一道錯題引發(fā)的深入思考和拓廣探究

安徽省合肥市第八中學 合肥市蒲榮飛教育名師工作室 蒲榮飛 （郵編：230071）

1 原題再現(xiàn)

某校數學新教材選擇性必修第一冊校本練習冊有這樣一道題目：

如圖1，在梯形ABCD中，已知雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，則雙曲線的離心率為____.

圖1

將參考答案抄錄如下：

2 問題質疑

該問題和解答看似天衣無縫，但是如果結合圖象細細品味一下，便會發(fā)現(xiàn)其中端倪.如圖2所示，由即有|AM|＞|AN|，與實際位置顯然不符.

圖2

于是，開始懷疑可能是題目本身出了問題.

3 同源題組

為了證實自己的疑慮，筆者搜集了一組類似的試題如下：

試題1（湖南長郡中學高三測試）已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，點E在線段AC上，且雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，則雙曲線的離心率e的值為（ ）.

答案：A

試題2（江蘇泰州中學高二測試）已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，點E分有向線段所成的比為雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，則雙曲線的離心率為____.

答案：3

試題3（四川雅安中學高二測試）已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，點E在線段AC上，且滿足雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當時，雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）.

答案：A

4 深入思考

那么λ的取值范圍是什么呢？筆者從定性的直觀感知和定量的操作確認兩個視角進行了深入思考.

視角1：直觀感知——定性判斷

當梯形的上底CD向下逐漸靠近下底AB的過程中，雙曲線的張口越來越?。划擟D無限逼近AB時，如圖3所示雙曲線就退縮為兩條射線，此時點D和點E重合

圖3

而當梯形的上底CD向上逐漸遠離下底AB的過程中，雙曲線的張口越來越大；當CD無限遠離AB時，梯形無限逼近一個矩形，雙曲線就退縮為線段AB的中垂線，此時點E即為AC的中點，故可估計λ的取值范圍為

視角2：操作確認——定量計算

5 拓廣探究

如果將題中的條件|AB|＝2|CD|也一般化呢？進一步進行探究了其拓廣問題：

在梯形ABCD中，已知如果雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，那么雙曲線的離心率是多少？λ的取值范圍又是多少呢？

故λ的取值范圍為

6 感悟體會

感悟1：做到科學創(chuàng)編，謹防隨意想當然

備、教、批、輔、考是一線教師每天都面對的教學常規(guī)工作，其中考試不僅是檢測教學效果最有效的手段，它還對教學工作起到了風向標的指導作用.而決定考試質量的最重要因素莫過于試題的質量，命制一份高質量的試卷應該是每一位教師必備的一項基本的技能.

命題也稱為創(chuàng)編試題，它分為原創(chuàng)和改編兩種主要形式.原創(chuàng)試題往往題目新穎，可以有效克服那些以死記硬背、簡單重復、低級模仿為主要形式、單純以刷題為主要手段的教學弊端，它能夠激發(fā)學生獨立思考、自主探究的熱情，能夠真正檢測學生對數學概念、思想和方法的理解和感悟.同時也對命題者要求較高：要深度理解課標，又準確把握學情；要體現(xiàn)主干知識的交匯，又注重思想方法的融合；要命題立意高遠內涵豐富，又角度新穎不落俗套；…….因此對現(xiàn)有試題進行適當的改編便成了一線教師命題時最常采用的方法，相較于原創(chuàng)，改編更便于操作，往往只需改變一下問題情境、更改一下設問方式、修改一下數值字母、顛倒一下題設結論、變換一下圖形位置、推廣一下一般結論等便可快速得到一道相對質量較高的試題.

但是在一線教學實踐中，不時會遇到如同本文展示的類似錯題，而造成這種命題失誤的主要原因在于命題者在進行試題改編時經常受定勢思維影響想當然地隨意變換條件.作為命題者務必要具備高度的責任心和嚴謹的工作態(tài)度，要站在試題質量是教學的生命線的高度，從全局整體上去深入思考，嚴格執(zhí)行命題的科學流程方能命制出符合要求的高質量試題.

感悟2：善用錯誤資源，實現(xiàn)價值最大化下

對于錯題如果采取將錯就錯的態(tài)度是不尊重科學事實的表現(xiàn)，與數學求真的精神相悖；而如果直接刪除或者簡單糾錯則是一種暴殄天物的浪費行為，著實讓人感到可惜.

錯題作為一種特別寶貴的資源，一線教師要積極開發(fā)和充分利用這種資源，抓住學生喜歡獵奇的心理，鼓勵他們深入思考開展探究，從”糾錯”到”究錯”挖掘出導致命題出現(xiàn)謬誤背后的原因或原理，不但使他們的探究能力和思維水平得到發(fā)展，而且可以培養(yǎng)他們求真求實的科學精神，從而實現(xiàn)錯題資源教育價值的最大化.