考慮空間參數(shù)隨機(jī)特征的瀝青路面力學(xué)行為分析

譚 鵬

(湖南建工交通建設(shè)有限公司， 湖南 長沙 410004)

瀝青路面結(jié)構(gòu)以其良好的工作性能受到歡迎，無論是在高速公路還是其他等級公路中都得到了廣泛應(yīng)用，但是在瀝青路面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中，為了簡化設(shè)計(jì)過程忽略了瀝青混合料表現(xiàn)出的各向異性，這種情況會導(dǎo)致瀝青路面在使用壽命期間出現(xiàn)預(yù)期之外的路面病害。

在我國規(guī)范中將瀝青路面視為各向同性彈性多層體系，并將層間接觸狀況視為完全連續(xù)，在垂直均布靜載作用下驗(yàn)證強(qiáng)度，這樣的形式能夠簡化設(shè)計(jì)過程，但顯然無法準(zhǔn)確描述瀝青路面真實(shí)工作狀態(tài)下的受力情況，根本上的問題就是忽略了瀝青路面結(jié)構(gòu)的各向異性，這會對其力學(xué)性質(zhì)有錯(cuò)誤的估計(jì)。Levenberg等[1]對瀝青混合料試件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)室中的靜壓測試，結(jié)果表明瀝青混合料在豎直方向上的強(qiáng)度是水平方向上的1.56倍。Wang等[2]對現(xiàn)場壓實(shí)瀝青采樣研究，進(jìn)行了各向同性壓縮及三軸拉伸試驗(yàn)等多個(gè)測試，發(fā)現(xiàn)垂直模量是水平模量的2～5倍。鞠達(dá)[3]對AC-20混凝土從垂直和橫向兩個(gè)方向進(jìn)行取芯，中粒式瀝青混凝土橫向試樣模量僅為豎向的80%。因而對瀝青路面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的各向同性簡化是有缺陷的，在集料的影響下，瀝青混凝土不可能是連續(xù)均值材料，我們有必要研究清楚瀝青混凝土的各向異性，改善現(xiàn)有設(shè)計(jì)過程。

為此，本文將針對瀝青混凝土路面結(jié)構(gòu)建立參數(shù)隨機(jī)場與有限元模型，模擬瀝青混合料表現(xiàn)出的各向異性。模型建立的瀝青路面回彈模量參數(shù)隨機(jī)場為對數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)場，隨機(jī)場的數(shù)字特征不隨空間位置變化，進(jìn)行有限元模型計(jì)算后將結(jié)果與均勻場進(jìn)行對比，分析瀝青路面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中忽略瀝青混合料各向異性對路面結(jié)構(gòu)工作情況的影響。

1 平穩(wěn)隨機(jī)場參數(shù)模型

1.1 平穩(wěn)隨機(jī)場介紹

瀝青混合料的各向異性是由于集料的大小不一和不均勻排布造成的，即使集料粗細(xì)程度相同的瀝青混合料在物理力學(xué)性質(zhì)上也存在差異，故其回彈模量參數(shù)是具有不確定性的，但是這種不確定性也并不是完全隨機(jī)的，瀝青路面結(jié)構(gòu)參數(shù)具有空間參數(shù)相關(guān)性，因此在分析中應(yīng)該考慮相關(guān)性與隨機(jī)性兩種性質(zhì)。

引入隨機(jī)場理論對瀝青路面結(jié)構(gòu)參數(shù)的相關(guān)性與隨機(jī)性兩種性質(zhì)進(jìn)行分析，平穩(wěn)隨機(jī)場參數(shù)的均值與方差不隨路面空間位置而變化，方差只與空間中兩點(diǎn)的相對位置有關(guān)，而與絕對位置無關(guān)，符合瀝青混合料各向異性造成的參數(shù)隨機(jī)性。目前有很多方法可以生成隨機(jī)場模型，本文采用協(xié)方差分解法建立平穩(wěn)隨機(jī)場，由數(shù)據(jù)的均值、方差及相關(guān)距離三個(gè)參數(shù)就可以用協(xié)方差分解法構(gòu)建一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)場。協(xié)方差分解法可以高度精確地生成隨機(jī)場，而且協(xié)方差分解法可以比較容易地實(shí)現(xiàn)隨機(jī)場模型到數(shù)值的一對一單元映射，十分適合本研究中使用有限元軟件分析。

