基于頻域分析的空調(diào)溫度控制系統(tǒng)的研究及仿真

吳 杰，孫小康

（1.江蘇省美術(shù)館技術(shù)設(shè)備保障部，江蘇南京 210018；2.揚(yáng)州高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇揚(yáng)州 225003）

空調(diào)已普遍存在于人們的生產(chǎn)生活中，對改善室內(nèi)的空氣質(zhì)量起著重要的作用?？照{(diào)能耗占建筑物總能耗的一半以上。我國是一個資源緊缺的國家，空調(diào)的節(jié)能可靠運(yùn)行有著非常重要的意義。計算機(jī)系統(tǒng)應(yīng)用于空調(diào)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)對空調(diào)設(shè)備進(jìn)行監(jiān)督、控制和調(diào)節(jié)，改善空調(diào)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)品質(zhì)，提高可靠性和穩(wěn)定性。所以近些年來對空調(diào)溫度控制系統(tǒng)的研究已成為熱點(diǎn)問題，空調(diào)溫度受外界和內(nèi)部環(huán)境溫度、新風(fēng)系統(tǒng)、季節(jié)變化等擾動影響，使室內(nèi)溫度變化波動較明顯?？照{(diào)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，無論是水系統(tǒng)冷量輸配或風(fēng)系統(tǒng)送風(fēng)輸出，通過管道行程長，路徑復(fù)雜等原因，導(dǎo)致空調(diào)系統(tǒng)具有較強(qiáng)的時滯特性[1-2]?？照{(diào)溫度系統(tǒng)的被控對象常被看成具有時滯的一階、二階系統(tǒng)。工程上常采用基于響應(yīng)曲線法的PID 整定、基于臨界比例法的PID 整定等傳統(tǒng)PID 方法對時滯系統(tǒng)進(jìn)行控制，能夠較好地控制，但是在超調(diào)量過大、調(diào)節(jié)時間過長、外部擾動過大時會對系統(tǒng)產(chǎn)生震蕩現(xiàn)象，傳統(tǒng)的PID 難以得到滿意的控制效果。Smith 預(yù)估控制器的提出，有效地解決了時滯的補(bǔ)償。針對控制系統(tǒng)的模型失配、外部擾動等原因?qū)е驴刂菩Ч焕硐氲葐栴}，文中對Smith 控制器進(jìn)行廣義等效[3]，等效后的被控對象不含時滯過程，對其選用PID 控制結(jié)構(gòu)，對閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程進(jìn)行分析，按工程實(shí)際選用合適的調(diào)節(jié)時間，分析閉環(huán)極點(diǎn)，整定控制器的PID 參數(shù)。文中方法相對于傳統(tǒng)的PID 整定、Smith 預(yù)估控制、內(nèi)模-PID 整定方法具有更快的調(diào)節(jié)時間，超調(diào)量小，對外部干擾具有較好的魯棒性。

1 Smith預(yù)估控制

1.1 預(yù)估控制理論

Smith 滯后補(bǔ)償?shù)姆椒ㄊ窃诒豢貙ο蟮闹吩黾右粋€補(bǔ)償器，使增加后的閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程中不含有時滯環(huán)節(jié)，從而改善控制系統(tǒng)的性能及穩(wěn)定性。實(shí)際上預(yù)估模型不是并聯(lián)在過程上，而是反向并聯(lián)在控制器上，對Smith 預(yù)估控制器進(jìn)行等效[4]，如圖1 所示。

圖1 Smith預(yù)估的控制框圖

圖2 中，引入Smith 預(yù)估補(bǔ)償后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

圖2 Smith預(yù)估控制的等效圖

式（1）中，Gc(s) 為控制器的傳遞函數(shù)，為被控制對象的傳遞函數(shù)，e-τs為被控對象的時滯環(huán)節(jié)。經(jīng)過Smith 補(bǔ)償后，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程中不含有時滯環(huán)節(jié)，閉環(huán)特征方程決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由于不含時滯環(huán)節(jié)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到很好的改善。下面對Smith 預(yù)估控制進(jìn)行仿真分析，并研究其性能特點(diǎn)。

1.2 Smith 預(yù)估控制器仿真分析

某空調(diào)室內(nèi)溫度控制對象一階時滯環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型為[5]：

式中，慣性環(huán)節(jié)T=144，延遲時間為30，增益系數(shù)為0.99，輸入信號為階躍信號。系統(tǒng)仿真如圖3所示。

圖3 響應(yīng)曲線法的PID整定在擾動下的仿真

圖3～5 的溫度控制參考值均為25 ℃，采用響應(yīng)曲線法PID 控制、Smith-PID 預(yù)估控制對被控對象進(jìn)行仿真[6-8]，其中對傳統(tǒng)PID 進(jìn)行工程整定，各控制參數(shù)取Ki=0.1，Kp=6.1，Kd=91.5，Smith-PID 預(yù)估控制取Kp=10，Ki=0.5，Kd=200，并在穩(wěn)定時刻加入一個20 s 的外部階躍擾動信號。從響應(yīng)曲線可以看出，Smith-PID 預(yù)估控制在調(diào)節(jié)時間，超調(diào)量、擾動的恢復(fù)時間方面都比響應(yīng)曲線的PID 控制優(yōu)越，但同時Smith 預(yù)估控制仍有較大的超調(diào)量，且調(diào)節(jié)時間和擾動恢復(fù)時間較長、系統(tǒng)穩(wěn)定性及魯棒性性能不高。

