一種具有多對稱同質(zhì)吸引子的四維混沌系統(tǒng)的超級多穩(wěn)定性研究

黃麗蓮 姚文舉 項(xiàng)建弘 王霖郁

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 哈爾濱 150001)

(哈爾濱工程大學(xué)先進(jìn)船舶通信與信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 哈爾濱 150001)

1 引 言

混沌是非線性動力學(xué)系統(tǒng)所具有的一類復(fù)雜動力學(xué)行為，它表現(xiàn)出確定性非線性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性[1]?；煦缬捎谄涑跏贾得舾行院蛡坞S機(jī)性[2]，已廣泛用于電子工程[3]、信息工程[4]、加密算法[5，6]、安全通信[7，8]和其他領(lǐng)域[9—11]。1963年，美國氣象學(xué)家洛倫茲[12]提出了第1個(gè)混沌系統(tǒng)模型，它引起了科學(xué)界的廣泛關(guān)注，之后又不斷有新的混沌系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)。1986年，蔡少棠提出了著名的蔡氏電路[13，14]，首次實(shí)現(xiàn)了混沌與電路之間的結(jié)合，是最簡單的混沌振蕩電路之一。2002年Lü等人[15]提出了一種將Lorenz和Chen的系統(tǒng)連接起來的過渡混沌系統(tǒng)。

2008年，惠普實(shí)驗(yàn)室第1次制備出憶阻器[16]，這引起了憶阻器研究和應(yīng)用的熱潮。由于憶阻器的非線性，它被用于構(gòu)造新型的混沌系統(tǒng)。2008 年，Itoh 和 Chua[17]共同提出了基于憶阻器的蔡氏混沌電路，其動力學(xué)分析結(jié)果表明替換之后的電路的動力學(xué)行為與典型的蔡氏電路相比更加復(fù)雜。2010年，Bao等人[18]采用光滑磁控憶阻和一個(gè)負(fù)電導(dǎo)的組合替換蔡氏二極管，提出了基于憶阻的蔡氏混沌電路，重點(diǎn)研究了電路參數(shù)和初始條件對憶阻混沌電路動力學(xué)特性的影響。2016年，閔富紅等人[19]提出一種基于雙曲正弦函數(shù)的新型磁控憶阻器模型，將其用于構(gòu)造新型憶阻混沌系統(tǒng)，并利用新系統(tǒng)混沌序列對圖像進(jìn)行加密。

最近幾年，多穩(wěn)定性[20—25]與超級多穩(wěn)定性[26—33]成為人們的研究熱點(diǎn)。多穩(wěn)定性是許多非線性系統(tǒng)中一種常見的現(xiàn)象，它是指在相同的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置下，多種吸引子共存的現(xiàn)象。當(dāng)在相同的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置下，無限多吸引子共存的現(xiàn)象就稱為超級多穩(wěn)定性。2019年，Wu等人[23]通過將兩個(gè)正弦非線性引入簡單的3維線性動力系統(tǒng)中，提出了一種新穎而簡單的3維混沌系統(tǒng)。新系統(tǒng)具有9個(gè)平衡點(diǎn)，可以產(chǎn)生多種不同類型的共存吸引子，也稱為多穩(wěn)定性。2020年，文獻(xiàn)[24]提出一個(gè)沒有線性項(xiàng)的3維混沌系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)進(jìn)行了動力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)可以產(chǎn)生周期軌、混沌振蕩、周期窗和共存吸引子等現(xiàn)象。2019年，Ahmadi等人[31]提出了一種具有超級多穩(wěn)定性的5維混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)具有曲線型的線平衡點(diǎn)，可以產(chǎn)生無限多共存吸引子。2020年，Gong等人[32]在Sprott C系統(tǒng)中引入線性狀態(tài)反饋控制器，提出了一種具有無限多個(gè)平衡點(diǎn)的4維混沌系統(tǒng)。盡管新的4D混沌系統(tǒng)只有兩個(gè)非線性項(xiàng)，但是它具有豐富的動力學(xué)特性，例如隱藏吸引子和共存吸引子。同年，文獻(xiàn)[33]將憶阻器引入一個(gè)3維混沌系統(tǒng)中，設(shè)計(jì)了一個(gè)具有離散分岔圖的4維憶阻混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)不僅具有異質(zhì)多穩(wěn)定性，也具有同質(zhì)多穩(wěn)定性，同時(shí)還具有超級多穩(wěn)定性。一般使用憶阻器設(shè)計(jì)的混沌系統(tǒng)都會具有線平衡點(diǎn)，但是本文沒有使用憶阻器也使得設(shè)計(jì)的混沌系統(tǒng)同樣具有線平衡點(diǎn)，達(dá)到了和使用憶阻器進(jìn)行設(shè)計(jì)一樣的效果。

