度為設(shè)計變量，考慮了板與聲腔的耦合系統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化問題。由于有限元數(shù)值模擬方法對于無限大聲場分析具有一定的局限性，前面這些工作考慮的都是有限的聲場問題。邊界元方法由于可以自動滿足無限遠(yuǎn)處的輻射邊界條件，對于處理無限大聲場問題具有天生的優(yōu)勢，近年來基于有限元-邊界元耦合的外聲場問題的拓?fù)鋬?yōu)化工作也得以實現(xiàn)[15-16]。目前上述工作考慮的目標(biāo)函數(shù)都是聲壓值或輻射聲功率這類聲場物理量，忽略了對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的考察；同時也多是基于密度插值和移動漸近線方法展開的，其他優(yōu)化算法在這類優(yōu)化問題中的效能還有待考察。

分段常數(shù)水平集(piecewise constant level set，PCLS)方法由水平集方法演化而來，最早由Christiansen等[17]提出。由于它可以很好的克服傳統(tǒng)水平集方法存在的依賴初始符號距離函數(shù)和無法自動生成新的孔洞等較為明顯的弊端，同時避免了重新初始化的過程，逐漸被一些學(xué)者用于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中[18-19]。但是這類方法一般需要利用拉格朗日乘子法或增廣拉格朗日乘子法來滿足約束條件，而拉格朗日乘子的更新是較為復(fù)雜和麻煩的，難以準(zhǔn)確表示其變化規(guī)律[20]，往往出現(xiàn)隨優(yōu)化問題的變化而改變的情況，需要通過經(jīng)驗來判斷，使方法的廣泛使用受到限制。

本文基于分段常數(shù)水平集方法，考慮了結(jié)構(gòu)與聲場雙向耦合作用，以有限元-邊界元耦合系統(tǒng)下結(jié)構(gòu)指定位置處振幅的平方為目標(biāo)函數(shù)，進行了雙材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。采用伴隨變量法進行靈敏度分析，引入二次罰函數(shù)方法使優(yōu)化問題變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題，核心處理是基于靈敏度信息對優(yōu)化參數(shù)進行了重新定義，克服了參數(shù)的問題依賴性。最后基于最速下降方法進行設(shè)計更新，最終得到了雙材料的最優(yōu)分布。

1 有限元-邊界元聲振耦合分析

考慮結(jié)構(gòu)與無限大聲場的強耦合系統(tǒng)，如圖1所示。結(jié)構(gòu)Ω振動向聲場Ωf輻射聲壓，聲場反作用于結(jié)構(gòu)，影響結(jié)構(gòu)的振動。圖中：Γ=Ωs∩Ωf為結(jié)構(gòu)與聲場的耦合邊界；ns，nf分別為結(jié)構(gòu)與聲場耦合界面處的外法向向量；fs為直接作用在結(jié)構(gòu)上的結(jié)構(gòu)載荷。分別采用有限元和邊界元方法對結(jié)構(gòu)和聲場進行離散近似。

圖1 聲振耦合系統(tǒng)Fig.1 Coupled structural-acoustic systems

1.1 結(jié)構(gòu)有限元分析

對于簡諧激勵作用下的結(jié)構(gòu)，其振動控制方程可以寫為

(-θ2M-iθC+K)u=Kdu=f

(1)

基于瑞利阻尼模型，阻尼陣C可以寫為

C=αM+βK

(2)

式中，α和β為材料的瑞利阻尼系數(shù)。

在考慮聲場對結(jié)構(gòu)的反作用時，外載荷可以寫為

f=fs+fp

(3)

式中：fs為結(jié)構(gòu)載荷；fp為聲場載荷。

1.2 聲場邊界元分析

簡諧形式下的聲場Helmhotz方程可以表示為

?2p(x)+k2p(x)=0

(4)

式中：p為聲壓；k=θ/cf為波數(shù)，cf為波速。通過格林第二公式并將點x逼近邊界即可得到常規(guī)邊界積分方程(conventional boundary integral equation，CBIE)

(5)

將式(5)兩邊同時對源點x所在邊界外法向方向求導(dǎo)，即可得到超奇異積分邊界方程(hypersingular boundary integral equation，HBIE)

(6)

式中：y為場點；q(y)=?p(y)/?n(y)為聲通量；系數(shù)c(x)由點x處的幾何性質(zhì)決定，對于光滑邊界，c(x)=0.5；G(x,y)為格林函數(shù)，對于三維聲場問題，可以寫為

(7)

式中，r=|x-y|為源點與場點的歐式距離。

進行外聲場分析時，由于式(5)或式(6)單獨使用會引起解的非唯一性問題，因此Burton等[21]提出了將兩式進行線性組合的Burton-Miller方法

CBIE+αHBIE=0

(8)

