提升歸納推理素養(yǎng) 啟迪學(xué)生思維之光

浙江省新昌中學(xué) 張 淦 （郵編：312500）

日常教學(xué)中，“下筆難”“想不到”“沒思路”是學(xué)生求解數(shù)學(xué)問題時的常有現(xiàn)象.特別是面對“新”題目，學(xué)生常常感嘆“尋尋覓覓，冷冷清清，凄凄慘慘戚戚”.作為教師，如何啟迪學(xué)生思維之光，探尋“破題”關(guān)鍵，是教學(xué)的現(xiàn)實(shí)需要.

歸納推理作為邏輯推理的方式之一，具有啟迪思路、發(fā)現(xiàn)知識的功能.從具體到抽象，從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般，從猜想到證明是基本的歸納推理策略.

1 “具體”入手，“抽象”落地

例1（2020.浙江卷第10題）設(shè)集合S、T，S?N*，T?N*，S、T中至少有兩個元素，且S、T滿足：

①對于任意x、y∈S，若x≠y，都有xy∈T

②對于任意x、y∈T，若x＜y，則下列命題正確的是

A.若S有4個元素，則S∪T有7個元素

B.若S有4個元素，則S∪T有6個元素

C.若S有3個元素，則S∪T有5個元素

D.若S有3個元素，則S∪T有4個元素

解 析當(dāng)S＝{1，2，4} 時 ，T＝{2，4，8}，S∪T＝{1 ，2，4，8 }排除 C;

當(dāng)S＝{2，4，8}時，T＝{8，16，32}，S∪T＝{2，4，8，16，32 }排除 D;

若取S＝{ 2 ，4，8，16 }，則T＝{ 8 ，16，32，64，128 }，此時S∪T＝{2 ，4，8，16，32，64，128 }，包含 7個元素，選A.下證選項A是正確的.

設(shè) 集 合S＝{a，b，c，d}，且a＜b＜c＜d，a、b、c、d∈N*.由條件①可得:ab、ac、ad、bc、bd、cd∈T，再由條件②可得{a，b，c，d}.注意到都成立，得到b＝a2，c＝a3，d＝a4，且a≠1，所 以S＝{a，a2，a3，a4}，T＝{a3，a4，a5，a6，a7}，得到S∪T＝{a，a2，a3，a4，a5，a6，a7}.

反思此題以集合與元素為背景，符號多、抽象性強(qiáng)、問題的本質(zhì)學(xué)生難以識別.我們通過具體實(shí)例，推理得到問題的本質(zhì)是元素的互異性和唯一性.

2 “簡單”開始，力克“復(fù)雜”

例2（2021.紹興市期末統(tǒng)考卷第10題）已知遞增數(shù)列{an}的前 100項和為 Sn，且a1＞ 0，a100＝2，若當(dāng) 1≤i＜j≤ 100時，ai-aj仍是數(shù)列{an}中的項（其中n、i、j∈N*），則

解析為了降低思維的起點(diǎn)和難度，我們不妨采用歸納推理的處理辦法，不妨遵循從簡單到復(fù)雜、數(shù)據(jù)從小到大的歸納推理策略.

令i＝1，j＝2，則a2-a1∈{a1，a2，…，a100}，因為a2-a1＜a2，所以a2-a1＝a1，得到a2＝2a1.

事實(shí)上，人教版數(shù)學(xué)必修5等差數(shù)列第一課時，設(shè)置了如下的數(shù)列場景.

（1）我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：

0，5，___，____，____，….

（2）水庫每天的水位組成數(shù)列（單位:m）18，15.5，13，10.5，8，5.5.

（3）存款各年末的本利和（單位:元）組成數(shù)列：10072，10144，10216，10288，10360.

材中這樣的編寫安排，從特殊到一般，起點(diǎn)低，契合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.“從特殊入手，研究數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)，再逐步擴(kuò)展到一般，這是數(shù)學(xué)常用的研究方法[1]”.

3 “特殊”順利，“一般”成章

例3（2014年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平測試第25題）如圖，在 Rt△ABC中 ，AC＝1，BC＝x，D是斜邊AB的中點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是（ ）

解析若存在某個位置，使得CB⊥AD，只需過點(diǎn)C作直線AB的垂直平面α，若滿足B∈α，則有CB⊥AD.遵循特殊到一般的推理分析策略，考慮三種特殊的情形.

當(dāng)x→ 0，即時，翻折終止時，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)B′和點(diǎn)B位于平面α異側(cè)，因此翻折過程中存在某個位置，使得B∈α，因此x→0可以；

當(dāng)x→+∞，即時，始終有B?α，因此x→+∞不可以.

當(dāng)翻折終止，恰好有B′∈α?xí)r，則有∠DBC＝∠BCD＝∠DCB′，從而得到

∠DBC＝，此時所以選A.

反思垂直、平行、平分等特殊情況，極大、極小等極端情形，就是將點(diǎn)、線、面的運(yùn)動位置推到極限狀況，從而把比較隱蔽的條件或臨界狀況暴露出來.事實(shí)上，由特殊到一般的本質(zhì)就是歸納推理.所有偶然的背后不一定有必然作為支撐，但所有必然都是通過偶然表現(xiàn)的.

4 “猜想”探路，“證明”跟上

例4（2020年新高考卷理科第21題）已知函數(shù)f（x）＝aex-1-lnx+lna.

（ⅠⅠ）若f（x）≥ 1，求a的取值范圍.

解析由于f（1）＝a+lna≥ 1，且y＝a+lna是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以a≥1.

下證:a≥ 1時，f（x）≥ 1恒成立.

令h（a）＝ex-1·a+lna-lnx，注 意 到y(tǒng)＝h（a）是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以h（a）≥h（1）恒成立.令g（x）＝h（1）＝ex-1-lnx.g′（x）＝ex-1-，注意到y(tǒng)＝g′（x）是單調(diào)遞增，且g′（1）＝0，所以y＝g（x）在x∈（0，1）時 單 調(diào) 遞 減 ，在x∈（1，+∞）時單調(diào)遞增，所以g（x）min＝g（1）＝0，所以g（x）≥ 1恒成立，得證.

反思“必要性優(yōu)先”的處理辦法是十分有效的.學(xué)生看到這樣的解法，一是感嘆解法的簡潔明了，二是感到疑惑，為什么一開始x要取值1，而不是其它的數(shù).事實(shí)上，“必要性優(yōu)先”處理的關(guān)鍵是能取到“好”的值.對于x＝1的得來，可以基于這樣的猜想.

f（x）＝aex-1-lnx+lna≥1 恒 成 立 ，即aex-1≥lnx-lna+1恒成立，猜想

y＝aex-1和y＝lnx-lna+1有公共的切線和切點(diǎn).設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0.則有

由歸納推理得到的結(jié)果不一定正確，但指引了問題研究的方向.這就要求我們在應(yīng)用歸納推理解決問題時，不妨大膽“歸納”，務(wù)必小心“求證”.