主元變換破解不等式恒成立問(wèn)題的再思考

山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué) 張志剛 （郵編：271400）

文獻(xiàn)[1]概述了主元變換法解題策略的涵義，并舉例說(shuō)明了該法在縮減運(yùn)算量、簡(jiǎn)化解題過(guò)程的天然優(yōu)勢(shì).文獻(xiàn)[2]通過(guò)2020年天津卷第20題的不同解決策略的比較，也反映了主元變換法操作性更強(qiáng)，是解決諸多導(dǎo)數(shù)試題（如證明不等式）行之有效的上佳選擇.

然而，從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，學(xué)生運(yùn)用變換主元法依然存在很多障礙，無(wú)法發(fā)揮其勢(shì)如破竹之威力，應(yīng)用效果大打折扣.這些障礙歸納起來(lái)，主要有以下幾點(diǎn)：一是認(rèn)知障礙，主要表現(xiàn)在：受刻板印象影響，思維固化，不能辯證理解兩個(gè)變?cè)ㄈ鐇、a等）之間的主客體地位，直接影響新主元的確立；二是選擇困難，主要表現(xiàn)在：面對(duì)試題，不知道選擇常規(guī)方法還是主元變換法，在題型辨別、策略抉擇、時(shí)機(jī)把握上舉棋不定、猶疑不決，從而貽誤戰(zhàn)機(jī)，耗費(fèi)寶貴的時(shí)間；三是供給缺陷，主要表現(xiàn)在：部分學(xué)生采用主元變換后，重新構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行后續(xù)解答時(shí)，與解題“配套”的常用技能技巧（如借助切線(xiàn)不等式等放縮）匱乏，或者不能靈活應(yīng)用，基礎(chǔ)不扎實(shí)、素養(yǎng)不全面導(dǎo)致解題半途而廢，無(wú)疾而終.

試圖深入思考與剖析上述三個(gè)問(wèn)題，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

1 如何破解“主角”與“配角”身份之爭(zhēng)？

首先，有必要重溫主元變換法的內(nèi)涵與原理.在近年高考導(dǎo)數(shù)試題中，經(jīng)常有多個(gè)變量（如x、a等）同時(shí)出現(xiàn)的情形，解題的常規(guī)思路是以x為主元，其他變量為參數(shù)（如a）求解.但在實(shí)際解答過(guò)程中，又往往危機(jī)四伏，困難重重，容易陷入走投無(wú)路、進(jìn)退維谷的困境.此時(shí)，當(dāng)多次正面交鋒無(wú)果后，可以根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，嘗試改變分析問(wèn)題的視角，將參數(shù)（如a）重新確立為主元，將x視為參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)加以解答，往往可以以簡(jiǎn)馭繁，產(chǎn)生撥云見(jiàn)月、柳暗花明的豁然開(kāi)朗之感，這種“反客為主”的方法可稱(chēng)之為變換主元法.

顯然，欲使學(xué)生熟練應(yīng)用主元變換法進(jìn)行解題，對(duì)該方法的原理認(rèn)識(shí)要到位、準(zhǔn)確.認(rèn)知的難點(diǎn)在于：學(xué)生能否接受參數(shù)（如a）也可視為主元？當(dāng)然，學(xué)生難以一時(shí)理解和接受是情有可原的.以函數(shù)的概念為例，不管是初中學(xué)習(xí)的“變量說(shuō)”，還是高中階段學(xué)習(xí)的“集合對(duì)應(yīng)說(shuō)”，都習(xí)慣了“y與x對(duì)應(yīng)”，而在后續(xù)不等式知識(shí)（如一元二次不等式）的學(xué)習(xí)中，也習(xí)慣于將不等式看成“關(guān)于x”的不等式.在中學(xué)階段五六年的時(shí)間里，在學(xué)生的頭腦中“自變量是x”“未知數(shù)是x”的觀念由來(lái)已久，根深蒂固，甚至認(rèn)為是“天然”的.為此，教師要從函數(shù)概念入手，耐心細(xì)致地向?qū)W生闡述，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“未知數(shù)是x”“主元是x”的認(rèn)知是受“先入為主”影響所致，是習(xí)慣使然，是有失偏頗和科學(xué)依據(jù)的，二者的“主角”與“配角”身份是完全可以根據(jù)需要互換的，以此辯證認(rèn)識(shí)兩個(gè)變?cè)闹骺腕w地位，這是應(yīng)用變換主元法的先決條件.

