數(shù)學(xué)通報(bào)2596號(hào)問(wèn)題的另證與推廣

湖南省常德市第三中學(xué) 陸信明 （郵編：415000）

2021年第4期《數(shù)學(xué)通報(bào)》刊登了彭翕成老師提供的問(wèn)題2596號(hào)如下：

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

如圖，在△ABC中作中線BM，已知∠ABM＝∠A+∠C，求證

彭老師給出了利用高中正余弦定理以及三角變換等知識(shí)的證明過(guò)程，現(xiàn)給出兩種利用初中平面幾何知識(shí)的證法以及對(duì)該問(wèn)題的推廣.

2 問(wèn)題證明

證法一如圖1，取AB的中點(diǎn)D，連接DM，因?yàn)辄c(diǎn)M是AC中點(diǎn)，所以DM是△ABC的中位線，

圖1

所以DM∥BC，BC＝2DM，所以∠AMD＝∠C，

因?yàn)椤螹DB＝∠AMD+∠A，∠ABM＝∠A+∠C，

所以∠MDB＝∠ABM，所以DM＝BM，所以BC＝2BM.

如圖2，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，

圖2

因?yàn)镈M＝BM，所以DE＝BE，

因?yàn)镈A＝DB，所以AE＝3BE，

證法二如圖3，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

圖3

因?yàn)锳D∥BC，所以∠DAM＝∠C，∠D＝∠CBM，

因?yàn)锳M＝CM，所以△ADM≌△CBM，

所以AD＝BC，DM＝BM，

因?yàn)椤螪AB＝∠DAC+∠BAM，∠ABM＝∠C+∠A，

所以∠DAB＝∠ABM，所以DA＝DB，所以BC＝DA＝DB＝2BM.

如圖4，取AB中點(diǎn)E，連接ME，連接DE交AC于點(diǎn)F，

圖4

因?yàn)镈A＝DB，

所以DE⊥AB，

因?yàn)辄c(diǎn)M是BD中點(diǎn)，所以EM是△BAD的中位線，

所以EM∥AD，AD＝2EM，

所以△ADF∽△MEF，所以

3 推廣

如圖，在△ABC的邊AC上有一點(diǎn)M，使得，已知∠ABM＝∠A+∠C，

注類(lèi)比證法一即可得到證明過(guò)程，在此不再贅述.