協(xié)方差分解法最重要的環(huán)節(jié)就是協(xié)方差矩陣的構(gòu)建，假設(shè)xi，xj(i，j=1，2，…，n)為隨機(jī)場中的離散點(diǎn)，τij為任意兩點(diǎn)xi，xj之間的相對距離，C為n個(gè)點(diǎn)之間的協(xié)方差所組成的n階協(xié)方差矩陣，該矩陣為一正定矩陣，矩陣C中任一元素cij為xi，xj之間的協(xié)方差，cij=c(τij)。對協(xié)方差矩陣C進(jìn)行Cholesky分解得到上三角、下三角矩陣：

C=LU=LLT

(1)

式中：L為下三角矩陣；U為上三角矩陣。設(shè)Y為由n個(gè)相互獨(dú)立且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)所組成的列向量，則n階隨機(jī)場矩陣Z可以表示為：

Z=LY

(2)

隨機(jī)場矩陣Z中任意點(diǎn)zij服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且協(xié)方差矩陣E(ZZT)=E(LYYTLT)=C，滿足相關(guān)性要求，因此矩陣Z可以作為正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)場的一次實(shí)現(xiàn)。對矩陣Z進(jìn)行數(shù)學(xué)變換可以得到任意不同分布形態(tài)的正態(tài)和對數(shù)正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)場。多次隨機(jī)生成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的矩陣Y，就可以形成隨機(jī)場的多次實(shí)現(xiàn)。

1.2 相關(guān)距離計(jì)算

相關(guān)距離概念聯(lián)系的是空間相關(guān)性這一性質(zhì)，即在瀝青路面結(jié)構(gòu)中相距一定距離的兩點(diǎn)參數(shù)正好具有一定相關(guān)性，而在這兩點(diǎn)之外的點(diǎn)參數(shù)不再具有空間相關(guān)性，這個(gè)極限距離即為相關(guān)距離。

介紹相關(guān)距離必須先定義方差折減函數(shù)，如式(3)所示。

(3)

式中：Γ2(s)為方差折減函數(shù)；D(Xs(k))為均方根連續(xù)的平穩(wěn)隨機(jī)場的空間標(biāo)準(zhǔn)差；D(X(k))為標(biāo)準(zhǔn)差，D(X(k))=σ；var(Xs(k))為平穩(wěn)隨機(jī)場概率密度函數(shù)的二階距。

相關(guān)距離結(jié)合方差折減函數(shù)來看，折減是在一定范圍s之內(nèi)，是一個(gè)遞減函數(shù)，隨著兩點(diǎn)距離的增大，折減就越快，空間相關(guān)性就越低，而當(dāng)距離越趨近于正無窮時(shí)，方差折減函數(shù)就越接近0，兩點(diǎn)不再具有空間相關(guān)性。本研究分析空間相關(guān)性，是因?yàn)殡m然兩點(diǎn)在收集數(shù)據(jù)過程中是離散的，但在本研究中其作為路面結(jié)構(gòu)整體中的一個(gè)小部分，即使瀝青混合料中集料的不均勻排布產(chǎn)生參數(shù)差異性，也是有章可循的，每點(diǎn)之間具有一定程度空間相關(guān)性，方差折減函數(shù)正是用來表達(dá)兩點(diǎn)之間的參數(shù)影響。而有一點(diǎn)是顯而易見的，相距越遠(yuǎn)，其相關(guān)性就會越低。

