基于工程約束與權(quán)重優(yōu)化的民機(jī)部段柔性調(diào)姿算法實(shí)現(xiàn)

(上海飛機(jī)制造有限公司，上海 201324)

隨著我國飛機(jī)裝配技術(shù)的持續(xù)發(fā)展,飛機(jī)裝配技術(shù)已經(jīng)從傳統(tǒng)的人工裝配，渡過半自動化裝配，進(jìn)入了數(shù)字化裝配進(jìn)程，并在持續(xù)應(yīng)用過程中形成了一套完整的數(shù)字化裝配技術(shù)體系[1]。飛機(jī)裝配是一項(xiàng)涉及多學(xué)科、多領(lǐng)域的集成性技術(shù)，它具有技術(shù)難度大、復(fù)雜程度高的特點(diǎn)，而且也對飛機(jī)產(chǎn)品的制造成本、生產(chǎn)周期和裝配質(zhì)量有著重要的影響[2]。飛機(jī)裝配的工作量較其他產(chǎn)品不同，占比高達(dá)飛機(jī)制造總工作量的50%～60%左右，而一般的機(jī)械制造中裝配的工作量只占到總工作量的20%左右[3]。

為研究飛機(jī)部段調(diào)姿與對接過程，搭建調(diào)姿對接實(shí)驗(yàn)平臺,面向?qū)釉囼?yàn)平臺開展了相關(guān)調(diào)姿算法、運(yùn)動等方面的研究[4]。相關(guān)研究基于現(xiàn)有成熟軟件與數(shù)控系統(tǒng)，完成算法優(yōu)化，模擬調(diào)姿。

民用飛機(jī)部段的調(diào)姿與對接采用柱式或塔式數(shù)控定位器，每臺定位器與機(jī)體部件單獨(dú)相連，由伺服電機(jī)驅(qū)動在3個(gè)方向上移動，用于支撐、調(diào)姿、對接飛機(jī)大部段[5]。飛機(jī)自動對接系統(tǒng)架構(gòu)如圖1所示，通過激光跟蹤儀進(jìn)行建站，將局部坐標(biāo)系與全局對應(yīng)。對比測量點(diǎn)與數(shù)模理論位置，通過測量與姿態(tài)解算軟件解算姿態(tài)并反饋對應(yīng)旋轉(zhuǎn)矩陣。按照工程與工藝要求，不同測量點(diǎn)位置需滿足不同精度要求，需要加入權(quán)重。通過權(quán)重的調(diào)整與優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)不同精度工藝要求的最優(yōu)實(shí)現(xiàn)。通過解算進(jìn)行路徑規(guī)劃與運(yùn)動控制系統(tǒng)交互，進(jìn)行柔性自動化對接控制，實(shí)現(xiàn)低應(yīng)力柔性飛機(jī)裝配。

圖1 飛機(jī)部段自動對接系統(tǒng)架構(gòu)

SA(Spatial Analyzer)是民機(jī)裝配中常用的解算工具軟件，但作為封裝完整的成熟軟件，面對的用戶是黑箱狀態(tài)。當(dāng)根據(jù)現(xiàn)場工藝需求修改、微調(diào)算法時(shí)，無法通過修改軟件算法以達(dá)到需求。在現(xiàn)場只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)微調(diào)各個(gè)軸以達(dá)到工藝要求，不僅浪費(fèi)時(shí)間成本還需有經(jīng)驗(yàn)的技術(shù)人員在場指導(dǎo)，浪費(fèi)人力成本。因此，本文基于姿態(tài)解算數(shù)學(xué)理論，完成Python環(huán)境下的姿態(tài)解算驗(yàn)證，并基于目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)帶權(quán)重姿態(tài)解算、帶工程約束或優(yōu)化的姿態(tài)解算。