式中，α為耦合系數(shù)，建議取為-i/k[22]。通過配點法對式(8)進行離散，可得聲場控制方程

Hp=Gq

(9)

式中，H和G為邊界元系數(shù)矩陣。

1.3 有限元-邊界元耦合分析

考慮結(jié)構(gòu)與聲場的雙向耦合作用，需要考慮耦合面上位移與力的平衡條件

vf(x)=-iθu(x)·nf(x)

(10)

σ(x)·ns(x)+p(x)·nf(x)=0

(11)

式中：vf為耦合邊界處聲場介質(zhì)的法向速度；σ(x)為耦合邊界處結(jié)構(gòu)應(yīng)力。在式(10)、式(11)兩端分別乘以結(jié)構(gòu)和聲場的插值形函數(shù)φf，φs并在耦合邊界上積分、離散后得到耦合邊界平衡方程

vf=-iθS-1Cfsu

(12)

fp=Csfp

(13)

式中：Csf和Cfs為結(jié)構(gòu)與聲場耦合轉(zhuǎn)換矩陣；S為邊界質(zhì)量矩陣，可以表示為

(14)

(15)

(16)

式中：Ns，Nf為形函數(shù)φs，φf的矩陣形式；n為nf的矩陣形式。

又由第二類邊界條件

q=iθρfvf

(17)

式中，ρf為聲場介質(zhì)密度。將式(12)、式(17)代入式(9)中可得

Hp=θ2ρfGS-1Cfsu

(18)

聯(lián)立式(1)、式(18)即可得到基于有限元-邊界元方法的聲振耦合系統(tǒng)控制方程

(19)

2 優(yōu)化問題描述

如圖2所示，對于雙材料的拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化的目的是要確定兩種材料的最優(yōu)分布形式。在本文中，我們以材料二作為設(shè)計材料，即確定材料二的分布形式，其余部分則全設(shè)為材料一。在分段常數(shù)水平集方法中，我們將引入PCLS函數(shù)φ(x)來表示兩種材料的鋪設(shè)區(qū)域

圖2 基于PCLS方法的雙材料分布Fig.2 Bi-material distributions based on PCLS method

(20)

即在整個設(shè)計區(qū)域Ω內(nèi)，PCLS函數(shù)保持為常數(shù)，在材料一鋪設(shè)區(qū)域Ω1為1，在材料二鋪設(shè)區(qū)域Ω2為2。

基于PCLS函數(shù)的單元剛度陣K(e)與質(zhì)量陣M(e)可分別表示為

K(e)(φ)=(φ-1)K2(e)-(φ-2)K1(e)
M(e)(φ)=(φ-1)M2(e)-(φ-2)M1(e)

(21)

基于瑞利阻尼假設(shè)，單元阻尼陣C(e)可以表示為

C(e)(φ)=(φ-1)(α2M2(e)+β2K2(e))-
(φ-2)(α1M1(e)+β1K1(e))

(22)

式中：上標(biāo)1和2分別為材料一與材料二；α1，β1，α2，β2分別為兩種材料的瑞利阻尼系數(shù)。

于是，基于PCLS函數(shù)的結(jié)構(gòu)整體剛度陣、質(zhì)量陣與阻尼陣可以表示為

(23)

式中，Ne為結(jié)構(gòu)單元個數(shù)。

而作為設(shè)計材料的材料二體積可以表示為

(24)

因此，在考慮材料體積約束時，基于分段常數(shù)水平集方法的以結(jié)構(gòu)振幅平方為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化問題可以表示為

s.t.Kd(φ)u(φ)=fs+Csfp(φ)

Hp(φ)=θ2ρfGS-1Cfsu(φ)

(25)

3 靈敏度分析

基于分段常數(shù)水平集方法，目標(biāo)函數(shù)依賴于PCLS函數(shù)φ(x)，在計算靈敏度信息時，我們需要對目標(biāo)函數(shù)進行變分。本文中，靈敏度分析采用的是Zhao等使用的伴隨變量法。

首先引入原目標(biāo)函數(shù)的等價形式

(26)

(27)

由于伴隨向量的任意性，有

(28)

(29)

(30)

基于式(1)、式(21)、式(22)可得

(31)

[α2M2(e)+β2K2(e)]-[α1M1(e)+β1K1(e)],

(32)

于是，基于分段常數(shù)水平集方法的單元靈敏度可以表示為

(33)

針對本文的目標(biāo)函數(shù)，則有

(34)

