立足提升核心素養(yǎng) 開(kāi)展整體性教學(xué)
——以“圓的方程”復(fù)習(xí)課為例

四川省成都市第七中學(xué)萬(wàn)達(dá)學(xué)校 劉 春 （郵編：610036）

1 整體性教學(xué)的必要性分析

圓作為解析幾何的基本研究對(duì)象之一，一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考考查的熱點(diǎn).圓的方程的建立使用了坐標(biāo)法，利用平面直角坐標(biāo)系將曲線與方程統(tǒng)一起來(lái)，讓學(xué)生初步意識(shí)到解析幾何兼顧數(shù)與形，而直線與圓的聯(lián)動(dòng)出現(xiàn)則更是將“數(shù)形結(jié)合”的思想，代數(shù)法與幾何法的辯證統(tǒng)一體現(xiàn)得淋漓盡致，因此本部分的學(xué)習(xí)可以重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).但在實(shí)際教學(xué)中，圓的方程知識(shí)點(diǎn)覆蓋滿面廣，學(xué)習(xí)重難點(diǎn)多，課時(shí)容量大，一節(jié)課對(duì)應(yīng)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，因此教材有意采用了點(diǎn)狀的編排方式以突出重難點(diǎn)，從而降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，但這又不利于學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系的構(gòu)建.因此，在復(fù)習(xí)的教學(xué)過(guò)程中要求老師能夠跳出“某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)”“某一道題”“某一節(jié)課”，轉(zhuǎn)而去進(jìn)行整體性教學(xué)的設(shè)計(jì)，即要將“知識(shí)的整體講授，思想方法的整體體會(huì)，核心素養(yǎng)的整體提升”結(jié)合在一起，才能夠讓學(xué)生“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”.

2 整體性教學(xué)的概念

整體性原則，就是把研究對(duì)象看作由各個(gè)構(gòu)成要素形成的有機(jī)整體，從整體與部分相互依賴、相互制約的關(guān)系中揭示對(duì)象的特征和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，研究對(duì)象整體性質(zhì).而整體性原則在數(shù)學(xué)教學(xué)上的體現(xiàn)，即以“教學(xué)整體”為工具，利用“教學(xué)整體”的知識(shí)性與功能性相統(tǒng)一的特征，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，對(duì)結(jié)構(gòu)相關(guān)的一系列知識(shí)進(jìn)行加工和重組，先解決結(jié)構(gòu)良好領(lǐng)域的問(wèn)題，后解決結(jié)構(gòu)不良領(lǐng)域的問(wèn)題，使知識(shí)永遠(yuǎn)在結(jié)構(gòu)中存在，使得學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)形式與學(xué)習(xí)方式相一致，并通過(guò)整體性評(píng)價(jià)促進(jìn)學(xué)生全身心投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)下單元復(fù)習(xí)，專題復(fù)習(xí)的研究方向都指向了基于“整體”視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

3 傳統(tǒng)教學(xué)到整體性教學(xué)的三大轉(zhuǎn)變

3.1 單一知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)到“基礎(chǔ)知識(shí)，思想方法，核心素養(yǎng)”統(tǒng)領(lǐng)下復(fù)習(xí)的轉(zhuǎn)變

復(fù)習(xí)不是把新課重復(fù)一遍，而是將知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用三者串聯(lián)起來(lái)，即找到“學(xué)習(xí)主線”，學(xué)習(xí)主線將圍繞“基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法、核心素養(yǎng)”展開(kāi)傳統(tǒng)教學(xué)的主線大致為“知識(shí)呈現(xiàn)—例題講解—課堂小結(jié)”，這種組織復(fù)習(xí)重視了知識(shí)梳理但忽視了網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，重視解題技巧但忽略了思想方法，重視了題型教學(xué)但忽略了素養(yǎng)提升，即只重視了基礎(chǔ)知識(shí)這一條主線.整體性教學(xué)常以知識(shí)主線即“背景—本質(zhì)—性質(zhì)—應(yīng)用”為明線，以思想方法如“背景—方法—方法論—學(xué)科觀”為暗線，共同作用于數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng).

3.2 “唯分?jǐn)?shù)論”評(píng)價(jià)方式到形成性評(píng)價(jià)方式的轉(zhuǎn)變

教育部考試院發(fā)布的中國(guó)課程評(píng)價(jià)體系由“一核四層四翼”三部分組成，是“一體兩面”的綜合體系，以“四層”為考查內(nèi)容評(píng)價(jià)學(xué)生素質(zhì)達(dá)成度，以“四翼”為考查要求評(píng)價(jià)學(xué)生素質(zhì)達(dá)成度，為了最大可能的實(shí)現(xiàn)“立德樹人、服務(wù)選材、引導(dǎo)教學(xué)”在教學(xué)中首先要弱化具有威脅性的，引起學(xué)生高度焦慮，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)考試采取敵對(duì)心理甚至采用作弊等手段的評(píng)價(jià)方式，其次要采取形成性評(píng)價(jià)方式，僅僅用唯分?jǐn)?shù)論評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)結(jié)果是不夠科學(xué)的，還要評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)方式與學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況和個(gè)人需求，可以采用觀察記錄，學(xué)生自評(píng)互評(píng)等方式，增大學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，讓學(xué)生本身形成對(duì)學(xué)習(xí)的興趣，好奇心，探索欲等，最終提升學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3.3 單一視角看問(wèn)題到多視角看問(wèn)題的轉(zhuǎn)變