1 帶權(quán)重與約束的姿態(tài)解算

如圖2所示，飛機(jī)部段上的測量點(diǎn)提供飛機(jī)的當(dāng)前姿態(tài)，通過定位器的三坐標(biāo)運(yùn)動控制飛機(jī)部段的姿態(tài)。部段在調(diào)姿裝配過程中簡化為剛體，理想的剛體運(yùn)動保證飛機(jī)部段運(yùn)動過程柔順。因此剛體運(yùn)動的姿態(tài)解算結(jié)果為運(yùn)動參數(shù)設(shè)置提供了柔性解，從而降低調(diào)姿對接過程中應(yīng)力大小與應(yīng)力變化速度。

圖2 機(jī)翼對接示意圖

剛性部件上不在同一條直線的3個(gè)點(diǎn)可以確定平面與姿態(tài)，剛體姿態(tài)解算基礎(chǔ)為3點(diǎn)定位法：測量剛體上不同線的3個(gè)點(diǎn)，并建立一個(gè)局部坐標(biāo)系。這個(gè)部件坐標(biāo)系就可以表達(dá)剛體的姿態(tài)。當(dāng)使用這種方法計(jì)算姿態(tài)時(shí)，其誤差與坐標(biāo)系的建立方法相關(guān)。當(dāng)測量點(diǎn)超過3個(gè)點(diǎn)時(shí)，所有測量點(diǎn)不能同時(shí)參與計(jì)算。所以，當(dāng)測量點(diǎn)多于3個(gè)點(diǎn)時(shí)，需要構(gòu)建最小二乘目標(biāo)函數(shù)，并對其進(jìn)行優(yōu)化與解算。四組元法、奇異值分解法、正交矩陣法、雙四組元法、線性子空間法等都是求解點(diǎn)匹配問題的常用算法。Eggert等[6]對前4種算法的精度與穩(wěn)定性做了比較，表明以上算法都是非迭代的，而且不需要提供附加的初始值。

1.1 SVD分解姿態(tài)解算

SVD(Singular Value Decomposition)分解[7-8]，即奇異值分解法，是姿態(tài)解算的常用方法。在本文的代碼實(shí)現(xiàn)中運(yùn)用SVD通過點(diǎn)匹配解算姿態(tài)，其解算出的結(jié)果為旋轉(zhuǎn)矩陣。該算法的輸入是一組飛機(jī)部件上確定位置測量點(diǎn)的理論位置Ptheory，即n×3的矩陣，分別對應(yīng)的是n個(gè)測量點(diǎn)的X,Y,Z的全局坐標(biāo)理論位置。與之對應(yīng)的，另一組通過測量飛機(jī)部件上對應(yīng)實(shí)際的測量點(diǎn)的位置矩陣Pshice。其解算結(jié)果為旋轉(zhuǎn)矩陣RSVD和平移向量TSVD。

在獲得兩組點(diǎn)陣后，根據(jù)這組點(diǎn)陣分別求解其位置中心建立局部坐標(biāo)系。通過計(jì)算Ptheory和Pshice給出的坐標(biāo)系的平均值計(jì)算重心μtheory,μshice，從而可以計(jì)算出局部坐標(biāo)系下測量點(diǎn)位置的Qtheory和Qshice。其公式為

Qtheory=Ptheory-μtheory

(1)

Qshice=Pshice-μshice

(2)

Umeyama[8]提出最小二乘法問題通過奇異值分解求解旋轉(zhuǎn)矩陣的問題。其表達(dá)式為

[U,S,VT]=SVD(QtheoryQshiceT)

(3)

式中：U與VT分別為行與列的分解矩陣，S為奇異值，并獲得旋轉(zhuǎn)矩陣R=UVT。

解算結(jié)果中旋轉(zhuǎn)矩陣R的行列式為-1時(shí)，會出現(xiàn)結(jié)果經(jīng)過180°的翻轉(zhuǎn)。因此本文的SS判據(jù)為

(4)

當(dāng)旋轉(zhuǎn)矩陣R為非半正定矩陣時(shí)，需要對旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，將其翻轉(zhuǎn)后參與運(yùn)算(其中diag()為對角矩陣)。