聯(lián)立式(28)～式(34)，即可得到基于分段常數(shù)水平集方法的單元靈敏度。

4 算法流程

對于體積約束條件，我們將引入二次罰函數(shù)的方法來滿足體積約束，最終修正的目標(biāo)函數(shù)可以寫為

(35)

式中，μ為體積懲罰系數(shù)。修正后目標(biāo)函數(shù)的單元靈敏度可以寫為

(36)

不同于水平集算法的是，在每代優(yōu)化中，PCLS函數(shù)都是定義為1或2，因此需要定義一個算法，使PCLS函數(shù)再次滿足約束式(20)，即

(37)

我們通過最速下降方法來更新PCLS函數(shù)，即在每個單元中

(38)

式中，τ(k)為時間步長，在第k代迭代步中，設(shè)為

(39)

式中：h為單元的最小尺寸;ζ∈(0,1)為一常數(shù)。

而在第k代迭代步中，Zhang等(2019年)將體積懲罰系數(shù)μ(k)設(shè)為

(40)

式中，t和μmax為給定常數(shù)，用于保證體積約束得以滿足。然而，μ(k)在這種定義下是與目標(biāo)函數(shù)J(φ(k))相關(guān)的，在計算的過程中可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)t與μmax存在較大的問題依賴性，即隨著優(yōu)化算例的改變，參數(shù)的變化較大，不具有一般性，往往需要通過調(diào)試才可獲得。Zhang等研究中不同優(yōu)化算例選擇不同的優(yōu)化參數(shù)同樣可以看出這一點。因此，我們從靈敏度的角度出發(fā)，對參數(shù)μ(k)的數(shù)值進行了重新定義

(41)

式中，ε∈(0,1)為一常數(shù)。由于PCLS函數(shù)的更新是直接依賴于靈敏度信息的，式(41)中μ(k)的數(shù)值則直接與目標(biāo)函數(shù)靈敏度絕對值的最大值相關(guān)，因此更具有一般性。參數(shù)ε用于保證優(yōu)化可以穩(wěn)定光滑的進行。經(jīng)過測試，本文將ζ均取為0.05；ε均取為0.2；μmax均取為10。

至此，基于分段常數(shù)水平集方法的拓?fù)鋬?yōu)化流程總結(jié)如下：

步驟1建立有限元-邊界元耦合模型，初始化PCLS函數(shù)，獲得結(jié)構(gòu)有限元與聲場邊界元矩陣M，K,C,H,G,Cfs，Csf確定常系數(shù)矩陣Q，給定常數(shù)ζ,ε,μmax。

步驟2通過求解式(19)獲得結(jié)構(gòu)位移與聲場聲壓，進而由式(25)計算目標(biāo)函數(shù)J(φ)。

步驟4引入內(nèi)循環(huán)，更新φ(k+1)。

①計算

式中，τ(k)由式(39)計算得到。

步驟5檢查外循環(huán)終止條件，如果滿足，則退出循環(huán)；否則回到步驟2。

5 算 例

本章中，我們考慮一水下立方殼體在點激勵作用下的優(yōu)化算例，立方殼外部空間為水，不考慮立方殼內(nèi)部介質(zhì)的耦合影響，約束結(jié)構(gòu)底面的平動自由度，如圖3所示。立方殼體邊長為1 m，殼厚度為0.02 m，在其上表面中心有一點簡諧激勵F=F0e-iθt，F(xiàn)0=105N頻率f=120 Hz。結(jié)構(gòu)每個面劃分為40×40個四節(jié)點殼單元，共9 600個單元，聲場部分采用匹配的四節(jié)點常量元與結(jié)構(gòu)進行耦合。

圖3 立方殼結(jié)構(gòu)及網(wǎng)格劃分Fig.3 The cubic shell structure and the mesh

假設(shè)結(jié)構(gòu)由兩種不同的強弱材料組成，弱材料的楊氏模量和密度為強材料的十分之一，具體的材料屬性如表1所示。假設(shè)兩種材料的瑞利阻尼系數(shù)相同，都設(shè)為α=0.1,β=0.001。由于結(jié)構(gòu)上表面對于結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響最大，因此選擇立方殼的上表面作為設(shè)計區(qū)域。結(jié)構(gòu)其余部分全部設(shè)為弱的基體材料，且其余部分同上表面一樣可以振動向外輻射發(fā)聲，以強材料為設(shè)計材料。目標(biāo)函數(shù)選為加載點處z向幅值的平方，體積約束V=|Ω|/2。

表1 水下立方殼材料參數(shù)