異質(zhì)多穩(wěn)定性是指混沌系統(tǒng)產(chǎn)生不同形狀的吸引子，而同質(zhì)多穩(wěn)定性是指系統(tǒng)可以產(chǎn)生幅度、頻率或空間位置不同，但形狀相同的吸引子?，F(xiàn)有的研究混沌系統(tǒng)多穩(wěn)定性的文獻(xiàn)幾乎都是討論混沌系統(tǒng)的異質(zhì)多穩(wěn)定性，而同質(zhì)多穩(wěn)定性卻鮮有報(bào)道。在此基礎(chǔ)上，本文提出一種具有無限多對稱的同質(zhì)吸引子的4維混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)具有很大的初值變化范圍和除零點(diǎn)外恒定的Lyapunov指數(shù)譜，不同于文獻(xiàn)[33]，該系統(tǒng)還具有中心對稱的離散分岔圖。

本文的其余部分安排如下。在第2節(jié)，介紹新系統(tǒng)的無量綱方程，并對系統(tǒng)進(jìn)行基本的動力學(xué)分析，包括對稱性、耗散性、平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性。在第3節(jié)，利用相軌圖、Lyapunov指數(shù)和龐加萊截面分析了該系統(tǒng)混沌吸引子的動力學(xué)行為。在第4節(jié)，通過分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜研究了混沌系統(tǒng)的超級多穩(wěn)定性，分析結(jié)果表明該系統(tǒng)具有無限多對稱的同質(zhì)吸引子和中心對稱的離散分岔圖。在第5節(jié)，對新系統(tǒng)進(jìn)行電路仿真實(shí)現(xiàn)并給出仿真結(jié)果，其驗(yàn)證了數(shù)值仿真的正確性。最后，對本文進(jìn)行了總結(jié)。

2 4維混沌系統(tǒng)模型

2003 年，Liu等人[34]提出了一個(gè)具有5個(gè)平衡點(diǎn)的3維混沌系統(tǒng)，可以產(chǎn)生一個(gè)4翼混沌吸引子。然而，在 2004 年，Liu 等人[35]證明了它產(chǎn)生的僅僅是兩個(gè)共存的位置排列十分緊密的2翼吸引子，即上述 Liu系統(tǒng)是個(gè)偽4翼混沌系統(tǒng)。它屬于廣義Lorenz 系統(tǒng)，其無量綱方程如式(1)所示。

2.1 對稱性

對稱性廣泛存在于具有偶數(shù)個(gè)吸引子的混沌系統(tǒng)中。如果進(jìn)行變換(x，y，z，w)?(-x，-y，z，-w)，憶阻混沌系統(tǒng)式(2)是不變的，這表明系統(tǒng)式(2)在狀態(tài)空間中關(guān)于z軸對稱。

2.2 平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性

2.3 耗散性

3 混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為分析

3.1 相軌圖和Lyapunov指數(shù)

在這一節(jié)通過Lyapunov指數(shù)和相軌圖的方法對系統(tǒng)式(2)進(jìn)行進(jìn)一步的研究。當(dāng)參數(shù)a=4.8，b=5，c=21.3，d=5，e=0.01，f=0.1時(shí)，系統(tǒng)式(2)可以產(chǎn)生如圖1所示的混沌吸引子。

圖1 混沌吸引子的相軌圖

Lyapunov指數(shù)描述了被擾動的初始條件的指數(shù)發(fā)散率，是判斷混沌的有效工具。本文采用龍格庫塔(RK45)方法求解ODEs，同時(shí)，Lyapunov指數(shù)的計(jì)算采用著名的 wolf 算法。絕對誤差和相對誤差都設(shè)置為10-4，初始條件為(1，1，0，0)。在以上設(shè)置條件下，系統(tǒng)式(2)的Lyapunov指數(shù)分別為0.6790， 0.0063， —0.0327和—22.1846。其中最大的Lyapunov指數(shù)大于零，此時(shí)的系統(tǒng)式(2)是混沌的。

