振動壓路機作業(yè)引起地基振動的解析法研究

王立安， 余云燕

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070)

交通基礎(chǔ)設(shè)施的大規(guī)模建設(shè)，在促進經(jīng)濟發(fā)展的同時也帶來了諸多負面影響，例如噪音污染、環(huán)境振動等問題。交通網(wǎng)的密集布置使越來越多的民房和古建筑處于道路沿線，交通荷載引起的環(huán)境振動問題愈加受到社會關(guān)注。為此，近些年學(xué)者們[1-6]關(guān)于軌道和汽車交通引起的地基振動問題做了大量研究，并取得顯著成果。然而，在道路建設(shè)中，使用振動壓路機對地基進行壓實從而提高地基承載力，是目前道路施工中采用的主要途徑。相較于交通荷載產(chǎn)生的地基振動，振動壓路機作業(yè)產(chǎn)生的振幅更大、頻率特征更復(fù)雜[7-8]，由此造成的環(huán)境振動危害更甚。有鑒于此，深入研究振動壓路機作業(yè)引起的地基振動，對環(huán)境振動影響預(yù)測和控制有著重要意義，也對振動壓路機的作業(yè)參數(shù)設(shè)計起到指導(dǎo)作用。

回顧過去對振動壓路機引起地基振動的研究，大多通過現(xiàn)場測試的方法進行，如：盧輝等[9]通過采集振動壓路機作業(yè)產(chǎn)生的地表振動信號，研究了隔振溝的隔振效果；張志峰等[10]采用相同的現(xiàn)場測試方法，研究了振動壓路機誘發(fā)地表振動的衰減規(guī)律和頻率特征。然而，通過現(xiàn)場測試只能獲得地表的振動信號，對于地層深處的振動信號則很難采集，無法分析振動沿深度的傳播規(guī)律，而且測試結(jié)果中摻雜了環(huán)境背景振動，影響分析結(jié)果的可靠性。也有學(xué)者采用數(shù)值模擬的方法對該問題做了研究，如：蘇衛(wèi)國等[11]在ANSYS有限元軟件中通過輸入振動壓路機的激振力，分析了地基中埋置光纜的振動響應(yīng)。該數(shù)值模型未反映壓路機激振力的動態(tài)移動，也未反映壓路機的激振頻率及振幅，仿真程度非常有限；Kenneally等[12]采用時變接觸單元和動態(tài)有限元算法對振動壓路機與地基的動力相互作用做了較好的模擬，并與實測結(jié)果做了對比驗證。截止目前，采用解析法研究該問題的文獻還非常少。Beainy等[13]采用解析法對振動壓路機鋼輪和地基的運動方程進行耦合求解，分析了地基的振動響應(yīng)。沈培輝等[14]建立7自由度振動壓路機與Winkler地基的耦合動力控制方程，并進行解析求解，針對壓路機系統(tǒng)的振動響應(yīng)做了研究。上述兩種解析模型都只考慮了振動壓路機激振力在時域上的間隔作用，而沒反映激振力在空間上的移動，相當(dāng)于壓路機在原地進行激振作業(yè)，與壓路機的實際工作狀態(tài)不符。Cai等[15-16]對移動荷載作用下地基的振動響應(yīng)做了系統(tǒng)研究。Lu等[17]對移動簡諧荷載作用下的地基振動響應(yīng)做了解析研究。然而，振動壓路機的激振力并非移動簡諧荷載，而是移動的間隔沖擊荷載，所以，該研究模型也不適用于振動壓路機。

綜上分析，對振動壓路機引起的地基振動進行解析計算時，不僅要考慮壓路機激振力在時間上的間隔，還需考慮壓路機移動造成的空間上的間隔。因此，本文利用Shah函數(shù)和Heaviside階躍函數(shù)將壓路機的激振作用描述為關(guān)于時間和空間坐標(biāo)的解析函數(shù)，并將其代入彈性半空間的動力控制方程進行聯(lián)立求解。利用三重Fourier變換推導(dǎo)出頻率-波數(shù)域的解析解，然后反演到時間-空間域。通過數(shù)值算例，研究了振動壓路機引起地基振動的衰減規(guī)律和頻譜特征，并對壓路機激振頻率、名義振幅和行駛速度的影響做了分析。