相關(guān)距離參數(shù)a，b可以通過以下步驟求解：

(1)對于收集到的離散數(shù)據(jù)，計(jì)算出其均值函數(shù)E[X(s)]以及方差σ2；

(2)先令i=2，將相近兩個(gè)數(shù)據(jù)組成一組數(shù)據(jù)，求出該組新組成數(shù)據(jù)的均值和方差D2(2)；

(4)將上一步中計(jì)算得到的數(shù)據(jù)繪入散點(diǎn)圖；

(5)令i=3,4,…，重復(fù)(2)～(4)步驟，繪制出較為完整的Γ2(i)曲線；

(6)將繪制成的Γ2(i)圖擬合成線，找出其趨于平穩(wěn)的點(diǎn)，取為計(jì)算值，按δ=sΓ2(s)(δ為兩點(diǎn)間的相關(guān)距離，s為此時(shí)兩點(diǎn)間的距離)可求解出相關(guān)距離。

圖1 相關(guān)函數(shù)曲線

再根據(jù)Γ2(i)圖中擬合得到的指數(shù)函數(shù)分析出其后續(xù)變化情況如圖2所示。

圖2 相關(guān)函數(shù)擬合曲線

可以看到大概在i取值為260后Γ2(i)變化不大，根據(jù)平穩(wěn)點(diǎn)計(jì)算得相關(guān)距離為24.6 m，計(jì)算過程如式(4)所示。

(4)

抑或是在擬合了相關(guān)函數(shù)后，可以根據(jù)圖中曲線選取指數(shù)型相關(guān)函數(shù)ae-b|τ|時(shí)，相關(guān)距離為16.8 m，計(jì)算過程如式(5)所示。

(5)

式中：δ為相關(guān)距離;b為相關(guān)函數(shù)中的系數(shù)。

兩個(gè)結(jié)果之間相差還是比較大的，其主要原因是因?yàn)闃颖緮?shù)較少，而根據(jù)擬合建立的數(shù)據(jù)樣本又可能并沒有辦法真實(shí)表述瀝青路面參數(shù)情況。前面有提到隨機(jī)場理論中相關(guān)距離的概念可以指導(dǎo)施工過程中的鉆芯取樣，使兩個(gè)芯樣之間間距比較合理，但在建立隨機(jī)場的過程中，鉆取芯樣越多、越密效果會越好，計(jì)算結(jié)果會更加準(zhǔn)確。

最終根據(jù)公式計(jì)算，取相關(guān)距離為δ=16.8 m。

1.3 平穩(wěn)性檢驗(yàn)及各態(tài)歷經(jīng)性檢驗(yàn)

要完全表達(dá)一個(gè)隨機(jī)場的分布函數(shù)簇是十分困難甚至是不可能完成的，所以可以用隨機(jī)場的統(tǒng)計(jì)特性來建立隨機(jī)場。建立一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)場只需要數(shù)據(jù)均值、標(biāo)準(zhǔn)差及相關(guān)距離三個(gè)統(tǒng)計(jì)特性，而為了驗(yàn)證根據(jù)統(tǒng)計(jì)特性建立的隨機(jī)場是否具有代表性，建立完成之后必須進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)和各態(tài)歷經(jīng)性檢驗(yàn)。建立的隨機(jī)場回彈模量分布如圖3所示。

圖3 隨機(jī)場回彈模量分布

隨機(jī)場理論實(shí)際上是一種對數(shù)據(jù)的處理方法或者說一種思路，在瀝青路面參數(shù)方面，區(qū)別于其他數(shù)據(jù)處理方法的地方在于引入了相關(guān)距離這個(gè)概念，前面也提到過相關(guān)距離確實(shí)在工程中有一定指導(dǎo)意義，但相關(guān)距離概念更多是停留在理論階段，要結(jié)合到實(shí)際工程中，需要對隨機(jī)場進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)和各態(tài)歷經(jīng)性檢驗(yàn)。

圖4 數(shù)據(jù)處理前、后對比

平穩(wěn)隨機(jī)場的平穩(wěn)性體現(xiàn)在數(shù)字特征不隨空間位置的變化而變化，具體體現(xiàn)在隨機(jī)場的均值函數(shù)不會隨著數(shù)據(jù)組的改變而出現(xiàn)極大變化或規(guī)律性增加或減少。定義了集平均和深度平均的概念，面對具體數(shù)據(jù)時(shí)，任一組數(shù)據(jù)中某一行sj上隨機(jī)場數(shù)據(jù)的集平均可表示為：