為驗證本文所用伴隨變量法的正確性，我們將PCLS函數(shù)φ(x)放松到[1,2]的連續(xù)空間，采用差分法計算目標(biāo)函數(shù)的靈敏度同本文的伴隨靈敏度進行比對。圖4給出了120 Hz時初始全為弱材料，攝動值為1×10-4時前200個單元的伴隨靈敏度與差分結(jié)果的比對結(jié)果。可以看出二者吻合良好，說明了本文伴隨變量方法的正確性。

圖4 伴隨變量法與有限差分法靈敏度結(jié)果對比Fig.4 Comparison of sensitivities obtained by the adjoint method and finite difference method

初始PCLS函數(shù)設(shè)為φ(0)=1，即結(jié)構(gòu)上表面全由弱材料組成。目標(biāo)函數(shù)與體積約束函數(shù)的收斂歷史，如圖5所示。為了考察目標(biāo)函數(shù)的收斂性，在已經(jīng)收斂的情況下繼續(xù)往后共計算了90代。從圖5中可以看出，隨著迭代的進行，目標(biāo)函數(shù)迅速下降，經(jīng)過62次迭代后，目標(biāo)函數(shù)和體積約束函數(shù)都已收斂。目標(biāo)函數(shù)從5.019×10-5m2降到了1.408×10-6m2。為進一步說明優(yōu)化的有效性，計算了結(jié)構(gòu)上表面全為強材料時的目標(biāo)函數(shù)，其值為2.374×10-6m2，高于體積約束為0.5時的優(yōu)化設(shè)計值，也說明了該優(yōu)化問題的非線性。

圖5 120 Hz時目標(biāo)函數(shù)與體積約束的迭代歷史Fig.5 Iteration histories of objective function and volume constraint at 120 Hz

圖6給出了不同迭代步數(shù)下材料的分布情況，圖6中淺灰色部分代表強材料，黑色部分代表弱材料?？梢钥闯鰪姴牧系恼急仍诜€(wěn)步提高，最終優(yōu)化后的材料分布如圖6(d)所示。優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)z向振幅云圖，如圖7所示，可以看出優(yōu)化的效果顯著。

圖6 水下強耦合時不同迭代步數(shù)下材料的優(yōu)化分布Fig.6 The optimal distributions at different iteration steps with strong coupling case when the structure immersed in water

圖7 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)z向振動幅值Fig.7 z-direction vibration amplitudes before and after the optimization

為了體現(xiàn)PCLS方法的優(yōu)越性，我們基于SIMP插值和MMA算法進行了同樣的優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化結(jié)果如圖8所示。目標(biāo)函數(shù)降到了1.619×10-6m2，高于本文算法的優(yōu)化值，這同2019年Zhang等研究中的結(jié)論保持一致。

圖8 MMA算法優(yōu)化的材料分布Fig.8 The optimal distribution based on MMA method

為了說明耦合條件和環(huán)境介質(zhì)對優(yōu)化結(jié)果的影響，我們又考慮了空氣強、弱耦合和水下弱耦合條件?？諝鈴?、弱耦合條件下優(yōu)化結(jié)果完全相同，都為圖9所示的分布。可以看出，對于空氣這類密度相對結(jié)構(gòu)小很多的介質(zhì)，此時忽略介質(zhì)對于結(jié)構(gòu)的影響是合理的。弱耦合條件即單向耦合條件，不考慮聲場介質(zhì)對于結(jié)構(gòu)振動的影響，因此水下弱耦合條件時材料的優(yōu)化結(jié)果與空氣弱耦合時的相同，即如圖9所示?？梢钥闯?，水下強耦合條件相對空氣強、弱耦合和水下弱耦合條件時強材料在設(shè)計域四周的分布存在明顯的差異。

圖9 空氣強、弱耦合與水下弱耦合條件下的材料優(yōu)化分布Fig.9 The optimal distribution with strong or weak coupling case when the structure immersed in air, or with weak coupling case when the structure immersed in water

為了進一步說明介質(zhì)為水時，強、弱耦合對于振動響應(yīng)的影響，圖10給出了聲場介質(zhì)為水、初始全為弱材料時，強、弱耦合條件下設(shè)計區(qū)域z向振幅云圖的對比?？梢钥闯觯橘|(zhì)為水時強、弱耦合條件下振動響應(yīng)明顯不同，這也說明了介質(zhì)為水這類相對密度較大的介質(zhì)時，結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的計算必須考慮強耦合條件，否則會引起較大的誤差甚至計算錯誤。

圖10 120 Hz水下不同耦合條件時設(shè)計域z向振動幅值Fig.10 z-direction vibration amplitudes of design domain with different coupling cases when the structure immersed in water at 120 Hz