1 問題模型

振動壓路機鋼輪與地基動力作用的力學(xué)模型，如圖1所示。圖1中：M0為鋼輪質(zhì)量；m0，ω0和e0分別為鋼輪內(nèi)偏心轉(zhuǎn)子的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動角速度及偏心距；Fd為偏心轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的激振力；A0為鋼輪的名義振幅；c為壓路機行駛速度； 2a，2b為鋼輪在地表作用印跡的長和寬；qd(x,y,t)為任意t時刻作用于地表的沖擊力集度；本文著重研究振動壓路機對地基的振動輸入，故而將地基考慮為較簡單的均質(zhì)彈性半空間。建立空間三維直角坐標(biāo)系x-y-z，各坐標(biāo)軸選取見圖1。

圖1 計算模型Fig.1 Calculation model

由鋼輪運動方程，可得到偏心轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的激振力Fd[18]

(1)

鋼輪對地表激振的頻率和周期為

(2)

2 壓路機動力作用的數(shù)學(xué)描述

振動壓路機鋼輪作用于地表的沖擊力qd(x,y,t)，在時域上為以周期T為間隔的一系列沖激序列，如圖2(a)所示，在空間上為沿行駛方向(x軸)以cT為間隔的沖激序列，如圖2(b)所示。則利用符號函數(shù)并結(jié)合式(1)和式(2)，將qd(x,y,t)寫為

圖2 時間和空間上的間隔沖擊作用Fig.2 Roller excitation load in time and space domain

(3)

式中：III()為Shah沖激序列函數(shù)(又稱梳狀函數(shù))；H()為Heaviside階躍函數(shù)。其定義分別為

(4)

(5)

式中，δ()為Dirac-delta函數(shù)，定義為

(6)

3 地基動力方程求解

空間直角坐標(biāo)系下，均質(zhì)彈性半空間的運動方程為

(7)

本構(gòu)方程

(8)

式中，σxz，σyz，σz為地基中一點的應(yīng)力分量。對時間坐標(biāo)t引入如下Fourier變換對

(9)

式中： “～”為對應(yīng)物理量的Fourier變換；s為變換參數(shù)。

利用式(9)對式(7)進行Fourier變換后，得到

(10a)

(10b)

(10c)

(11)

再對x，y坐標(biāo)引入雙重Fourier變換

(12)

式中，ξ，η為對應(yīng)于x，y坐標(biāo)的Fourier變換參數(shù)。

(13)

求解式(13)，得到

(14)

對式(10)也進行雙重Fourier變換，并將式(14)代入，整理后得到

(15)

(16)

對本構(gòu)式(8)做時間和空間坐標(biāo)的三重Fourier變換，并將式(14)、式(16)代入，得出變換域中地基的應(yīng)力通解

(17)

4 邊界問題求解

不考慮鋼輪與地基之間的切向摩擦，則半空間表面(z=0)處的邊界條件寫為

(18)

對式(18)做三重Fourier變換后得到

(19)

對式(3)也進行三重Fourier變換，得到

(20)

(21)

式中，“*”為卷積運算。利用Shah函數(shù)的卷積性質(zhì)[19]，式(21)進一步寫為

(22)

將式(20)、式(16)及式(17)代入式(19)，并取z=0，則得到關(guān)于A1～A3的線性方程組

(23)

求解式(23)，則得出A1～A3

(24)

將式(24)回代到式(16)，則得到地基位移在變換域中的解

(25)

通過對式(25)做三重Fourier逆變換，則可反演出時間-空間域中位移的解析解，進而可得出應(yīng)力解。

5 驗證與分析

對前文推導(dǎo)結(jié)果進行編程計算，關(guān)于式(25)的Fourier逆變換可通過數(shù)值積分或離散Fourier逆變換(inverse discrete Fourier transform，IDFT)實現(xiàn)，本文中采用計算效率較高的IDFT法進行反演。為使計算結(jié)果能以振源為中心沿中心分布，引入移動坐標(biāo)軸Xt，Xt=x-ct。

5.1 算法驗證

若將本文計算模型中振動壓路機的行駛速度c取為0，則退化為地基表面定點作用周期沖擊荷載的問題，退化模型與文獻[20]相同。為進行對比驗證，計算參數(shù)按Mandikizinoyou等的研究選取。通過取M0=500 kg，A0=0.5 mm，f=10 Hz，2a=2b=1 m使Fd/4ab=1 kPa(與Mandikizinoyou等的研究相同)。地基參數(shù)取值為：E=3.5 MPa，v=0.3，ρ=1 800 kg/m3。圖3給出了t=0.1 s和t=0.5 s時刻，地表沿x軸分布的豎向振動位移退化解與Mandikizinoyou等的研究結(jié)果對比，如圖3所示。由圖3可知，兩者能夠很好地吻合，從而驗證了本文算法和計算程序的可靠。