圓的方程這一部分的內(nèi)容兼具形與數(shù)的特點(diǎn)，因此問(wèn)題的設(shè)計(jì)與解答不能光從幾何角度或代數(shù)角度出發(fā)，應(yīng)該兼而有之，比如在下例中：

例1（幾何視角）已知圓C：x2+y2-6x-8y＝0，P為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則P到原點(diǎn)距離的最大值與最小值的和為_(kāi)__________.

這是一個(gè)典型的從幾何視角出發(fā)設(shè)計(jì)的問(wèn)題，學(xué)生很容易看清幾何背景為“圓上動(dòng)點(diǎn)到圓外定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題”，學(xué)生能夠自然地對(duì)幾何圖形進(jìn)行分析進(jìn)而解決問(wèn)題，但是如果從代數(shù)的角度發(fā)問(wèn)：

例1′（代數(shù)視角）已知x2+y2-6x-8y＝0，則x2+y2的最大值與最小值的和為_(kāi)_________.

隱藏其明顯的幾何意義，則需要學(xué)生根據(jù)該代數(shù)背景將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，進(jìn)而求解，極強(qiáng)增加了這道題數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，提升學(xué)生邏輯思維能力.

再比如下例的兩種問(wèn)法：

例2（幾何視角）已知曲線與直線y＝x+m恰有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍為_(kāi)_________.

例2′（代數(shù)視角）方程恰有一解，則m的取值范圍為_(kāi)_________.

從不同的視角看問(wèn)題其實(shí)就是讓學(xué)生將知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用三者再一次串聯(lián)起來(lái)，在不斷觀察、思考、實(shí)踐、反思中發(fā)展，通過(guò)對(duì)文字語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言之間的反復(fù)轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象等核心素養(yǎng).

4 直線與圓復(fù)習(xí)課整體性教學(xué)設(shè)計(jì)

基于以上分析，下文將從研究路徑，評(píng)價(jià)方式和具體實(shí)施方法案例給出復(fù)習(xí)思路.

4.1 圓的方程復(fù)習(xí)課的研究路徑

直線與圓這兩種曲線的研究都經(jīng)歷了如下路徑“根據(jù)具體的問(wèn)題背景，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并設(shè)點(diǎn)；根據(jù)圖形語(yǔ)言確定幾何關(guān)系；根據(jù)幾何關(guān)系的呈現(xiàn)形式選擇幾何法或代數(shù)法；利用代數(shù)法（幾何法）得出結(jié)論；根據(jù)結(jié)論解釋幾何問(wèn)題”，以上路徑不僅適用于直線與圓的研究，也適用于每一種曲線的性質(zhì)研究可以用如下框圖簡(jiǎn)單呈現(xiàn)：________

代數(shù)形式即根據(jù)幾何關(guān)系的呈現(xiàn)形式選擇代數(shù)法或者幾何法，比如則選擇代數(shù)法聯(lián)立直線與圓，若是則幾何法代數(shù)法均可選擇.由此可以看出幾何關(guān)系的呈現(xiàn)形式是問(wèn)題的突破口，深入的挖掘幾何關(guān)系將其翻譯成正確的合適的符號(hào)語(yǔ)言則是處理問(wèn)題的關(guān)鍵，而代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題則是靈魂所在每一個(gè)環(huán)節(jié)都側(cè)重于不同的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如下圖：

坐標(biāo)法不僅是研究幾何問(wèn)題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)坐標(biāo)系，把點(diǎn)與坐標(biāo)，直線與方程聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了形與數(shù)的統(tǒng)一.因此在教學(xué)過(guò)程中要始終貫穿坐標(biāo)法這一重要思想，不怕反復(fù).這一章僅僅是學(xué)習(xí)坐標(biāo)法的一個(gè)開(kāi)始，今后圓錐曲線與方程等章節(jié)還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)，坐標(biāo)法的基本思想與解題步驟應(yīng)該在本章初步形成.