綜上，SVD奇異值分解通過飛機(jī)測量點(diǎn)實(shí)測與理論位置，解算繞局部坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣與平移向量，獲取一般點(diǎn)匹配問題算法結(jié)果。

1.2 權(quán)重的姿態(tài)解算

傳統(tǒng)的帶權(quán)重的SVD算法可以將重心位置增設(shè)權(quán)重與約束[9]等。此類算法附加性好、計(jì)算量小，例如將重心位置加上重心權(quán)重向量wi：

(5)

本文算法將帶權(quán)重的最小二乘問題加入SVD中直接進(jìn)行計(jì)算。由于規(guī)劃問題對初值的敏感度較高，本文將SVD的解算值作為初值，并采用設(shè)定目標(biāo)函數(shù)非線性優(yōu)化的方法考慮權(quán)重問題與工程約束。此類算法不僅可以通過將權(quán)重加入優(yōu)化函數(shù)考慮各個(gè)點(diǎn)不同的權(quán)重，還能通過在優(yōu)化函數(shù)中設(shè)置約束條件或直接設(shè)置邊界約束，以達(dá)成算法效果。

帶權(quán)重wi,j的目標(biāo)函數(shù)為

(6)

若將每一點(diǎn)的權(quán)重類比成彈簧剛度，目標(biāo)函數(shù)可以被類比成理論剛體位置與經(jīng)旋轉(zhuǎn)平移后的實(shí)際剛體之間的能量。

Kraft[10]提出的序列最小二乘算法(Sequential Least Squares Programming，SLSQP)，計(jì)算機(jī)中提供線性優(yōu)化的求解算法。通過Python調(diào)用該方法可將上述目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行帶權(quán)重的優(yōu)化，以計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。該SLSQP梯度方法在近年使用于多領(lǐng)域中，例如飛機(jī)機(jī)翼設(shè)計(jì)優(yōu)化[11]、機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測模型[12]、渦輪機(jī)熱力學(xué)問題[13]中，得到了廣泛穩(wěn)定的應(yīng)用，具有較高的穩(wěn)定性與收斂性。

1.3 權(quán)重與約束的姿態(tài)解算

由于不同的工藝規(guī)范、現(xiàn)場經(jīng)驗(yàn)等在不同的工位和工況下會有不同的約束要求，例如對稱性要求、偏差量約束等，SA無法提供對應(yīng)接口，而本文算法使用非線性優(yōu)化有兩種解決方案：

① 將約束G(x)作為非線性優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)的一部分，并自定義設(shè)置權(quán)重值Wconstrain，其表達(dá)式為

(7)

②將約束G(x)作為非線性優(yōu)化的約束項(xiàng)，其公式為

(8)

式中，bi用于設(shè)置所需的約束量值。

這兩種方案各有特點(diǎn)，第①種將約束項(xiàng)加入目標(biāo)函數(shù)，人為設(shè)定乘子，可以自由調(diào)節(jié)權(quán)重來達(dá)成不同的定位效果，但不能完全達(dá)到強(qiáng)制約束的效果；而第②種方案以犧牲其他優(yōu)化項(xiàng)以達(dá)成強(qiáng)約束效果。

2 算法實(shí)現(xiàn)

2.1 權(quán)重算法結(jié)果與對比

由于SA在現(xiàn)場已成熟應(yīng)用，其結(jié)果具有較高可比性。因此，將本文提出的算法與其進(jìn)行對比分析，比對輸入兩種算法(無權(quán)重與帶權(quán)重)的解算結(jié)果。

飛機(jī)部段水平測量參考點(diǎn)的實(shí)測位置、理論位置和權(quán)重矩陣需要作為算法輸入。將對接過程中一組數(shù)據(jù)作為輸入，對算法進(jìn)行測試與比對，如表1所示。

