高階衍射級光束的軌道角動量

樊海豪,朱劉昊,臺玉萍,李新忠,3?

(1河南科技大學(xué)物理工程學(xué)院,河南 洛陽 471023;2河南科技大學(xué)化工與制藥學(xué)院,河南 洛陽 471023;3中國科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所瞬態(tài)光學(xué)與光子技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710119)

0 引言

1992年,Allen等[1]提出渦旋光束具有exp(jlθ)的螺旋波前,同時(shí)攜帶每光子l?的軌道角動量(OAM),其中l(wèi)是拓?fù)浜芍?θ是方位角,?是簡化普朗克常量。OAM為結(jié)構(gòu)光場提供了一個額外的自由度,因此,渦旋光束已成為光學(xué)領(lǐng)域重要的研究熱點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于微粒操縱[2?5]、光通信[6]、光學(xué)測量[7,8]、光學(xué)成像[9]等領(lǐng)域。

產(chǎn)生渦旋光束的常見方法主要包括幾何模式轉(zhuǎn)換法[10]、螺旋相位板法[11]、計(jì)算全息法[12]等。其中,計(jì)算全息法原理簡單易行,為產(chǎn)生渦旋光束提供了更簡便的方式,國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究[13?16]。然而,對于傳統(tǒng)的渦旋光束,亮環(huán)半徑會隨著拓?fù)浜傻脑黾佣龃?限制了其在光纖耦合等方面的應(yīng)用。為解決這一問題,2013年,Ostrovsky等[17]利用空間光調(diào)制器產(chǎn)生了一種亮環(huán)半徑與拓?fù)浜蔁o關(guān)的完美渦旋光束,此后研究人員對完美渦旋光束的實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生以及特性做了大量研究[18];2014年,Garca-Garca等[19]提出了一種基于寬脈沖近似貝塞爾函數(shù)截?cái)喾óa(chǎn)生完美渦旋光束的方法,在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上簡化了實(shí)驗(yàn)裝置;2015年,Vaity和Rusch[20]將錐透鏡函數(shù)與螺旋相位函數(shù)相結(jié)合,并利用貝塞爾光束的傅里葉變換特性產(chǎn)生了亮環(huán)半徑可控的完美渦旋光束,實(shí)現(xiàn)了完美渦旋光束半徑的在線調(diào)節(jié);2016年,本課題組提出了一種完美渦旋光束亮環(huán)空間位置和半徑的自由調(diào)控技術(shù),并得到了錐角與亮環(huán)半徑的函數(shù)關(guān)系[21]。2018年,本課題組提出了一種完美渦旋光束的模式自由變換技術(shù)[22]。

上述工作通過在空間光調(diào)制器上加載計(jì)算機(jī)生成的相位掩模板來生成完美渦旋光束,在實(shí)驗(yàn)中會得到包含多個衍射級的一維光學(xué)渦旋陣列,該陣列中的每一級衍射光束都攜帶軌道角動量,但目前針對完美渦旋光束的研究及應(yīng)用中大部分局限于其+1級衍射級上的完美渦旋光束的物理性質(zhì),并未詳細(xì)分析高階衍射級的完美渦旋光束的產(chǎn)生及其特性,并且在實(shí)驗(yàn)過程中入射光的能量會被分散到各個衍射級,僅對+1級衍射光束進(jìn)行研究及應(yīng)用會導(dǎo)致能量利用率有限[23]。

本文首先對利用全息法產(chǎn)生的不同衍射級的完美渦旋光束進(jìn)行了理論分析,并利用空間光調(diào)制器實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生了包含高階衍射級的一維光學(xué)渦旋陣列,利用球面波干涉,對+1級和高階衍射級上的完美渦旋光束的空間特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究,詳細(xì)分析了不同衍射級上完美渦旋光束的光強(qiáng)分布和拓?fù)浜芍蹬c衍射級的關(guān)系,進(jìn)而研究了包含多個光學(xué)渦旋的光學(xué)渦旋陣列在高階衍射級中每個光學(xué)渦旋的拓?fù)浜芍蹬c衍射級的關(guān)系。

1 理論分析

為探究基于全息原理產(chǎn)生的高階衍射級完美渦旋光束的軌道角動量,從衍射原理出發(fā),假設(shè)極坐標(biāo)(r,φ)下入射到空間光調(diào)制器的高斯光束的電場表達(dá)式為

式中:w0為高斯光束束腰半徑,A為振幅常數(shù)。加載到空間光調(diào)制器的相位掩模板透過率函數(shù)為[24]

