解三角形與平面幾何圖形結(jié)合的解題策略

福建省莆田第一中學(xué) 吳曉明 林清利 （郵編：351100）

解三角形是高中數(shù)學(xué)的一個重要章節(jié)，在新高考解答題的六個模塊中，解三角形與三角函數(shù)是其中的一個必選內(nèi)容.其中解三角形題目的設(shè)計形式比較多樣，有的設(shè)計成“不良結(jié)構(gòu)”試題，有的是以邊角關(guān)系的常規(guī)試題，還有的是與平面幾何相結(jié)合.在核心的考查上主要是考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).從2020年的八省聯(lián)考和2021年的新高考對解三角形的考查來看，考查的力度有所增強(qiáng).在高三復(fù)習(xí)中，復(fù)習(xí)完兩個解三角形公式：正弦定理和余弦定理，適當(dāng)處理解三角形的個別微專題，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力的提升是很有幫助的.本文主要探究解三角形與平面幾何圖形相結(jié)合的常見類型及解決方法，具體來說是對正弦定理或余弦定理的運(yùn)用次數(shù)，可以分為“算一次”和”算兩次”.由于這類平面幾何問題一般可以一題多解，除了正弦定理或余弦定理外，有的還可以通過建系，向量，兩個三角形的面積關(guān)系等方向切入，具體可參考黃美青[1]，鐘康生[2]等論文，本文就不展開.

1 “算一次”問題

常見的平面幾何圖形有兩種類型：一種是由兩個三角形拼成一個大三角形，一種是由兩個三角形拼成一個四邊形.所謂“算一次”問題，就是只需通過一次正弦定理或余弦定理就可以把問題角或邊長算出來.

例1如圖1，已知△ABC中∠ABC＝45°，∠ACB＝60°.

（1）求AC的長；

（2）若CD＝5，求AD的長.

解（1）如圖1所示，在△ABC中，由正弦定理得，

圖1

（2）因?yàn)椤螦CB＝60°，所以∠ACD＝120°，

在△ACD中，由余弦定理得，

例2（安徽省A10聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月段考）如圖2，平面四邊形ABCD是由鈍角△ABC與銳角△ACD拼接而成，且AC·cos∠BAC＝BC·sin∠ABC，

圖2

（1）求∠CAD的大小；

解（1）在△ABC中 ，由AC·cos∠BAC＝BC·sin∠ABC，及由正弦定理得，sin∠ABC·cos∠BAC＝sin∠BAC·sin∠ABC，

因?yàn)閟in∠ABC≠0，所以tan∠BAC＝1，

又∠BAC∈（0，π），即

（2）在△ACD中由余弦定理得，

此時△ACD為鈍角三角形，不滿足題意，舍去.

設(shè)計意圖通過這兩個例子，（1）認(rèn)識兩個平面幾何圖形和訓(xùn)練學(xué)生通過圖形尋找需要的條件的能力，并在過程中鞏固正弦定理和余弦定理公式的應(yīng)用.（2）為接下來進(jìn)一步分析較難的圖形打基礎(chǔ).

2 “算兩次”問題

在一些平面幾何問題中，所求的角或邊長放在任何一個三角形中，由于條件較少，都不可能通過一次正弦定理或余弦定理求出.那么，可找兩個三角形，通過它們的公共邊或角，運(yùn)用兩次正弦定理或余弦定理，就可以解決問題，簡稱“算兩次”.

2.1 求角問題

例 3（2013年課標(biāo) Ⅰ·理 17）如 圖3，在△ABC中 ，∠ABC＝為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°.

圖3

（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

解（1）略.

（2）設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得化簡得所以，即tan

評注（1）此題觀察發(fā)現(xiàn)在△ABC、△PAB、△PBC、△PCA中任一個三角形，都無法單獨(dú)運(yùn)用一次正弦定理（或余弦定理），求出tan∠PBA.但通過△PAB、△PBC的公共邊PB，運(yùn)用兩次正弦定理，就可以解決問題.（2）可以發(fā)現(xiàn)，將PA放在△PAB和△PCA，進(jìn)行兩次正弦定理，或?qū)C放在△PBC和△PCA，進(jìn)行兩次正弦定理，也都可以求tan∠PBA的值.一般地，求三角形某個內(nèi)角問題，可尋找其中的一條邊，對其放到兩個三角形，分別運(yùn)用正弦定理或余弦定理，“算兩次”解方程求之.

