一類(lèi)非線性時(shí)滯雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)的振動(dòng)條件

羅李平， 曾云輝， 羅振國(guó)

(衡陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 衡陽(yáng) 421002)

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展, 人們發(fā)現(xiàn)在人口動(dòng)力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程、通訊工程、機(jī)器人、環(huán)境系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題中, 系統(tǒng)許多現(xiàn)象的出現(xiàn)或改變并不是瞬間完成的, 在它們的數(shù)學(xué)模型中含有各種滯后量(特別是時(shí)間滯后量), 這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型往往可歸結(jié)為時(shí)滯分布參數(shù)系統(tǒng)。由于時(shí)滯分布參數(shù)系統(tǒng)充分考慮到歷史因素(即滯后量)對(duì)系統(tǒng)的影響, 故能更精確地描述實(shí)際現(xiàn)象。因此, 有關(guān)時(shí)滯分布參數(shù)系統(tǒng)的理論及其應(yīng)用等問(wèn)題引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。振動(dòng)性理論作為時(shí)滯分布參數(shù)系統(tǒng)理論的重要分支之一, 在自然科學(xué)、工程技術(shù)及社會(huì)生活中都是有現(xiàn)實(shí)意義的, 如控制系統(tǒng)中的自激振動(dòng)、同步加速器中波束的振動(dòng)、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中的復(fù)雜振動(dòng)、火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)、建筑物和機(jī)器的振動(dòng)、工業(yè)中電磁開(kāi)關(guān)觸頭的振動(dòng)、樂(lè)器發(fā)出的振動(dòng)、地震中的振動(dòng)等都可以用一些分布參數(shù)系統(tǒng)模型來(lái)刻畫(huà), 通過(guò)研究相應(yīng)系統(tǒng)的振動(dòng)性, 就可對(duì)振動(dòng)加以合適的控制使之對(duì)人類(lèi)產(chǎn)生有益的影響, 具有重要的應(yīng)用價(jià)值。 近年來(lái), 許多學(xué)者對(duì)時(shí)滯分布參數(shù)系統(tǒng)的振動(dòng)性問(wèn)題進(jìn)行了研究和探討, 并取得了許多很好的成果[1-10]。本文則討論下列一類(lèi)特殊的非線性時(shí)滯雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)式(1)在第三類(lèi)邊值條件式(2)下解的振動(dòng)性質(zhì), 獲得了判別其一切解振動(dòng)的不需要利用Robin特征值問(wèn)題的新的充分性條件, 結(jié)論充分表明了時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)性的影響。

utt=a(t)h(u)Δu-p(x,t)f{u[x,τ(t)]},
(x,t)∈Ω×R+≡G

(1)

(2)

式中：Ω?Rm為有界區(qū)域； ?Ω為逐片光滑； Δ為Rm中的m維Laplace算子；R+=[0,∞)；υ為?Ω的單位外法向量；β(x)∈C[?Ω,(0,∞)]。

在本文中, 我們總假定下列條件成立

條件2h(u),f(u)∈C(R,R),uh′(u)≥0, 且對(duì)u≠0有f(u)/u≥M=const.>0。

以下我們總假設(shè)邊值問(wèn)題式(1)和式(2)的解是整體存在的。

1 主要結(jié)果及其證明

考慮集合D0={(t,s)∶t>s≥t0},D={(t,s)∶t≥s≥t0}。

若H∈C(D,R)滿足條件：(ⅰ)H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0, (t,s)∈D0;(ⅱ)H在D0上對(duì)第二個(gè)變量s有連續(xù)且非正的偏導(dǎo)數(shù)。則稱(chēng)函數(shù)H具有性質(zhì)P。

定理1設(shè)下述條件成立:

條件3存在函數(shù)H具有性質(zhì)P,h∈C(D0,R),k,ρ∈C1[[t0,∞),R+], 使

(3)

若

(4)

則邊值問(wèn)題式(1)和式(2)的所有解在G內(nèi)是振動(dòng)的。

將式(1)兩邊同時(shí)對(duì)x在Ω上積分有

(5)

由Green公式、邊值條件式(2)及條件2有

(6)

式中， dS為?Ω上的面積元素。

又由條件1和條件2有

(7)

V″(t)+MP(t)V[τ(t)]≤0,t≥t1

(8)

于是由式(8)可知，V″(t)≤0,t≥t1, 即V′(t)在區(qū)間[t1,∞)上單調(diào)減少。由此不難推得

V′(t)>0且V′(t)≤V′[τ(t)],t≥t1

(9)

(10)

式(10)兩邊同乘以H(t,s)k(s), 對(duì)s從t1～t(≥t1)積分可得

于是由(ⅱ)可得

因此有

從而有

這與式(4)相矛盾。定理1證畢。

作為定理1的直接結(jié)果, 我們有如下推論。

推論1若定理1中的條件式(4)用如下條件替換

且

則邊值問(wèn)題式(1)和式(2)的所有解在G內(nèi)是振動(dòng)的。

推論2若存在ρ∈C1[[t0,∞),R+], 整數(shù)n>2使得

則邊值問(wèn)題式(1)和式(2)的所有解在G內(nèi)是振動(dòng)的。

注2利用本文的思想, 我們還可以考慮其他邊值條件。譬如, 考慮如下的第一類(lèi)邊值條件

u=0,
(x,t)∈?Ω×R+

(11)

我們不難得到邊值問(wèn)題式(1)和式(11)的若干振動(dòng)判據(jù)。限于篇幅, 在此省略之。

2 應(yīng)用舉例

下面通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明本文主要結(jié)果的有效性。

例1考慮雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)

(12)

邊值條件為

(13)

3 結(jié) 論

本文討論了一類(lèi)帶時(shí)滯的非線性雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)在Robin邊值條件下解的振動(dòng)性問(wèn)題, 建立了判別其所有解振動(dòng)的不需要利用特征值定理的新的充分條件, 所得結(jié)論充分表明時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)性的影響, 這些結(jié)論對(duì)工程上的機(jī)械減振和降噪等實(shí)際應(yīng)用具有重要的理論指導(dǎo)意義。