式中:tp為透射系數(shù),參數(shù)α=2π(n?1)γ/λ是錐透鏡的錐角(單位為弧度),n為錐透鏡折射率,γ是錐透鏡的底角,λ是入射光波長,p表示衍射級數(shù),m是相位掩模板的拓?fù)浜芍?D是光柵的周期。

在焦距為f的凸透鏡的焦平面上,利用衍射積分可以得到其強(qiáng)度分布為

式中:(ρ,θ)表示傅里葉平面上的笛卡爾坐標(biāo)系,λ是波長,?是相位掩模板的區(qū)域面積。將(1)、(2)式代入(3)式,并對相位掩模板區(qū)域?進(jìn)行積分,得到其衍射積分表達(dá)式

在透鏡焦平面上,對于高階衍射級需采用新的笛卡爾坐標(biāo)(ρ±p,θ±p)進(jìn)行積分,并通過下列變換與原笛卡爾坐標(biāo) (ρ,θ)建立聯(lián)系[25]

為方便求解積分,將錐透鏡函數(shù)展開成泰勒級數(shù)

將(5)、(6)式代入(4)式,經(jīng)過積分得到不同衍射級的光場表達(dá)式

式中:wf=λf/πw0,Γ(·)為伽瑪函數(shù),M(·)表示合流超幾何函數(shù)。由(7)式可知,傅里葉平面的光場由不同衍射級的衍射光束組成,并且都含有exp[imp(θ±p+π/2)]項(xiàng)。可見當(dāng)衍射級p=1時(shí),+1級衍射級具有與相位掩模板相同的拓?fù)浜芍?而當(dāng)p>1時(shí),高階衍射級的衍射光束的拓?fù)浜芍禐閙p,因此高階衍射級的衍射光束相對+1級衍射光束攜帶更大的軌道角動量。

利用計(jì)算全息原理制作的相位掩模板如圖1所示,通過計(jì)算機(jī)編程將錐透鏡的透射率函數(shù)與渦旋光束的螺旋相位函數(shù)疊加,并與平面波干涉后得到相位掩模板。

圖1 相位掩模板的產(chǎn)生過程。(a)錐透鏡透過率函數(shù)相位圖;(b)渦旋光束相位圖;(c)平面波相位圖;(d)相位掩模板Fig.1 Generation of phase mask.(a)Phase pattern of axicon;(b)Phase pattern of vortex beams;(c)Phase pattern of plane waves;(d)Phase mask

2 實(shí)驗(yàn)方案和裝置

為了驗(yàn)證上述理論,實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示。本實(shí)驗(yàn)光路分為兩部分:完美渦旋光束產(chǎn)生光路和產(chǎn)生球面波的干涉光路。利用球面波來檢測不同衍射級的完美渦旋光束的拓?fù)浜芍?在波長為532 nm的連續(xù)波固體激光器(功率為50 mW)后,放置空間針孔濾波器和凸透鏡L1(f1=200 mm)獲得平行光,平行光通過偏振片P1和分束器BS1后被分成兩束。一束光照射空間光調(diào)制器(SLM),SLM(HOLOEYE,PLUTO-VIS-016,像素尺寸:8μm×8μm)用于加載相位掩模板,調(diào)制的光束經(jīng)過另一偏振片P2和凸透鏡L2(f2=200 mm)進(jìn)行傅里葉變換后得到完美渦旋光束,利用透鏡焦平面位置的CCD相機(jī)(Basler acA1600-60gc,像素尺寸為4.5μm×4.5μm)記錄完美渦旋光束的光強(qiáng)分布,光闌A用來選擇通過指定衍射級的完美渦旋光束,另一束擴(kuò)展光束通過L3(f3=75 mm)透鏡轉(zhuǎn)換成球面波,與完美渦旋光束同軸干涉。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.2 Schematic diagram of experimental setup