(6)

X(sj)與X(sj+Δs)的相關(guān)函數(shù)可表示為：

(7)

式中：i為一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，模擬不同鉆孔取芯位置；j為數(shù)據(jù)組中的行數(shù)，模擬鉆孔芯樣的不同深度上的數(shù)據(jù)。根據(jù)隨機(jī)場平穩(wěn)性的定義，平穩(wěn)性檢驗(yàn)步驟如下：

(1)取數(shù)據(jù)組中一行sj如j=1，再找出不同的i取值對應(yīng)的回彈模量數(shù)據(jù)Xi(s1),i=1,2,…,n；還有與其間距為Δs的數(shù)據(jù)s1+Δs處的數(shù)據(jù)Xi(s1+Δs),i=1,2,…,n；

(2)利用式(6)(7)求出均值μx(sj)與相關(guān)函數(shù)RX(sj,sj+Δs)；

(3)令i=2,3,…,m，重復(fù)步驟(1)～(2)，計(jì)算出所有均值μx(sj)與相關(guān)函數(shù)RX(sj,sj+Δs)的值，并繪制成散點(diǎn)圖；

(4)檢驗(yàn)均值μx(sj)與相關(guān)函數(shù)RX(sj,sj+Δs)的散點(diǎn)圖是否隨數(shù)據(jù)組編號增加而發(fā)生明顯變化，若未觀察出明顯變化則說明隨機(jī)場平穩(wěn)，否則不平穩(wěn)。

檢驗(yàn)結(jié)果如圖5所示，表明所建立的瀝青路面參數(shù)隨機(jī)場模型中回彈模量與相關(guān)函數(shù)并不隨數(shù)據(jù)組變化而發(fā)生太大波動，可視作無變化，即隨機(jī)場模型的均值函數(shù)μx(sj)為常數(shù)，等于0。

圖5 平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

瀝青路面相當(dāng)于一個(gè)極其龐大的隨機(jī)過程，其中每一點(diǎn)的參數(shù)都是不確定的，隨機(jī)場模擬過程就是根據(jù)測到的個(gè)別點(diǎn)的參數(shù)來分析路面中每一點(diǎn)的參數(shù)。這個(gè)過程中用以建立隨機(jī)場的點(diǎn)在整個(gè)瀝青路面中只占極其少的一部分，那么這一小部分點(diǎn)就應(yīng)該具有較大的代表性，能夠充分代表整個(gè)瀝青路面結(jié)構(gòu)，這種代表性即為隨機(jī)場的各態(tài)歷經(jīng)性。在處理具體數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)定義，任一組數(shù)據(jù)中某一行sj上隨機(jī)場數(shù)據(jù)的深度平均〈Xi(s)〉可表示為：

(8)

對于一組數(shù)據(jù)，取固定Δs，則Xi(s)Xi(s+Δs)也是平穩(wěn)隨機(jī)場，則有深度平均〈Xi(s)Xi(s+Δs)〉的深度均值可表示為：

(9)

式中：i，j定義與平穩(wěn)性檢驗(yàn)中相同。根據(jù)隨機(jī)場各態(tài)歷經(jīng)性的定義，各態(tài)歷經(jīng)性檢驗(yàn)的步驟如下：

(1)取數(shù)據(jù)組中一列si如i=1，再找出不同的j取值對應(yīng)的回彈模量數(shù)據(jù)X1(sj),還有與其間距為Δs的數(shù)據(jù)sj+Δs處的數(shù)據(jù)X1(sj+Δs),j=1,2,…,n；

(2)利用式(6)(7)求出均值〈μx(sj)〉與深度相關(guān)系數(shù)〈RX(sj,sj+Δs)〉；

(3)令j=2,3,…,m，重復(fù)步驟(1)(2)，計(jì)算所有均值〈μx(sj)〉與深度相關(guān)系數(shù)〈RX(sj,sj+Δs)〉的值，并繪制成散點(diǎn)圖；