同時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)式(2)的維數(shù)如式(7)所示。

3.2 龐加萊截面

龐加萊截面是在系統(tǒng)相空間中截取一個(gè)截面。通過仔細(xì)觀察截面上截點(diǎn)的分布狀況，可以判斷系統(tǒng)所處的狀態(tài)。分別取截面z=8和w=1.5，可以得到系統(tǒng)的龐加萊截面如圖2所示。在這些圖片中可以觀察到成片的點(diǎn)，這表明系統(tǒng)具有混沌行為。

圖2 混沌吸引子的龐加萊截面

4 混沌系統(tǒng)的超級多穩(wěn)定性分析

4.1 異質(zhì)多穩(wěn)定性的動力學(xué)分析

混沌系統(tǒng)的多穩(wěn)定性是指，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)固定，取不同的初值時(shí)，系統(tǒng)可以產(chǎn)生不同共存吸引子的現(xiàn)象。當(dāng)產(chǎn)生的共存吸引子的數(shù)目趨向于無限多時(shí)，這種現(xiàn)象稱為超級多穩(wěn)定性。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=4.8，b=5，c=21.3，d=5，e=0.01，f=0.1時(shí)，設(shè)置初值為(0，0，1，w(0))，給出w(0)在區(qū)間[-200，200]內(nèi)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜如圖3所示。

圖3(a)給出了系統(tǒng)狀態(tài)變量w隨初值w(0)變化的分岔圖，可以看出該分岔圖由許多離散的小線段組成，且近似呈一條直線排列。在[-35，35]區(qū)間之外，狀態(tài)變量w出現(xiàn)較大范圍的變化，表明系統(tǒng)在該區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生的混沌吸引子的幅度較大。從圖3的相軌圖中可以看出，在w(0)位于[-35，35]區(qū)間內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生雙渦卷共存吸引子，而w(0)位于該區(qū)間之外時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生四渦卷吸引子。圖3(a)的分岔圖中的狀態(tài)變量w呈現(xiàn)無限多的穩(wěn)定的混沌狀態(tài)，表明該系統(tǒng)可以產(chǎn)生無限多共存吸引子，即該系統(tǒng)具有超級多穩(wěn)定性。圖3(b)給出了系統(tǒng)隨初值w(0)變化的Lyapunov指數(shù)譜，可以看出，除了w(0)=0外，在區(qū)間[-200，200]內(nèi)的Lyapunov指數(shù)譜幾乎是恒定的，系統(tǒng)的最大的Lyapunov指數(shù)大于零，第2個(gè)Lyapunov指數(shù)等于零，4個(gè)Lyapunov指數(shù)之和小于零，所以該系統(tǒng)在該范圍處于混沌狀態(tài)。

圖3 初值w(0)在[-200，200]區(qū)間內(nèi)變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為a=4.8，b=5，c=21.3，d=5，e=0.01，f=0.1時(shí)，設(shè)置初值為(0，0，1，w(0))，w(0)分別取±30，±90時(shí)，該系統(tǒng)產(chǎn)生兩個(gè)雙渦卷和兩個(gè)四渦卷混沌吸引子如圖4所示。取30， —30， 90，—90時(shí)，分別對應(yīng)相軌圖中藍(lán)、紅、粉、青吸引子。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，這些混沌吸引子是沿著w軸呈現(xiàn)出線性分布的，這與前文系統(tǒng)分岔圖的分析結(jié)果相一致。通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)可以產(chǎn)生結(jié)構(gòu)不同的雙渦卷和四渦卷混沌吸引子，因此該系統(tǒng)具有異質(zhì)多穩(wěn)定性。

圖4 無限多共存吸引子的相圖

4.2 同質(zhì)多穩(wěn)定性的動力學(xué)分析

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為a=4.8，b=5，c=21.3，d=5，e=0.01，f=0.1，初值設(shè)置為(x(0)，0，1，0)時(shí)，給出x(0)在[-103，103]區(qū)間內(nèi)的狀態(tài)變量w的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜如圖5所示。