2 如何把握時(shí)機(jī)實(shí)施主元變換策略？

至于什么樣的試題適合采用主元變換法呢，不能一概而論，要具體問(wèn)題具體分析，不能搞也不該搞“一刀切”，而要見(jiàn)機(jī)行事，相機(jī)而動(dòng).就一般解題經(jīng)驗(yàn)而言，當(dāng)參數(shù)出現(xiàn)頻率較高，或參數(shù)形式較為復(fù)雜時(shí)，就可考慮實(shí)施變換主元，構(gòu)造函數(shù)后借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題，收效良好.下面選取兩例，進(jìn)行說(shuō)明.

案例1（2021年7月清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測(cè)試）已知函數(shù)f（x）＝ex-1-alnx+alna.

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a＞ 0時(shí)，證明：f（x）≥a.

證法1（常規(guī)證明方法）

（1）當(dāng)a＝1 時(shí) ，f（x）＝ex-1-lnx，f′（x）＝則f′（x）在（0，+ ∞ ）內(nèi) 單 調(diào) 遞 增.又f′（1）＝0，所 以 當(dāng)x∈（0，1）時(shí) ，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+ ∞）時(shí) ，f′（x）＞ 0，所以f（x）在 （0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)a＞ 0時(shí)令g（x）＝xex-1-a，則g′（x）＝(x+1)ex-1＞ 0，所 以g（x）在 （0，+∞ ）內(nèi) 單 調(diào) 遞 增.又g（0）＝-a＜0，當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→+∞，由零點(diǎn)存在性定理可知，g（x）在 （0，+ ∞ ）內(nèi)有唯一零點(diǎn)x0，使得g（x0）＝0，即x0ex0-1-a＝0.當(dāng)x∈（0，x0）時(shí) ，g（x）＜ 0，從 而f′（x）＜ 0；當(dāng)x∈（x0,+ ∞ ）時(shí)，g（x）＞0，從而f′（x）＞ 0，所以f（x）在（0，x0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（x0,+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（x0）＝ex0-1-alnx0+alna.所 以 欲證f（x）≥a，只 需 證 明f（x）min≥a，即 證 ex0-1-alnx0≥a-alna.

又因?yàn)閤0ex0-1-a＝0，則兩邊取自然對(duì)數(shù)，得x0-1＝lna-lnx0，所以ex0-1-a-alna＝a-alna.命題得證.

評(píng)注上述解答思路清晰，層次分明.美中不足、值得商榷的有兩點(diǎn)：一是“找點(diǎn)”的缺位.在依據(jù)零點(diǎn)存在性定理論證“g（x）在（0，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)x0”時(shí)采用的是描述性的方式：“當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→+∞”，顯然存在論證不嚴(yán)密、不充分的弊病.那么，是否存在x∈(0)，+∞ ，使得g(x)＞0呢？答案是肯定的，例如當(dāng)x＝ln（a+1）+1時(shí)即滿(mǎn)足g(x)＞0，證明如下：

g(l n （a+1）+1)＝[l n （a+1 ）+1]e[ln（a+1）+1]-1-a＝[l n （a+1）+1 ]（a+1）-a＞（a+1）-a＝1＞0，“取點(diǎn)”問(wèn)題歷來(lái)是導(dǎo)數(shù)解答題的疑難所在，極具挑戰(zhàn)性.二是隱零點(diǎn)代換技巧性強(qiáng).后續(xù)證明f（x）min≥a的過(guò)程，是典型的“隱零點(diǎn)”代換理論的應(yīng)用，其間多次進(jìn)行等式代換，技巧性強(qiáng)，不易為學(xué)生掌握.最后，借助基本不等式通過(guò)放縮進(jìn)行證明，整個(gè)解答過(guò)程較為繁瑣冗長(zhǎng)，要求考生具備較為全面的素質(zhì)和能力.那么，能否另辟蹊徑，規(guī)避上述“取點(diǎn)”及隱零點(diǎn)代換的困擾呢?下面采用主元變換法嘗試解答.

證法2（變換主元法）

當(dāng)a＞0時(shí)，欲證f（x）≥a，即證ex-1-alnx+alna≥a，亦即證 ex-1-alnx+alna-a≥0.設(shè)g(a)＝ex-1-alnx+alna-a，則g′(a)＝lnalnx，令g′(a)＝0，解得a＝x，且當(dāng)a∈（0，x）時(shí)，g′（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減；當(dāng)a∈（x，+ ∞）時(shí)，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增，所以g（a）min＝g（x）＝ex-1-x≥x-x＝0，所以g（a）≥ 0，原不等式成立.

案例2（2015年高考全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷文科第21題）已知函數(shù)f（x）＝e2x-alnx，

（Ⅰ）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）證明：當(dāng)a＞0時(shí)

證法1（常規(guī)證明方法）

（Ⅰ）（略）；

評(píng)注本題也可進(jìn)行如下證明：由（＊）式得欲證（＊）式得a＝2x0e2x0，即證整理后，只需證明(2x0-1)2≥0，該式顯然成立，命題得證.