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

通過在空間光調(diào)制器上分別加載錐角α=0.015?、拓?fù)浜芍祄=?2,+1,+2,+3的相位掩模板,可以得到不同衍射級的整數(shù)階完美渦旋光束。圖3為+1、+2以及+3衍射級上的整數(shù)階完美渦旋光束的光強(qiáng)分布及與球面波的干涉圖。干涉條紋數(shù)目為拓?fù)浜蓴?shù)值,條紋旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針時(shí),拓?fù)浜煞枮檎?反之為負(fù)。由圖3(b1)～(b4)干涉圖中條紋數(shù)量可知,+1級衍射光束的拓?fù)浜芍档扔趍;而對于+2級衍射級的完美渦旋光束,如圖3(d1)～(d4)所示,可以看到,其干涉條紋數(shù)分別為2、4、6,表明其拓?fù)浜纱笮》謩e為2、4、6,是相位掩模板拓?fù)浜傻?倍,且對于m=±2的完美渦旋光束,其干涉條紋旋轉(zhuǎn)方向相反,說明其拓?fù)浜芍捣栂喾?同樣地,對于+3級衍射級的完美渦旋光束,由圖3(f1)～(f4)中的干涉條紋數(shù)可知,其拓?fù)浜纱笮》謩e為3、6、9,是相位掩模板拓?fù)浜傻?倍,根據(jù)上述規(guī)律,+1級和高階衍射級上的完美渦旋光束的拓?fù)浜芍祃與衍射級數(shù)p滿足l=mp的關(guān)系,與理論分析一致。此外,為了更直觀地分析不同衍射級的完美渦旋光束亮環(huán)的半徑變化情況,根據(jù)圖3(a)～(e)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪制出不同衍射級的完美渦旋光束的半徑與衍射級p的變化關(guān)系圖,如圖3(g)柱狀圖所示,隨著衍射級的增大,完美渦旋光束的半徑逐漸增大,且當(dāng)m取不同值時(shí),在測量誤差范圍內(nèi)相同衍射級的完美渦旋光束半徑相同。

圖3 (a)～(f)不同衍射級的整數(shù)階完美渦旋光束的光強(qiáng)分布及與球面波的干涉圖;(g)不同衍射級的完美渦旋光束的半徑Fig.3 (a)～(f)Intensity distribution of integer order perfect vortex beams at different diffraction orders and interference patterns with a spherical wave;(g)Radius of perfect vortex beams of different diffraction orders

當(dāng)完美渦旋光束的拓?fù)浜墒欠钦麛?shù)時(shí)稱為分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束,其可以看作是整數(shù)階完美渦旋光束的疊加。相對于整數(shù)階完美渦旋光束圓對稱的光強(qiáng)分布,分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束的環(huán)上會出現(xiàn)缺口,在微粒操縱等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用價(jià)值[26],因此對不同衍射級上的分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束的研究也具有重要意義。為便于觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,在空間光調(diào)制器上分別加載拓?fù)浜芍祄=?2.5,+2.3,+2.5,+2.7的相位掩模板,可以得到不同衍射級上的分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束,如圖4所示。

當(dāng)相位掩模板的拓?fù)浜芍禐榉謹(jǐn)?shù)時(shí),+1級衍射光束會出現(xiàn)缺口,對比圖4(a2)、(a3)、(a4)可以發(fā)現(xiàn),衍射光束的拓?fù)浜芍翟浇咏胝麛?shù),其缺口越大,且由對應(yīng)的干涉圖可知,隨著小數(shù)部分大于半整數(shù)時(shí),逐漸產(chǎn)生一個新的螺旋干涉條紋。對于+3級衍射級,衍射光束都存在缺口,對于m=+2.3,±2.5,+2.7,由對應(yīng)的干涉圖可知其拓?fù)浜芍嫡麛?shù)部分分別為+6、±7、+8,然而從圖中不能直觀地確定其小數(shù)部分。但可以看出隨著衍射級的增大,分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束的拓?fù)浜呻S之增大。對于+2級衍射光束,當(dāng)m=+2.3,+2.7時(shí),光強(qiáng)分布出現(xiàn)缺口,仍是分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束,由圖4(d2)、(d4)中干涉條紋的數(shù)目可知,其拓?fù)浜芍荡笮〉恼麛?shù)部分分別為4、5,同樣從圖中不能直觀地確定其小數(shù)部分。當(dāng)m=±2.5時(shí),衍射光束具有圓對稱的光強(qiáng)分布,不再是分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束,且由圖4(d1)、(d3)中干涉條紋的數(shù)目和旋轉(zhuǎn)方向可知,其拓?fù)浜芍荡笮?,符號相反,滿足l=mp的關(guān)系,與整數(shù)階完美渦旋光束拓?fù)浜膳c衍射級變化關(guān)系一致,且隨著衍射級的增大,分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束的半徑也會逐漸增大。若把入射的高斯光束看做0階渦旋光束,該關(guān)系式與文獻(xiàn)[16]通過數(shù)值仿真得到的結(jié)論相同。這說明在完美條件(δ函數(shù))[19]約束下,高階衍射級拓?fù)浜膳c入射光場的拓?fù)浜傻年P(guān)系保持穩(wěn)定。該結(jié)論再次證明了衍射光場與入射光場的關(guān)系取決于衍射屏透過率函數(shù)。若要獲得更加復(fù)雜、豐富的衍射光場,可通過設(shè)計(jì)特定的衍射屏函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。