圖4 Smith-PID預(yù)估補(bǔ)償在擾動下的仿真

圖5 擾動下二種控制方法的響應(yīng)曲線

2 頻域分析法的Smith控制器的改進(jìn)

2.1 Smith 控制器等效分析

文中將預(yù)估控制器和被控對象廣義等效，將圖1的控制框圖等效如圖6 所示。

圖6 Smith預(yù)估器的廣義等效結(jié)構(gòu)

其中，圖6 的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可將虛線部分廣義等效為不含有時滯的被控對象Gp(s)，被控對象可以看成不含時滯的一二階系統(tǒng)，分別對不含有時滯的一二階系統(tǒng)選擇PID 控制結(jié)構(gòu)，針對二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)采用頻域法進(jìn)行分析：

2.2 一階系統(tǒng)PID控制器參數(shù)整定

假設(shè)被控對象是一階系統(tǒng)模型[9]，傳遞函數(shù)為：

由式（4）可知，要使系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)化簡為二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，擬采用PI控制器，用Gc()s表示為：

閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

被控對象為一階系統(tǒng)的特征方程為：

對于二階系統(tǒng)來說，在系統(tǒng)理想的情況下，系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)，同時閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根。二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的特征方程形式為[10]：

比較上式，可?。?/p>

2.3 二階系統(tǒng)PID控制器參數(shù)整定

假設(shè)被控對象是二階系統(tǒng)模型[11]，傳遞函數(shù)為：

要使系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)化簡為二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，擬采用PD 控制器，用Gc(s) 表示：

閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

參照式(7)～(10)的推導(dǎo)過程，被控對象為二階系統(tǒng)的特征方程需滿足：

根據(jù)工程實(shí)際情況選擇調(diào)節(jié)時間ts，在已知被控的一階、二階時滯的空調(diào)房間溫度的數(shù)學(xué)模型時，根據(jù)ξ、T1、T2、a、K1、K2等參數(shù)，分別計算一階、二階被控對象控制器的Kp、Ki、Kd值，通常取阻尼比ζ=0.4～0.8，文中取ζ=0.707。假設(shè)在某時刻加入擾動N(s)，根據(jù)圖6 的廣義等效法，系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可表示為：

其中，

根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和終值定理進(jìn)行一般性推導(dǎo)如下：

同理，二階系統(tǒng)E(∞)=0，可知一階、二階系統(tǒng)在時間趨于無窮時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差均為0，因此系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性和跟蹤性能[12]。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 一階時滯空調(diào)溫度模型

文中選取某空調(diào)溫度模型的被控制對象為一階時滯環(huán)節(jié)，其數(shù)學(xué)模型為：

分別采用Smith-PID 預(yù)估控制、內(nèi)模PID 控制和文中的控制方法分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。對于空調(diào)溫度的一階時滯系統(tǒng)，在某時刻加入20 s 的外界階躍擾動信號，內(nèi)模PID 控制[13]采用FOPTD 的方法進(jìn)行PI參數(shù)整定，其中Kp=2.45，Ki=0.017，文中方法采用PI控制器選取調(diào)節(jié)時間ts=5，ζ=0.707，T=144，K1=0.92，τ=30，計算得到Kp=274.39，Ki=242.49，仿真結(jié)果如圖7 所示。

圖7 外界擾動下的3種控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

3.2 二階時滯空調(diào)溫度模型

選取某空調(diào)溫度模型為二階時滯系統(tǒng)，根據(jù)有關(guān)空調(diào)房間與末端空調(diào)箱模型的文獻(xiàn)[14-15]、空調(diào)的溫度模型的二階時滯系統(tǒng)，空調(diào)房間溫度控制的傳遞函數(shù)G0(s)與末端空調(diào)箱的傳遞函數(shù)相乘可得：

選取和一階時滯相同的方法進(jìn)行仿真，內(nèi)模PID控制采用SOPTD 的方法[16]進(jìn)行PI 參數(shù)整定，其中Kp=0.1，Ki=0.387，Kd=0.001 6，文中方法選取調(diào)節(jié)時間ts=5 s，ζ=0.707，T1=60，T2=61，K2=10，τ=30，計算得到Kp=9.19，Kd=4.46，仿真結(jié)果如圖8 所示。

圖8 外界擾動下3種控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

根據(jù)圖7、圖8、表1、表2 的實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果可知，文中方法的超調(diào)量比Smith-PID 預(yù)估控制明顯減少，且在系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間、過程中擾動恢復(fù)時間方面的指標(biāo)遠(yuǎn)小于Smith-PID 預(yù)估控制和內(nèi)模PID 控制，同時文中系統(tǒng)具有較好的跟蹤性能和魯棒性。

表1 系統(tǒng)性能指標(biāo)

表2 系統(tǒng)性能指標(biāo)

4 結(jié)論

文中提出了基于頻域分析的空調(diào)溫度控制方法，將Smith 預(yù)估器進(jìn)行廣義等效成不含時滯系統(tǒng)，根據(jù)二階頻域的標(biāo)準(zhǔn)特征方程進(jìn)行極點(diǎn)優(yōu)化配置，選取不同的PID 結(jié)構(gòu)對一、二階時滯進(jìn)行控制，有效解決了空調(diào)溫度控制的時滯問題。仿真結(jié)果表明，該方法具有超調(diào)量較小、調(diào)節(jié)時間和擾動恢復(fù)時間短的特點(diǎn)，同時具有快速跟蹤擾動性能，可以為工程整定提供一定的參考。