(4)檢驗(yàn)深度均值〈μx(sj)〉與深度相關(guān)系數(shù)〈RX(sj,sj+Δs)〉的散點(diǎn)圖是否隨數(shù)據(jù)組編號增加而發(fā)生明顯變化，若未觀察出明顯變化則說明隨機(jī)場具有各態(tài)歷經(jīng)性，否則不具有各態(tài)歷經(jīng)性。

檢驗(yàn)結(jié)果如圖6所示，表明所建立的瀝青路面參數(shù)隨機(jī)場模型中深度平均與深度相關(guān)系數(shù)并不隨數(shù)據(jù)組變化而發(fā)生太大波動，可視作無變化，即隨機(jī)場模型具有各態(tài)歷經(jīng)性。

圖6 各態(tài)歷經(jīng)性檢驗(yàn)結(jié)果

2 路面有限元模型建立

2.1 有限元模型

最終建立尺寸為4.5 m×4.5 m×6 m的有限元模型(x，y，z)，x為道路橫向，y為道路縱向，z為道路深度方向。均布荷載作用在模型中心區(qū)域，模型荷載使用標(biāo)準(zhǔn)軸載BZZ-100計(jì)算得來，對0.45 m×0.45 m區(qū)域施加770 MPa壓強(qiáng)。通過協(xié)方差分解法建立彈性模量隨機(jī)場模型，將對應(yīng)彈性模量隨機(jī)場信息映射到有限元計(jì)算模型中，得到考慮瀝青混合料彈性模量隨機(jī)特征的計(jì)算模型。值得注意的是，為了有限元模型的網(wǎng)格能夠嵌入隨機(jī)場參數(shù)，并不在受力面層及受力區(qū)域進(jìn)行加密，而是采用均勻網(wǎng)格。水平面橫、縱向邊具有32個(gè)結(jié)點(diǎn)，深度方向豎向邊具有81個(gè)結(jié)點(diǎn)，總共82499個(gè)節(jié)點(diǎn)，76880個(gè)單元。單元使用C3D8R八結(jié)點(diǎn)六面體線性縮減積分單元。面層模型部分邊界限制道路橫向x和縱向y的位移，基層模型部分邊界限制道路橫向、縱向和深度方向上的位移。模型尺寸、邊界條件及荷載情況如圖7所示。

圖7 瀝青路面有限元模型/m

2.2 路面結(jié)構(gòu)及材料參數(shù)

在有限元計(jì)算分析過程中采用四層結(jié)構(gòu)組合的路面結(jié)構(gòu)形式，從上往下依次是瀝青面層、水泥穩(wěn)定碎石基層、水泥穩(wěn)定土底基層及土基，各層路面結(jié)構(gòu)層間連續(xù)，將瀝青面層考慮為各向異性材料，使用參數(shù)隨機(jī)場模擬其各向異性，其余部分回彈模量參數(shù)如表1所示。

表1 有限元模型材料參數(shù)

瀝青路面結(jié)構(gòu)面層中單元仍然是各向同性連續(xù)單元，但每個(gè)單元的回彈模量為隨機(jī)場中參數(shù)，模擬出由于瀝青混合料中集料大小不一與分布不均勻?qū)е聻r青混合料表現(xiàn)出模量分布的空間隨機(jī)特征，大致情況如圖8所示，圖中Ea為瀝青面層材料彈性模量，其不同顏色代表模型中彈性模量的空間分布情況。

圖8 瀝青路面面層

3 空間參數(shù)隨機(jī)特性的影響分析

3.1 確定性分析

采用有限元軟件計(jì)算瀝青路面結(jié)構(gòu)模型，對計(jì)算結(jié)果主要分析計(jì)算結(jié)果的三個(gè)參數(shù)，面層層頂豎向位移、面層層底拉應(yīng)變及層底拉應(yīng)力，通過這三個(gè)參數(shù)可以比較好地看出，引入隨機(jī)場理論來模擬瀝青混合料各向異性后對瀝青面層工作狀況的影響，討論在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、實(shí)際施工過程中考慮瀝青混合料各向異性的必要性。