通過對比誤差矩陣中均方根與每點(diǎn)的直接距離，驗(yàn)證算法的可靠性。結(jié)果如表2所示。

表1 輸入數(shù)據(jù)表

表2 誤差結(jié)果比對

表2給出無權(quán)重與帶權(quán)重算法誤差矩陣的結(jié)果，誤差矩陣代表實(shí)測姿態(tài)經(jīng)過算法解算后與理論位置的差值，其單位為mm。通過對比兩種算法的三坐標(biāo)方向的誤差離散程度與每個(gè)測量點(diǎn)誤差的直線距離，可直觀分析兩種算法近似度。

對比本文解算結(jié)果與SA算法結(jié)果，誤差絕對值小于0.01 mm，且誤差百分比約在2%以內(nèi)，誤差的量綱遠(yuǎn)低于公差。

2.2 約束算法實(shí)現(xiàn)

針對不同工位不同產(chǎn)品對象，制定基于工程約束、工藝要求和質(zhì)量要求的姿態(tài)評價(jià)邊界，諸如對稱性要求等。位置精度與公差約束隨著不同工位要求不同，姿態(tài)評價(jià)的邊界也不同，因此裝配現(xiàn)場對不同的約束有定制化需求。

對于此類約束，本文在1.3節(jié)提出兩種算法方案。以假設(shè)某型飛機(jī)機(jī)翼的3、4號測量點(diǎn)在X方向的對稱性需不超過0.1 mm為例，對算法進(jìn)行測試比對，設(shè)置約束函數(shù)G(x)為誤差矩陣中X3點(diǎn)與X4點(diǎn)的差值。

表3中陰影部分為約束對象。對比無約束情況下的解算結(jié)果，優(yōu)化算法與約束條件算法都對約束結(jié)果產(chǎn)生影響。

圖3為不同約束算法的結(jié)果。第1種優(yōu)化算法中約束權(quán)重較小時(shí)，優(yōu)化效果較弱，但整體誤差改變較小；權(quán)重增大優(yōu)化效果增強(qiáng)，但測量點(diǎn)其他方向的位置誤差增大。第2種約束邊界算法，約束項(xiàng)小于設(shè)定值(0.5 mm)，而對比表3，其他測量點(diǎn)的位置誤差大幅增大，此方法在約束邊界過高或矛盾時(shí)將出現(xiàn)其他點(diǎn)的誤差過大或丟失物理意義等情況。

表3 約束算法比較 單位：mm

圖3 目標(biāo)約束項(xiàng)比對

3 結(jié)束語

民機(jī)部段的調(diào)姿對接過程中，姿態(tài)的控制影響飛機(jī)的裝配質(zhì)量。數(shù)控定位器的運(yùn)動控制需要通過姿態(tài)解算獲取，本文提出新的姿態(tài)解算方法為飛機(jī)姿態(tài)控制提供算法支持。通過SVD計(jì)算無權(quán)重姿態(tài)解算的初值，并通過權(quán)重與約束加入優(yōu)化算法，實(shí)現(xiàn)基于工程約束與權(quán)重優(yōu)化的民機(jī)部段柔性調(diào)姿算法。并通過對比分析算法實(shí)現(xiàn)結(jié)果，驗(yàn)證算法的可靠性。

權(quán)重的使用已逐漸擴(kuò)展到飛機(jī)裝配過程中，而現(xiàn)階段自動對接系統(tǒng)雖已廣泛應(yīng)用于民機(jī)部段的裝配過程中，但對于不同軟件與系統(tǒng)之間的交互接口仍需進(jìn)行二次開發(fā)。調(diào)姿對接算法軟件通過提供控制系統(tǒng)歐拉角的解算結(jié)果，即X、Y、Z、A、B、C三坐標(biāo)平移旋轉(zhuǎn)量，通過外部數(shù)據(jù)處理將電機(jī)運(yùn)動量輸入執(zhí)行系統(tǒng)。在本文中可直接進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，設(shè)置對應(yīng)接口，為上位系統(tǒng)提供便捷調(diào)用功能。可通過算法中使用的過程數(shù)據(jù)完成路徑規(guī)劃，建立與底層運(yùn)動控制器的交互，實(shí)現(xiàn)柔性自動化對接裝配。