上述兩種證明過(guò)程都用隱零點(diǎn)等式進(jìn)行了兩次代換，其難點(diǎn)依然在于“找點(diǎn)”，即借助于零點(diǎn) 存 在 性 定 理 ，說(shuō) 明 ?x0∈（0，+∞ ）滿(mǎn) 足需要較全面的數(shù)學(xué)知識(shí)和較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng).那么，本題還有其他證法嗎？下面轉(zhuǎn)變一下思路，習(xí)慣上將即證不等式中的x視為未知數(shù)，a視為參數(shù).而本題中a的形式較為復(fù)雜（例如），為此，可以考慮主配角互換一下，即將不等式中的a視為未知數(shù)，x視為參數(shù)，重新嘗試證明.

證法2（變換主元法）

設(shè)h（x）＝2ex-e2x，h（x）＝2e-2e2x，h（x）在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減

亦即g（a）max≤ 0，命題得證.

在上述兩個(gè)案例的解答過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用主元變換的方法，將函數(shù)視為a的函數(shù)，思維難度降低，解答運(yùn)算量得以大幅縮減，有事半功倍之成效.另外，還可以看出主元變換法更適用于參數(shù)出現(xiàn)頻率較高，或參數(shù)形式較為復(fù)雜的情形.需注意的是，變換主元構(gòu)造函數(shù)后，主副元已經(jīng)交換，要按照新元進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算.

3 如何理解“配套”技巧裝備支撐？

“四翼”是《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》提出的高考考查要求，其中之一的“綜合性”要求考生“能夠運(yùn)用科學(xué)的思維方法，合理地組織、調(diào)動(dòng)不同學(xué)科的相關(guān)知識(shí)與能力，高質(zhì)量地應(yīng)對(duì)生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索中的復(fù)雜問(wèn)題情境，能夠觸類(lèi)旁通、舉一反三、甚至融會(huì)貫通.”克萊因也指出，一個(gè)數(shù)學(xué)教師的職責(zé)是應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)并不是孤立的一門(mén)學(xué)問(wèn)，而是一個(gè)有機(jī)的整體.本文著重討論的不等式問(wèn)題，經(jīng)常作為高考?jí)狠S題出現(xiàn)，其解答過(guò)程往往不是一蹴而就的，極有可能經(jīng)歷多次、痛苦的路徑探索.而解題策略的確定也只是解題的開(kāi)端，能否完美的到達(dá)終點(diǎn)還需其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想、技巧等的支持，如證明不等式的常用方法：比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造法、判別式法、換元法、局部調(diào)整法等，這些基礎(chǔ)方法訓(xùn)練要扎實(shí)到位，尤其是基本不等式、柯西不等式、琴生不等式、排序不等式、切線(xiàn)不等式等放縮工具要加強(qiáng)練習(xí)，熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)，夯基固本，久久為功.如此，解題時(shí)才能依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在關(guān)聯(lián)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，游刃有余、從容不迫地完成高質(zhì)量的解答.

主元變換法大有用武之地，下面再舉幾例.

題1（2016年全國(guó)新課標(biāo)ⅠⅠⅠ卷文科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx-x+1.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)x∈(1，+∞ )時(shí)

（3）設(shè)c＞1，證 明 ：當(dāng)x∈(0，1) 時(shí) ，1+(c-1)x＞cx.

解（1）（2）（略）

（3）設(shè)g(c)＝1+(c-1)x-cx，c＞1，則g′(c)＝x-xcx-1＝x(1-cx-1).因?yàn)閤∈(0 ，1)，所以x-1∈(-1，0)，于是h（c）＝cx-1在(1 ，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，從而cx-1＞ 1x-1＝1，1-cx-1＞ 0，所以g′(c)＞0，從而g(c)在(1 ，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增 ，從 而 有g(shù)(c)＞g(1)＝1-1＝0，即 1+(c-1)x-cx＞0，所 以 ，當(dāng)c＞1，x∈(0 ，1)時(shí) ，1+(c-1)x＞cx.

點(diǎn)評(píng)上述解答通過(guò)變更主元，構(gòu)造了新函數(shù)從而g(c)，通過(guò)對(duì)g(c)求導(dǎo)，直接判斷出g′(c)＞0，得到g(c)在(1 ，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，進(jìn)而得證，與原參考答案構(gòu)造關(guān)于x的函數(shù)相比，操作性更強(qiáng)，步驟更簡(jiǎn)潔，顯示出變更主元法的優(yōu)越性.