圖3 退化計算及結(jié)果對比Fig.3 Degradation calculation and comparison

5.2 振動衰減分析

參照SSR220AC型振動壓路機的相關(guān)技術(shù)參數(shù)給出本文模型所需的計算參數(shù)，如表1所示。地基參數(shù)取值與5.1節(jié)相同。

表1 壓路機技術(shù)參數(shù)Tab.1 Parameters of vibratory roller operation

圖4為計算出的t=0.1 s時刻，地表豎向位移的空間分布。對比圖4(a)～圖4(c)發(fā)現(xiàn)，壓路機激振頻率f對地表振幅的影響非常小，而名義振幅A0對地表振幅影響顯著。從圖4(b)還能發(fā)現(xiàn)，地表振動位移沿縱向(x軸方向，壓路機行駛方向)和橫向(y軸方向)的分布存在差異。圖5中的軸線分布圖進一步表明，地表振動位移沿縱、橫向分布明顯不同，在近場區(qū)域(≤20 m)，縱橫向分布差異較大，近場區(qū)域振幅沿橫向衰減更快，而在遠場幾乎趨于一致；壓路機名義振幅A0越大，近場區(qū)域縱、橫向分布差異越大。

圖4 地表豎向位移分布Fig.4 Distribution of vertical displacement on the surface

圖5 地表豎向位移軸線分布Fig.5 Distribution of vertical displacement on surface along axis

圖6在0～20 km/h區(qū)間內(nèi)考察了地表振動位移隨壓路機行駛速度的變化(壓路機行駛速度通常不超過15 km/h)。分析圖6發(fā)現(xiàn)，隨著壓路機行駛速度增大，地表振幅先增大后減小，在大約5 km/h附近出現(xiàn)拐點，壓路機激振頻率越大，拐點數(shù)越多。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因可推測為：當(dāng)壓路機行駛速度較低時，地基對于鋼輪的前次激振和后次激振產(chǎn)生的響應(yīng)為正向疊加；當(dāng)行駛速度加快時，則逐漸演變?yōu)榉聪虔B加。鋼輪激振頻率增大時，使正、反向疊加交替出現(xiàn)，從而出現(xiàn)拐點數(shù)增多的現(xiàn)象。圖6(b)進一步顯示，壓路機名義振幅越大，地表振幅越大。

圖6 地表振幅隨壓路機行駛速度的變化Fig.6 Variation of surface amplitude with roller speed

地基振幅沿深度的衰減曲線，如圖7所示。從圖7中能夠分析出，壓路機激振頻率對振幅沿深度的衰減幾乎無影響，壓路機名義振幅由于改變了地表振幅，從而也影響了振幅沿深度的衰減。對于本文中的均質(zhì)彈性地基而言，壓路機振動影響深度約為名義振幅的800倍。

圖7 振幅沿深度的衰減Fig.7 Attenuation of ground amplitude along depth

5.3 頻譜分析

在地表確定一個觀測點D1(5 m, 3 m)，計算出該點連續(xù)時刻的位移值，即可得到該測點的位移時程曲線，如圖8(a)所示。對位移時程曲線關(guān)于時間t求一階導(dǎo)，則得到振動速度的時程曲線，如圖8(b)所示，對時程曲線做Fourier變換則進一步得到頻譜曲線，如圖9所示。分析圖9發(fā)現(xiàn)，壓路機激振頻率對地表振動的頻率分布影響較大，激振頻率越大，峰值頻率的數(shù)目越多，峰值頻率分布的頻帶越寬。圖9(b)顯示，名義振幅只改變了地表振幅，而對頻率分布沒有影響。

圖8 測點D1的位移和速度時程曲線Fig.8 Time history curve of displacement and velocity at D1

圖9 測點D1的頻譜曲線Fig.9 Spectrum curve at D1

6 結(jié) 論

利用Shah函數(shù)和Heaviside階躍函數(shù)描述振動壓路機的激振作用，并推導(dǎo)出地基振動位移解析解。通過算例分析，總結(jié)出以下結(jié)論：

(1) 振動壓路機引起的地表振幅沿縱、橫向的衰減存在較大差異，在近場區(qū)域(≤20 m)橫向衰減更快，在遠場則趨于一致。

(2) 壓路機激振頻率對地基振幅影響甚微，而對頻率分布影響較大，激振頻率越大，峰值頻率的數(shù)目越多，峰值頻率分布的頻帶越寬。壓路機名義振幅對地基振幅的影響顯著，但對振動頻率無影響。

(3) 地基振幅隨壓路機行駛速度的變化沒有單調(diào)性，出現(xiàn)先增大后減小的現(xiàn)象，在大約5 km/h附近出現(xiàn)拐點。當(dāng)壓路機激振頻率增大，拐點數(shù)將增多。