圖4 不同衍射級的分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束的光強(qiáng)分布及與球面波的干涉圖Fig.4 Intensity distribution of fractional order perfect vortex beams at different diffraction orders and interference patterns with a spherical wave

此外,相比于單個光學(xué)渦旋,光學(xué)渦旋陣列由于包含多個光學(xué)渦旋,具有更強(qiáng)的靈活性和潛在的應(yīng)用前景[27?31]。然而目前在相關(guān)研究和應(yīng)用中同樣主要關(guān)注和利用其+1級衍射光束的光強(qiáng),高階衍射級的光學(xué)渦旋陣列光強(qiáng)分布特性還未見報(bào)道。拉蓋爾-高斯光束作為光子軌道角動量的本征態(tài),是近年來應(yīng)用較為廣泛的渦旋光束[1,32?34],因此,為不失一般性,此處利用文獻(xiàn)[35]的方法將兩束攜帶不同拓?fù)浜傻睦w爾-高斯光束同軸疊加[35],通過實(shí)驗(yàn)得到了+1級衍射級和高階衍射級的光學(xué)渦旋陣列強(qiáng)度分布。

圖5顯示了不同衍射級的光學(xué)渦旋陣列的實(shí)驗(yàn)光強(qiáng)圖和球面波干涉圖。圖5(a1)～(c1)分別為+1、+2、+3衍射級的光學(xué)渦旋陣列的實(shí)驗(yàn)光強(qiáng)圖,由圖可以看出,隨著衍射級的增大,光學(xué)渦旋陣列中的暗核逐漸增大。為了驗(yàn)證該光學(xué)渦旋陣列中光學(xué)渦旋的拓?fù)浜傻拇笮?采用球面波作為參考光進(jìn)行干涉。在圖5(a2)～(c2)中,每個暗核對應(yīng)位置的干涉圖中出現(xiàn)叉絲,每個暗核處叉絲的分叉數(shù)量決定了拓?fù)浜芍?由于實(shí)驗(yàn)結(jié)果中暗核區(qū)域較大,所以圖中使用虛線來幫助識別叉絲的位置。由分叉數(shù)可知,+1、+2和+3級光學(xué)渦旋陣列中的單個光學(xué)渦旋的拓?fù)浜芍祃分別為+1、+2、+3,滿足l=p的關(guān)系,在高階衍射級處產(chǎn)生了高階光學(xué)渦旋陣列。文獻(xiàn)[27]、[28]分別利用相位翻倍技術(shù)和特定的拉蓋爾高斯光束疊加產(chǎn)生了高階光學(xué)渦旋陣列。本工作從產(chǎn)生方法方面更為簡便,為產(chǎn)生高階光學(xué)渦旋陣列提供了一種新思路,并且可以通過對高階衍射級上的光學(xué)渦旋陣列進(jìn)行聚焦從而對微粒進(jìn)行捕獲等操作,這在微粒操縱等領(lǐng)域有著潛在應(yīng)用價(jià)值。

圖5 不同衍射級的光學(xué)渦旋陣列的實(shí)驗(yàn)光強(qiáng)圖及與球面波干涉圖Fig.5 Experimental intensity pattern of optical vortex array with different diffraction orders and the corresponding interference patterns with a spherical wave

4 結(jié)論

基于結(jié)合空間光調(diào)制器的計(jì)算全息原理,對高階衍射級的完美渦旋光場進(jìn)行了理論分析,并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該理論的正確性。結(jié)果表明+1級整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束的拓?fù)浜芍档扔谙辔谎谀０宓耐負(fù)浜蒻,而高階衍射級p上的整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束的拓?fù)浜芍禎M足l=mp,并且其半徑隨著衍射級的增大而增大,當(dāng)m取不同值時(shí),相同衍射級的完美渦旋光束半徑仍相同。并且通過對不同衍射級p上的光學(xué)渦旋陣列進(jìn)行拓?fù)浜芍禍y量,發(fā)現(xiàn)其每個光學(xué)渦旋的拓?fù)浜芍禐閜。綜上,通過對+1級和高階衍射級的整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階完美渦旋光束及光學(xué)渦旋陣列進(jìn)行對比分析,得到了軌道角動量規(guī)律,為光學(xué)渦旋及其陣列進(jìn)一步的研究及應(yīng)用提供了理論和實(shí)驗(yàn)參考。