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    軌跡法在解不定三角形問題中的應(yīng)用

    2022-02-28 02:26:00安徽省蕪湖市第一中學(xué)劉海濤郵編241000
    關(guān)鍵詞:外接圓動點端點

    安徽省蕪湖市第一中學(xué) 劉海濤 (郵編:241000)

    在一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)中,發(fā)現(xiàn)一些以解不定三角形為背景的取值范圍或最值問題中,若考慮構(gòu)造三角函數(shù)解題,往往計算量大,過程繁雜,學(xué)生容易出錯,而從動點的軌跡方面入手,數(shù)形結(jié)合分析問題,可以巧妙求解,避免繁雜的運算過程,起到事半功倍的解題效果.下面通過八道解不定三角形問題,談軌跡法在解不定三角形中的應(yīng)用.

    1 軌跡為線段模型

    例1已知M是銳角△ABC的邊AB上一點則AB的取值范圍是_____.

    解析在△ACM中,由余弦定理得AM2=CM2+AC2-2·CM·ACcos∠ACM=72,即,由正弦定理得,即如圖1,過點C作CE⊥AB于點E,作CF⊥AC交AB于點F,由題不難明白點B的軌跡是線段EF(不含端點E、F),則AE<AB<AF.易知△ACE是以AC為底邊的等腰直角三角形,△ACF是以AF為底邊的等腰直角三角形,所以AE=綜 上 ,得

    圖1

    圖圖22

    評注解答該題的關(guān)鍵是抓住銳角三角形這一條件,分別作出B、C為直角頂點的臨界情況(以AC為底邊的等腰直角△ACE,以AF為底邊的等腰直角△ACF),得到點B的軌跡是線段EF(不含端點E、F),進而得到AE<AB<AF.

    例2在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75o,BC=2,則AB的取值范圍是______.

    解析如圖2,過點C作CM//DA交AB于點M,分別延長CD、BA交于點N,則可以理解為點A的軌跡是線段MN(不含端點M、N),則BM<AB<BN.在△BCN中,由正弦定理得即在 △BCM中,由正弦定理得即

    評注從動點的軌跡入手,深入分析題目中四邊形的結(jié)構(gòu)特征,找到點A的運動軌跡為線段MN(不含端點M、N),分別分析點A位于M、N兩點的臨界情況,從而確定取值范圍.該題也可以利用對角線AC將四邊形分割為兩三角形,將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于∠BAC的三角函數(shù),但是計算量大,過程復(fù)雜.

    2 軌跡為外接圓模型

    例3已知△ABC中則△ABC面積的最大值為____.

    解析設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由正弦定理,得即R=1.設(shè)邊BC上的高為h,則如圖3,圓O為△ABC的外接圓,點A的軌跡為優(yōu)弧BC(不包含B、C兩端點),顯然當點A位于優(yōu)弧BC的中點時,h取最大值為1+所以△ABC面積的最大值為

    圖3

    評注利用外接圓找到動點A的軌跡為圓弧,數(shù)形結(jié)合,知點A位于優(yōu)弧BC的中點時取到面積的最大值,解答過程巧妙自然容易理解掌握.該題也可以運用函數(shù)思想構(gòu)造函數(shù)解題,得到再求出最大值,但是該法運算量大,容易出錯.

    例4已知銳角△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若則bc的取值范圍是____.

    解析設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由正弦定理,得即R=1.如圖4,圓O為△ABC的外接圓,A1C、A2B均為圓O的直徑,則,則點A的軌跡為劣弧A1A2(不包含A1、A2兩端點),數(shù)形結(jié)合不難明白動點A從點A1向點A2運動的過程中,邊c長度遞增,邊b長度遞減.在直角△A1BC中 ,b=2,c=1,則b-c=1;在 直 角△A2BC中,b=1,c=2,則b-c=-1.綜上bc∈ (-1,1 ).