4.2 圓的方程復(fù)習(xí)課的評(píng)價(jià)方式

類似于研究途徑中的明線與暗線，即“背景—本質(zhì)—性質(zhì)—應(yīng)用”為明線，以思想方法如“背景—方法—方法論—學(xué)科觀”為暗線，教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)也可以從明線，即“知識(shí)體系、學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)態(tài)度”與暗線，即“思維過(guò)程的引導(dǎo)與思維過(guò)程的監(jiān)督”進(jìn)行評(píng)價(jià)，問(wèn)題是師生對(duì)話的基礎(chǔ)，也是師生交流的窗口，通過(guò)問(wèn)題的解決不僅可以將有關(guān)知識(shí)方法傳遞給學(xué)生，更重要的是在解決問(wèn)題過(guò)程中給學(xué)生樹立示范，引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).下面以一道例題為線索，看學(xué)生解題需求，并從三個(gè)方面討論形成性評(píng)價(jià)的方式.

例題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線x-3y-10＝0 與 圓 O：x2+y2＝r2（r＞0）相切.

問(wèn)（1）直線l過(guò)點(diǎn)（2，1）且截圓 O 所得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程；

問(wèn)（2）已知直線y＝3與圓O交于A、B兩點(diǎn)，P是圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，且直線AP，BP與y軸相交于M、N點(diǎn).判斷點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)之積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

本題考查面廣，知識(shí)涉及到圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓的綜合應(yīng)用；方法上考查了學(xué)生使用幾何法與坐標(biāo)法解決直線與圓相關(guān)問(wèn)題的能力；對(duì)學(xué)生的核心素養(yǎng)滲透得及其全面.

（1）對(duì)學(xué)生問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力的評(píng)價(jià)

從學(xué)生的解答中可以看出，利用相切解出圓的半徑，設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，將弦長(zhǎng)問(wèn)題利用垂徑定理的數(shù)學(xué)形式轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問(wèn)題仍然是基本解決方法，運(yùn)算量較小但部分同學(xué)不能夠?qū)ⅰ跋议L(zhǎng)”與“圓心到直線的距離”二者結(jié)合起來(lái)，而直接聯(lián)立直線與圓使用弦長(zhǎng)公式導(dǎo)致運(yùn)算量過(guò)大，對(duì)于基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)計(jì)算容易錯(cuò)誤.

因此教師在評(píng)價(jià)時(shí)應(yīng)該圍繞以下幾個(gè)問(wèn)題，“從什么角度分析能夠得到解法”“什么是常規(guī)方法？什么是簡(jiǎn)便做法？”

具體到第一問(wèn)，使用代數(shù)法的同學(xué)能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中了解運(yùn)算對(duì)象，了解運(yùn)算法則及其適用范圍，但對(duì)幾何語(yǔ)言的理解仍停留在表面，缺乏形與數(shù)的思考，反映了學(xué)生對(duì)知識(shí)連接較弱，這些學(xué)生在圓的方程一章的學(xué)習(xí)處在“水平1”的層次；而采用幾何法的同學(xué)，能在數(shù)學(xué)情境中建立正確的數(shù)學(xué)模型，明確運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，求得運(yùn)算結(jié)果，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的意義與作用，該部分學(xué)生至少處在“水平2”層次.

（2）對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的評(píng)價(jià)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求教師要對(duì)學(xué)生加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，敢于質(zhì)疑善于思考，理解概念，把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，明晰算理，理清知識(shí)的來(lái)龍去脈，建立知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，在第一問(wèn)中對(duì)直線方程的設(shè)法出現(xiàn)了不同的解答，部分同學(xué)直接將直線設(shè)為y-1＝k（x-2），而沒(méi)有討論斜率是否存在，即缺少直線方程x＝2這種情況反映了部分學(xué)生思維習(xí)慣不夠規(guī)范，對(duì)條件的研究不夠深入，想當(dāng)然的使用經(jīng)驗(yàn)主義.（從題海戰(zhàn)術(shù)中總結(jié)出的經(jīng)驗(yàn)主義）教師應(yīng)圍繞“為什么知定點(diǎn)要設(shè)點(diǎn)斜式而不是其他形式”“是不是一定要討論x＝2的情況？”這樣兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行評(píng)價(jià).

（3）對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度的評(píng)價(jià)

良好的學(xué)習(xí)態(tài)度是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必要條件，因此學(xué)習(xí)態(tài)度應(yīng)該作為教學(xué)目標(biāo)的重要評(píng)價(jià)，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注主動(dòng)學(xué)習(xí)，認(rèn)真思考，善于交流，集中精力，堅(jiān)毅執(zhí)著，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)等，教師應(yīng)當(dāng)記錄學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度的變化與成長(zhǎng)過(guò)程形成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度，首先需要對(duì)學(xué)生提出合適的要求，比如在此題中第2問(wèn)解決“判斷點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)之積是否為定值?”可以拆分為以下四個(gè)步驟：（1）求出A、B的坐標(biāo)并設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）寫出直線AP、BP的方程；（3）寫出AP、BP與y軸的交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；（4）計(jì)算M、N縱坐標(biāo)乘積并化簡(jiǎn)得出結(jié)論可以按照如下表格對(duì)不同學(xué)業(yè)水平學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度進(jìn)行評(píng)價(jià).