變式1（2016年課標(biāo) ⅠⅠⅠ·理8）在△ABC中，邊上的高等于則sinA＝（ ）

解 方法一設(shè)BC邊上的高為h，則BC＝3h，在 直 角 △ACD中得AC＝在△ABC中，由正弦定理，得即，聯(lián)立方程組，消去AC，可解得 tanA＝-3，得

方法二設(shè)BC邊上的高線為AD，則BC＝3AD，DC＝2AD，所以由正弦定理，知解得，故選D.

變式2（2021年佛山一模）如圖4，在梯形ABCD中，AB//CD，AB＝2，CD＝5，

圖4

（2）若AC⊥BD，求tan∠ABD.

解（1）略

評注設(shè)AC∩BD＝O，該題第二問也可能過以下兩種方法求得：（1）對邊長BD＝BO+DO，可分別求出2cosα，DO＝5cosα，代入可求AC＝AO+CO，接下來與（1）做法一樣.

設(shè)計意圖上述三個例子，結(jié)合性較強(qiáng)，解題入口較寬，可以從不同角度切入，一題多解，是訓(xùn)練學(xué)生解題良好載體.對學(xué)生通過圖形尋找條件的能力，正余弦定理熟練程度及運(yùn)算和化簡技巧，都提出了比較高的要求.但是，通過某條邊長，進(jìn)行“算兩次”，可操作性較強(qiáng)，淡化技巧性，容易掌握.同時，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識進(jìn)一步加深，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.2 求邊長問題

例4（2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練）在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1.

（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC.

解（1）略

（2）如圖5，設(shè)BC＝x，則AB＝2x，在△ABD中，

圖5

在△BCD中，

由（1）可知，∠BDC＝∠ABD，所以cos∠BDC＝cos∠ABD，即

整理可得x2+2x-2＝0，因?yàn)閤＞0，解得因 此 ，cos∠BDC＝cos∠ABD＝

評注一般地，求三角形某個邊長問題:（1）可尋找其中的一個角，對其放到兩個三角形，分別運(yùn)用余弦定理，“算兩次”解方程求之.同樣的命制手法還有2021年新高考19題；（2）邊長可表示成某個未知角的正弦或余弦值，如2.1求角問題，可先求角的值，代入可得所求的邊長.

變式1（2019年課標(biāo)Ⅰ·理10）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交 于A、B兩 點(diǎn).若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（ ）

解由橢圓C的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），可 知c＝1，又 因 為|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，可設(shè)|BF2|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝|AB|＝3m，根據(jù)橢圓的定義可知|BF1|+|BF2|＝m+3m＝2a，得所 以面，可通過兩個方法求a的值.

方法一在△ABF1中，由余弦定理得：

在△AF1F2中，同余弦定理得：

解得a2＝3，b2＝a2-c2＝2，得 橢圓C的 方程為故選B.

方法二可 知 A（0，-b），根據(jù) 相似可 得代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得a2＝3，b2＝a2-c2＝2，得橢圓C的方程為故選B.

變式2（2019年課標(biāo)Ⅰ·理 12）如圖6，已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E、F分別是PA、AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為（ ）

圖6

解 方法一如圖6，設(shè)PA＝x，在△APC中，由余弦定理得

在△FPC中，由余弦定理得

又AB＝BC＝AC＝2，易知PA、PB、PC兩兩相互垂直，故三棱錐P-ABC的外接球的半徑為，即三棱錐P-ABC的外接球的體積為故選D.

評注本題也可通過線面垂直定理的判定來證明PB⊥平面PAC，進(jìn)而得到三棱錐的三條側(cè)棱PA、PB、PC是兩兩垂直的.

設(shè)計意圖上述三個例子，可以發(fā)現(xiàn)，“算兩次”問題，不僅僅只是在解三角形這一章節(jié)出現(xiàn)，也可以用在其它帶圖形的問題，如立體幾何，圓錐曲線等.體現(xiàn)一題多解的發(fā)散思維，只要方法得當(dāng)，對相關(guān)題目的解決會起到事半功倍的效果.

3 結(jié)語

本文以高考題為主探究解三角形與平面幾何相合問題的微專題，并得出操作性比較強(qiáng)的方法.在高三復(fù)習(xí)過程中，確定好的框架范圍內(nèi)，教師通過數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，發(fā)揮學(xué)生的主作用.同時，引導(dǎo)學(xué)生觀察，分析，探索發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑，及融入解題思路、規(guī)律等數(shù)學(xué)方法技巧.在此基礎(chǔ)上，提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力，培養(yǎng)其邏輯推理能力，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及清晰的解題思路，由此綜合提升學(xué)生高考備考的能力.