針對體積約束參數(shù)的問題依賴性，我們將參數(shù)按式(40)定義方式同樣計算了120 Hz時強耦合的優(yōu)化結(jié)果，設(shè)t=1.5,μmax=2×10-7，同本文定義參數(shù)的收斂歷史對比如圖11所示，可以看出，本文提出的參數(shù)定義方式優(yōu)化收斂較快。更重要的是，原參數(shù)定義方式會出現(xiàn)參數(shù)隨算例變化而改變的問題，如在弱耦合時μmax需要設(shè)為2×10-5，而本文所有算例的體積約束均在二次罰函數(shù)系數(shù)取為固定值時得到了很好的滿足，說明改進后的方法明顯改善了參數(shù)的問題依賴性，至少在結(jié)構(gòu)振幅優(yōu)化的問題中有效，有利于算法的進一步推廣。

圖11 強耦合時參數(shù)修改前后收斂歷史對比Fig.11 Comparison of convergence histories before and after the parameter modification with strong coupling case

圖12給出了不同激勵頻率下的優(yōu)化結(jié)果?？梢悦黠@看出，優(yōu)化結(jié)果隨頻率變化而變化。在30 Hz時，優(yōu)化結(jié)果較為分散。我們分別對結(jié)構(gòu)為初始設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計時在30 Hz附近進行了掃頻分析，如圖13所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)激勵頻率為30 Hz時，初始設(shè)計下結(jié)構(gòu)響應(yīng)出現(xiàn)了峰值，這可能由于該頻率與耦合結(jié)構(gòu)的固有頻率較為接近引起的。在優(yōu)化設(shè)計時，結(jié)構(gòu)共振峰頻率出現(xiàn)了右移，由30 Hz提高到了47 Hz左右，遠(yuǎn)離了激勵頻率，使加載點位移幅值得到大幅降低。同時可以看出，在其他激勵頻率時優(yōu)化設(shè)計的加載點振幅高于初始設(shè)計，說明優(yōu)化設(shè)計只是設(shè)計激勵頻率下的最優(yōu)設(shè)計，不適用于其他頻率。

圖12 不同激勵頻率下的材料優(yōu)化分布Fig.12 The optimal distributions at different excitation frequencies

圖13 30 Hz附近掃頻響應(yīng)分析Fig.13 Swept-frequency analysis around 30 Hz

當(dāng)激勵頻率在60～200 Hz時，隨著頻率的提高，強材料有向結(jié)構(gòu)中心聚集的趨勢。

最后，我們考察了瑞利阻尼系數(shù)β對于優(yōu)化結(jié)果的影響，如圖14所示。在考察參數(shù)修改、強弱耦合條件和介質(zhì)等因素對于優(yōu)化結(jié)果的影響時，頻率設(shè)為120 Hz、α設(shè)為0.1，因此這里我們將頻率固定設(shè)為120 Hz、α固定設(shè)為0.1。同樣可以看出，隨著的增大，強材料有向結(jié)構(gòu)中心聚集的趨勢。

圖14 不同阻尼系數(shù)β時的材料優(yōu)化分布Fig.14 The optimal distributions with different damping coefficents β

6 結(jié) 論

本文研究了簡諧激勵作用下，考慮結(jié)構(gòu)與聲場強耦合的水下立方殼體雙材料的優(yōu)化分布問題。采用四節(jié)點殼單元和四節(jié)點常量元進行結(jié)構(gòu)和聲場的離散，基于PCLS方法和瑞利阻尼假設(shè)，構(gòu)造出結(jié)構(gòu)整體剛度陣、質(zhì)量陣與阻尼陣；目標(biāo)函數(shù)選為結(jié)構(gòu)指定位置處振幅的平方，采用伴隨變量方法進行靈敏度計算，降低了計算成本。采用二次罰函數(shù)方法使體積約束條件得以滿足，對于算法中的體積約束參數(shù)進行了重新定義，降低了體積約束參數(shù)對問題的依賴性，有利于算法的推廣。數(shù)值結(jié)果表明優(yōu)化設(shè)計可以明顯降低結(jié)構(gòu)的振幅，驗證了優(yōu)化方法的有效性。對頻率以及瑞利阻尼系數(shù)β對于優(yōu)化結(jié)果的影響也進行了進一步的討論，發(fā)現(xiàn)了在計算頻段內(nèi)隨頻率和β的提高，設(shè)計材料呈現(xiàn)向結(jié)構(gòu)中心聚集的趨勢。

本文針對的是單個頻點時的優(yōu)化情況，可以進一步考察一個區(qū)間內(nèi)的頻段優(yōu)化問題。