題2（重慶南開(kāi)中學(xué)高2022屆高三7月考試）已知函數(shù)

（1） 當(dāng)a＞0時(shí) ，討 論 函 數(shù) 的F(x)＝單調(diào)性；

（2） 當(dāng)a＞1 時(shí) ，求 證 ：axf（x）-g（ax）＞（e-1）x+1.

解（1）（略）

（2）當(dāng)a＞ 1時(shí)，欲證axf（x）-g（ax）＞（e-1）x+1，即證aex-（e-1）x-ln（ax）≥ 1.

設(shè)h（a）＝aex-（e-1）x-ln （ax），則h′（a）＝因?yàn)閍＞ 1，且x＞ 0，ex＞ 1，所以

h′（a）＝ex-＞0，所以h（a）在 (1 ，+∞)內(nèi) 單 調(diào) 遞 增 ，故h（a）＞h（1）＝ex-（e-1）xlnx＝(ex-ex)+(x-lnx)≥1，

原不等式成立.

評(píng)注本題最后借助了切線(xiàn)不等式ex≥ex、x-1≥lnx實(shí)施放縮.

題 3已知函數(shù)f（x）＝ex(sinx-ax2+2ae).

（1）當(dāng)a＝0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

解（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝ex(sinx)-e，

f′（x）＝ex(sinx)+cosx-e故f（x）在R上遞減.

（2）欲 證 對(duì) 任 意x≥0，f（x）≤0，即 證只需證sinx-ax2+2a-e＜0.

設(shè)g（a）＝sinx-ax2+2a-e，

下面證明sinx-x2+2-e＜0.

易證對(duì)任意x≥0，sinx≤x，則sinx-x2+命題得證.

評(píng)注與例1類(lèi)似，本例也可用隱零點(diǎn)法進(jìn)行解決，但難度較大，此處不再贅述.使用主元變換后，當(dāng)x≥0時(shí)且時(shí)，h（a）是關(guān)于a的一次函數(shù)，容易列出充要條件進(jìn)行求解.而在后的兩個(gè)不等式證明中，都使用了放縮法證明不等式，第一個(gè)不等式利用了正弦函數(shù)的有界性，第二個(gè)不等式借助了常見(jiàn)不等式sinx≤x(x≥0)實(shí)施放縮.

上述三例均是利用主元變換法證明不等式恒成立問(wèn)題，而對(duì)于其他類(lèi)型的題目也可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，進(jìn)而適時(shí)考慮主元變換進(jìn)行證明，如下面題4.

題4函數(shù)

（1）若m＝1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若f（x）的最小值是m，求m的最小值.

解（1）當(dāng)m＝1 時(shí)

設(shè)g（x）＝x2ex-1+lnx-1，易 知g（x）在（0，+ ∞ ）內(nèi)單調(diào)遞增，且g（1）＝0，故f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），增區(qū)間是（1，+ ∞ ）.

（2）按照常規(guī)方法，應(yīng)先求出f（x）的最小值，再令此最小值等于m，但求解此最小值難度較大.轉(zhuǎn)變思路，首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式f（x）≥m恒成立，求m的最小值；其次，由于參數(shù)的形式（emx-1）較為復(fù)雜，考慮主元變換.

當(dāng)且僅當(dāng)m＝時(shí)，h（m）＝0.則方程有根，即函數(shù)y＝m與y＝的圖象有交點(diǎn).設(shè)，所以u(píng)（x）在(0，e2)內(nèi)單調(diào)減，在(e2，+ ∞)內(nèi)單調(diào)遞增所以m的最小值

評(píng)注本題中構(gòu)造新函數(shù)h（m）＝emx-1-后，新的自變量是m，而x的角色則成為了參數(shù).另外，本題上述解答另一關(guān)鍵之處是將條件“f（x）的最小值是m”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“不等式f（x）≥m恒成立”.

羅增儒教授說(shuō)：“解題是數(shù)學(xué)工作者數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式和主要內(nèi)容，解題是數(shù)學(xué)工作者的一個(gè)存在目的，解題是數(shù)學(xué)工作者的一個(gè)興奮中心.”解題的重要性不言而喻，而多角度、多渠道地對(duì)題目進(jìn)行剖析更有利于我們深刻把握問(wèn)題的本質(zhì)，有效拓寬解題思路.變換主元法可以活躍學(xué)生思維，加快解題步伐，提高解題效益.在課堂教學(xué)中，教師要以典型習(xí)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生深刻剖析題設(shè)條件，擺脫思維定勢(shì)的束縛，敏銳捕捉解題靈感，觸發(fā)思維萌芽，全方位搭建解題思路，并放手讓學(xué)生從多個(gè)視角嘗試解答，在一招一式的實(shí)踐拼搏中培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立性、批判性、發(fā)散性等創(chuàng)造性思維品質(zhì).