運(yùn)算水平要求完成數(shù)學(xué)運(yùn)算水平1數(shù)學(xué)運(yùn)算水平2數(shù)學(xué)運(yùn)算水平3步驟1√√√步驟2√ √步驟3√ √步驟4√

4.3 圓的方程復(fù)習(xí)具體實(shí)施方法案例

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到復(fù)習(xí)題要注重單元知識(shí)的系統(tǒng)性，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，增進(jìn)復(fù)習(xí)的有效性，達(dá)到相應(yīng)單元的“學(xué)業(yè)要求”，也要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容主線之間的關(guān)聯(lián)以及六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之間的協(xié)調(diào)，有利于學(xué)生整體理解并系統(tǒng)掌握學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)業(yè)質(zhì)量的相應(yīng)要求.在專題知識(shí)復(fù)習(xí)中可以圍繞如下問(wèn)題展開(kāi)：

（1）圓的方程有哪幾種形式？你能說(shuō)出他們各自的特點(diǎn)嗎？

（2）通過(guò)方程，研究直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系是本章的主要內(nèi)容之一，你能說(shuō)出判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系從哪兩方面入手嗎？

（3）坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題三部曲是什么？

（4）你能利用信息技術(shù)工具探索圓的多種生成方式嗎？并形成研究型報(bào)告

（5）你能否將“坐標(biāo)法”與平面幾何綜合法，平面向量建立聯(lián)系，并推廣到空間中解決立體幾何問(wèn)題？

可以設(shè)置如下問(wèn)題情境:

已知直線與圓相離，P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，如圖，請(qǐng)從“靜”與“動(dòng)”，“幾何”與“代數(shù)”兩個(gè)方面，兩種角度提出并解決問(wèn)題.

這個(gè)問(wèn)題以“直線和圓相離為背景”，根據(jù)P點(diǎn)的性質(zhì)（靜或者動(dòng)）可以提出一系列的距離，面積以及最值問(wèn)題，在具體復(fù)習(xí)中教師應(yīng)將學(xué)生提出的問(wèn)題一一羅列，然后探討這些問(wèn)題應(yīng)該先從哪一個(gè)問(wèn)題入手，探討應(yīng)圍繞“如何將靜中的幾何關(guān)系翻譯成符號(hào)語(yǔ)言以及如何找尋變化過(guò)程中不變的幾何關(guān)系”展開(kāi)，可能出現(xiàn)的問(wèn)題有：

幾何視角：

（1）過(guò)P點(diǎn)做圓C兩條的切線，切線PA、PB長(zhǎng)度與方程是什么？

（2）切點(diǎn)弦AB的長(zhǎng)度與方程是什么？

（3）當(dāng)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，切線PA、PB長(zhǎng)度與切點(diǎn)弦AB的長(zhǎng)度，四邊形PABC的面積是如何變化的？

（4）PC、AB間的函數(shù)關(guān)系是怎樣的？

代數(shù)視角：

（5）直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

以上問(wèn)題與相對(duì)應(yīng)的解法兼具數(shù)與形，動(dòng)與靜，要引導(dǎo)學(xué)生能從簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系中構(gòu)造更深層次的幾何關(guān)系，而又要從復(fù)雜的幾何關(guān)系中把握問(wèn)題的本質(zhì)，甚至要利用對(duì)稱性，邏輯性“看出答案，看出過(guò)程”，若學(xué)生呈現(xiàn)的解法是幾何解法，則詢問(wèn)其他同學(xué)或分組討論是否有對(duì)應(yīng)的代數(shù)解法，還應(yīng)關(guān)注有多少同學(xué)畫出了幾何圖形，并作出表?yè)P(yáng)，強(qiáng)調(diào)解析幾何是一門“數(shù)”與“形”結(jié)合的學(xué)科，加強(qiáng)“數(shù)形結(jié)合”意識(shí).

5 結(jié)束語(yǔ)

章建躍老師對(duì)整體性教學(xué)的設(shè)計(jì)曾評(píng)價(jià)道：“為學(xué)生構(gòu)建前后一致，邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生在掌握知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考”，而復(fù)習(xí)更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的整體性，將相關(guān)聯(lián)的知識(shí)、方法、思想聯(lián)系起來(lái)，圍繞重要問(wèn)題，重要概念設(shè)計(jì)并組織教學(xué)，保證了復(fù)習(xí)過(guò)程邏輯的連續(xù)性，而對(duì)學(xué)生評(píng)價(jià)方式的轉(zhuǎn)變以及引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角看問(wèn)題使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想的同時(shí)也提升了學(xué)生的核心素養(yǎng).