軌跡法在解不定三角形問題中的應(yīng)用

安徽省蕪湖市第一中學(xué) 劉海濤 （郵編：241000）

在一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)一些以解不定三角形為背景的取值范圍或最值問題中，若考慮構(gòu)造三角函數(shù)解題，往往計算量大，過程繁雜，學(xué)生容易出錯，而從動點的軌跡方面入手，數(shù)形結(jié)合分析問題，可以巧妙求解，避免繁雜的運算過程，起到事半功倍的解題效果.下面通過八道解不定三角形問題，談軌跡法在解不定三角形中的應(yīng)用.

1 軌跡為線段模型

例1已知M是銳角△ABC的邊AB上一點則AB的取值范圍是_____.

解析在△ACM中，由余弦定理得AM2＝CM2+AC2-2·CM·ACcos∠ACM＝72，即，由正弦定理得，即如圖1，過點C作CE⊥AB于點E，作CF⊥AC交AB于點F，由題不難明白點B的軌跡是線段EF（不含端點E、F），則AE＜AB＜AF.易知△ACE是以AC為底邊的等腰直角三角形，△ACF是以AF為底邊的等腰直角三角形，所以AE＝綜 上 ，得

圖1

圖圖22

評注解答該題的關(guān)鍵是抓住銳角三角形這一條件，分別作出B、C為直角頂點的臨界情況（以AC為底邊的等腰直角△ACE，以AF為底邊的等腰直角△ACF），得到點B的軌跡是線段EF（不含端點E、F），進而得到AE＜AB＜AF.

例2在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75o，BC＝2，則AB的取值范圍是______.

解析如圖2，過點C作CM//DA交AB于點M，分別延長CD、BA交于點N，則可以理解為點A的軌跡是線段MN（不含端點M、N），則BM＜AB＜BN.在△BCN中，由正弦定理得即在 △BCM中，由正弦定理得即

評注從動點的軌跡入手，深入分析題目中四邊形的結(jié)構(gòu)特征，找到點A的運動軌跡為線段MN（不含端點M、N），分別分析點A位于M、N兩點的臨界情況，從而確定取值范圍.該題也可以利用對角線AC將四邊形分割為兩三角形，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于∠BAC的三角函數(shù)，但是計算量大，過程復(fù)雜.

2 軌跡為外接圓模型

例3已知△ABC中則△ABC面積的最大值為____.

解析設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理，得即R＝1.設(shè)邊BC上的高為h，則如圖3，圓O為△ABC的外接圓，點A的軌跡為優(yōu)弧BC（不包含B、C兩端點），顯然當點A位于優(yōu)弧BC的中點時，h取最大值為1+所以△ABC面積的最大值為

圖3

評注利用外接圓找到動點A的軌跡為圓弧，數(shù)形結(jié)合，知點A位于優(yōu)弧BC的中點時取到面積的最大值，解答過程巧妙自然容易理解掌握.該題也可以運用函數(shù)思想構(gòu)造函數(shù)解題，得到再求出最大值，但是該法運算量大，容易出錯.

例4已知銳角△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若則bc的取值范圍是____.

解析設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理，得即R＝1.如圖4，圓O為△ABC的外接圓，A1C、A2B均為圓O的直徑，則，則點A的軌跡為劣弧A1A2（不包含A1、A2兩端點），數(shù)形結(jié)合不難明白動點A從點A1向點A2運動的過程中，邊c長度遞增，邊b長度遞減.在直角△A1BC中 ，b＝2，c＝1，則b-c＝1；在 直 角△A2BC中，b＝1，c＝2，則b-c＝-1.綜上bc∈ （-1，1 ）.

圖4

評注相較于例3，例4中的三角形要求為銳角三角形，通過外接圓考慮角B、C分別是直角的臨界情況，得到動點A的軌跡，數(shù)形結(jié)合分析點A運動的過程中邊b、c的變化情況，問題迎刃而解，過程簡捷，避免了繁雜的計算.

3 軌跡為隱圓模型

例5已知△ABC中BC＝2，AB＝AC，則△ABC面積的最大值為____.

解析如圖5，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，則B（-1，0），C（1，0）.設(shè)A（x，y）（y≠0），由AB＝AC，得整 理 得 （x-2）2+y2＝3，則點A的軌跡是以點（2，0）為圓心為半徑的圓（除去與x軸的兩個交點），則≤，故△ABC面積的最大值為.

圖5

評注該題看似與解析幾何無關(guān)，實則為隱圓（阿波羅尼斯圓）問題，若解題時能看破這一點，建立坐標系則可輕松解題，省去繁雜的計算.該題也可以設(shè)AC＝b，建立面積關(guān)于b的函數(shù)求解，但過程復(fù)雜，運算量大.

例6已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a2+2b2+2c2＝8，則 △ABC面積的最大值為____.

解析如圖6，以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xBy，則B（0，0），C（a，0），設(shè)A（x，y），由 題 得a2+2（x2+y2）+2（x-a）2+y2＝8，整理得數(shù)形結(jié)合，有S△ABC＝當且僅當，即

圖6

評注首先固定邊BC，將A視作定點，由條件式得為定值，發(fā)現(xiàn)該題的本質(zhì)是隱圓問題，于是借助坐標系得出動點A的軌跡方程，輕松得出面積的最值.關(guān)于隱圓問題，在文獻[1]和[2]中做了詳細的介紹，讀者可參考.

4 軌跡為橢圓模型

例7已知△ABC的周長為18，BC＝8，則△ABC內(nèi)切圓半徑r的最大值為____.

解析容易知道S△ABC由題知AB+AC＝18-8＝10＞BC，由橢圓的定義知，點A的軌跡為以B、C兩點為焦點，10為長軸長的橢圓（除去橢圓長軸兩端點）.如圖7，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，則點A的軌跡為軌跡方程為數(shù)形結(jié)合，知點A位于短軸端點時，S△ABC取最大值為

圖7

評注首先通過S△ABC＝9r將問題轉(zhuǎn)化為三角形面積最大值問題，由條件不難發(fā)現(xiàn)AB+AC＝10＞BC，進而得到點A的軌跡為橢圓，數(shù)形結(jié)合便可得到答案.另外該題也用海倫公式S＝將三角形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊b（或c）的函數(shù)求最大值.

例8已知△ABO（O為坐標原點）的重心、內(nèi)心分別是G、I，且則cos∠OAB的最小值為____.

解析設(shè)A（x，y）（y≠0），則由得點I的橫坐標為，又I為 △ABO的內(nèi)心，所以＝8＞||

OB，由橢圓定義知點A的軌跡為以O(shè)、B為焦點的橢圓（除去長軸兩端點），如圖8，由橢圓的幾何性質(zhì)已知點A位于短軸端點時∠OAB取最大值，此時△ABO為等邊三角形，則cos∠OAB的最小值為

圖8

評注該題是一道內(nèi)涵豐富的解三角形問題，考查了重心、內(nèi)心等性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵在于得到|AB|+|AO|＝8為定值，由橢圓定義知動點A的軌跡為橢圓，利用橢圓性質(zhì)解答該題省去繁雜的計算過程，巧妙簡捷.

以上8道求取值范圍或最值問題，是筆者在一輪復(fù)習(xí)中為學(xué)生準備的解不定三角形例題，旨在幫助學(xué)生建立從動點軌跡的角度分析問題的解題意識，學(xué)會從不同角度思考問題，發(fā)散解題思維，形成解題策略，提高解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].