    圖4

    評注相較于例3,例4中的三角形要求為銳角三角形,通過外接圓考慮角B、C分別是直角的臨界情況,得到動點A的軌跡,數(shù)形結(jié)合分析點A運動的過程中邊b、c的變化情況,問題迎刃而解,過程簡捷,避免了繁雜的計算.

    3 軌跡為隱圓模型

    例5已知△ABC中BC=2,AB=AC,則△ABC面積的最大值為____.

    解析如圖5,以線段BC所在直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系xOy,則B(-1,0),C(1,0).設(shè)A(x,y)(y≠0),由AB=AC,得整 理 得 (x-2)2+y2=3,則點A的軌跡是以點(2,0)為圓心為半徑的圓(除去與x軸的兩個交點),則≤,故△ABC面積的最大值為.

    圖5

    評注該題看似與解析幾何無關(guān),實則為隱圓(阿波羅尼斯圓)問題,若解題時能看破這一點,建立坐標系則可輕松解題,省去繁雜的計算.該題也可以設(shè)AC=b,建立面積關(guān)于b的函數(shù)求解,但過程復(fù)雜,運算量大.

    例6已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a2+2b2+2c2=8,則 △ABC面積的最大值為____.

    解析如圖6,以點B為坐標原點,BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系xBy,則B(0,0),C(a,0),設(shè)A(x,y),由 題 得a2+2(x2+y2)+2(x-a)2+y2=8,整理得數(shù)形結(jié)合,有S△ABC=當且僅當,即

    圖6

    評注首先固定邊BC,將A視作定點,由條件式得為定值,發(fā)現(xiàn)該題的本質(zhì)是隱圓問題,于是借助坐標系得出動點A的軌跡方程,輕松得出面積的最值.關(guān)于隱圓問題,在文獻[1]和[2]中做了詳細的介紹,讀者可參考.

    4 軌跡為橢圓模型

    例7已知△ABC的周長為18,BC=8,則△ABC內(nèi)切圓半徑r的最大值為____.

    解析容易知道S△ABC由題知AB+AC=18-8=10>BC,由橢圓的定義知,點A的軌跡為以B、C兩點為焦點,10為長軸長的橢圓(除去橢圓長軸兩端點).如圖7,以線段BC所在直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系xOy,則點A的軌跡為軌跡方程為數(shù)形結(jié)合,知點A位于短軸端點時,S△ABC取最大值為

    圖7

    評注首先通過S△ABC=9r將問題轉(zhuǎn)化為三角形面積最大值問題,由條件不難發(fā)現(xiàn)AB+AC=10>BC,進而得到點A的軌跡為橢圓,數(shù)形結(jié)合便可得到答案.另外該題也用海倫公式S=將三角形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊b(或c)的函數(shù)求最大值.

    例8已知△ABO(O為坐標原點)的重心、內(nèi)心分別是G、I,且則cos∠OAB的最小值為____.

    解析設(shè)A(x,y)(y≠0),則由得點I的橫坐標為,又I為 △ABO的內(nèi)心,所以=8>||

    OB,由橢圓定義知點A的軌跡為以O(shè)、B為焦點的橢圓(除去長軸兩端點),如圖8,由橢圓的幾何性質(zhì)已知點A位于短軸端點時∠OAB取最大值,此時△ABO為等邊三角形,則cos∠OAB的最小值為

    圖8

    評注該題是一道內(nèi)涵豐富的解三角形問題,考查了重心、內(nèi)心等性質(zhì),解答該題的關(guān)鍵在于得到|AB|+|AO|=8為定值,由橢圓定義知動點A的軌跡為橢圓,利用橢圓性質(zhì)解答該題省去繁雜的計算過程,巧妙簡捷.

    以上8道求取值范圍或最值問題,是筆者在一輪復(fù)習(xí)中為學(xué)生準備的解不定三角形例題,旨在幫助學(xué)生建立從動點軌跡的角度分析問題的解題意識,學(xué)會從不同角度思考問題,發(fā)散解題思維,形成解題策略,提高解題能力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].

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