提取分析有限元軟件ABAQUS的計(jì)算結(jié)果， 先從剖面分析，隨機(jī)場模型產(chǎn)生的面層層底最大拉應(yīng)力、層底最大拉應(yīng)變及層頂豎向位移如圖9～11所示。

圖9 隨機(jī)場模型瀝青面層層底拉應(yīng)變

圖10 隨機(jī)場模型瀝青面層層底拉應(yīng)力

圖11 隨機(jī)場模型瀝青面層層頂豎向位移

隨機(jī)場模型剖面層底拉應(yīng)力、層底拉應(yīng)變及層頂豎向位移均呈現(xiàn)出先增大后減小的變化，在荷載中心附近達(dá)到最大值，兩側(cè)數(shù)值較小，符合各種參數(shù)變化的規(guī)律。在整體上對比隨機(jī)場與均勻場模型中應(yīng)力、應(yīng)變及豎向位移最大點(diǎn)，分析結(jié)果如表2所示。

表2 均勻場與隨機(jī)場應(yīng)力、應(yīng)變及豎向位移對比

隨機(jī)場模型中最大應(yīng)力比均勻場模型大0.83%，最大應(yīng)變比均勻場模型大2.01%，最大豎向位移比均勻場模型大2.58%。

3.2 隨機(jī)性分析

隨機(jī)場生成過程中有生成隨機(jī)數(shù)的部分，雖然在數(shù)值上影響不大，但是必須避免隨機(jī)過程中出現(xiàn)比較極端的數(shù)據(jù)，使得研究數(shù)據(jù)不再具有代表性，導(dǎo)致分析出的結(jié)果出現(xiàn)偏差。所以有必要建立多個(gè)隨機(jī)場，對數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，避免所生成的隨機(jī)場參數(shù)不合理的情況，使得本研究具備更高的可靠性。隨機(jī)場模型產(chǎn)生的層底最大拉應(yīng)力、層底最大拉應(yīng)變及層頂豎向位移與均勻場對比如圖12～14所示。

圖12 面層層底應(yīng)力對比

圖13 面層層底拉應(yīng)變對比

圖14 面層層頂豎向位移

對受力單元層底應(yīng)力參數(shù)進(jìn)行分析，隨機(jī)場中最小值較均勻場小0.68%，最大值較均勻場大2.58%。由此可見，瀝青路面結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性對瀝青路面層底應(yīng)力有明顯影響。

對受力單元層底應(yīng)變參數(shù)進(jìn)行分析，均勻場層底應(yīng)變參數(shù)在均勻場中為0.3587，隨機(jī)場中層底應(yīng)變最小為0.3558，較均勻場小0.8%，最大為0.3584 mm，較均勻場大0.4%。由此可見，瀝青路面結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性對瀝青路面層底應(yīng)變有一定影響，但不顯著。

對受力單元層頂豎向位移參數(shù)進(jìn)行分析，均勻場層頂豎向位移參數(shù)在均勻場中為0.2 mm，隨機(jī)場中層頂豎向位移最小為0.1938 mm，較均勻場小3.25%，最大為0.2065 mm，較均勻場大3.11%。由此可見，瀝青路面結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性對瀝青路面層頂豎向位移有顯著影響。

4 結(jié) 論

(1)將隨機(jī)場理論運(yùn)用到瀝青路面結(jié)構(gòu)中，通過平穩(wěn)隨機(jī)場模擬瀝青混合料的各向異性并對結(jié)果進(jìn)行分析，證明這種方法的可行性；

(2)考慮瀝青混合料各向異性，對瀝青路面結(jié)構(gòu)面層層底應(yīng)力影響較小，對層底應(yīng)變及層頂豎向位移有一定影響；

(3)現(xiàn)行路面設(shè)計(jì)理論中，將結(jié)構(gòu)層材料考慮為各向同性明顯高估了瀝青路面結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，使瀝青路面結(jié)構(gòu)更容易出現(xiàn)瀝青路面病害，應(yīng)當(dāng)在設(shè)計(jì)過程中考慮到瀝青混合料各向異性的影響。