從圖5(a)可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)變量w隨初值x(0)變化的分岔圖不同于一般混沌系統(tǒng)的分岔圖，呈現(xiàn)出許多離散的小線段，且集中分布在傾斜的帶狀區(qū)域內(nèi)。小線段表明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，但是其離散的位置分布表明隨初值的變化，吸引子的空間位置是不連續(xù)的。狀態(tài)變量w呈現(xiàn)出無限多種穩(wěn)定的混沌狀態(tài)，這意味著該系統(tǒng)具有超級多穩(wěn)定性。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，該離散分岔圖是中心對稱的，這可以用吸引子空間位置的對稱性來解釋。從圖5(b)可以看出，該系統(tǒng)在初值x(0)不等于零時(shí)，其Lyapunov指數(shù)譜保持恒定，且最大Lyapunov指數(shù)大于零，表明該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。該初值下產(chǎn)生的混沌吸引子的形狀與圖4所示吸引子類似?？梢园l(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)具有很多形狀和大小一樣，但是空間位置不同的共存吸引子，因此該系統(tǒng)具有同質(zhì)多穩(wěn)定性。

圖5 初值x(0)在[-103，103]區(qū)間內(nèi)變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

基于本系統(tǒng)的特殊性，初值(0，0，1，0)對系統(tǒng)的影響須單獨(dú)討論。當(dāng)系統(tǒng)初值為(0，0，1，0)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)分別為4.8003， —0.0278， —5.0005和—21.3091。包伯成教授在文獻(xiàn)[36]中提出，若混沌系統(tǒng)具有混沌吸引子，則必須同時(shí)存在以下條件：(1)至少存在一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)；(2)至少存在某一Lyapunov指數(shù)等于零；(3)Lyapunov指數(shù)譜之和為負(fù)。而該系統(tǒng)第1個(gè)Lyapunov指數(shù)為4.8003， 4個(gè)Lyapunov指數(shù)之和為負(fù)，但是第2個(gè)Lyapunov指數(shù)為—0.0278，不足夠接近零，故此時(shí)系統(tǒng)不處于混沌狀態(tài)。并且通過相軌圖觀察了此時(shí)系統(tǒng)所處的狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在該初始條件下確實(shí)不處于混沌狀態(tài)。

接下來討論一下系統(tǒng)取其他初值的情況。當(dāng)系統(tǒng)初值設(shè)置為(0，y(0)，1，0)，給出y(0)在[-103，103]區(qū)間內(nèi)變化時(shí)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜如圖6所示。由圖6(a)可以看出，系統(tǒng)隨初值y(0)在[-103，103]區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，狀態(tài)變量w的分岔圖也呈現(xiàn)出許多離散的小線段的形式，表明狀態(tài)變量w具有無限多種穩(wěn)定的混沌狀態(tài)，且該離散分岔圖也是中心對稱的。從圖6(b)可以看出，在y(0)不等于零時(shí)，該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜保持恒定，且最大Lyapunov指數(shù)大于零，表明系統(tǒng)在該范圍內(nèi)始終處于混沌狀態(tài)。通過上述分析可以得到，該系統(tǒng)具有中心對稱的離散分岔圖以及除零點(diǎn)外恒定的Lyapunov指數(shù)譜。

圖6 初值y(0)在[-103，103]區(qū)間內(nèi)變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

初值分別設(shè)置為(0，±10，1，0)， (0，±60，1，0)，(0，±80，1，0)時(shí)，系統(tǒng)式(2)可以產(chǎn)生多個(gè)同質(zhì)吸引子，如圖7所示。其中，藍(lán)色和紅色分別對應(yīng)初值(0，10，1，0)， (0，-10，1，0)，粉色和青色分別對應(yīng)初值(0，60，1，0)， (0，-60，1，0)，黃色和黑色分別對應(yīng)初值(0，80，1，0)， (0，-80，1，0)。從圖中可以看出，這些共存吸引子有兩種不同的結(jié)構(gòu)，空間位置有所不同，但是它們都是沿著w軸平行分布。其吸引子沿著w軸平行分布的空間位置正好與圖6(a)分岔圖中的許多離散的小線段相對應(yīng)。

圖7 無限多同質(zhì)吸引子的相圖

當(dāng)系統(tǒng)設(shè)置初值為(0，1，z(0)，0)，給出z(0)在[-103，103]區(qū)間內(nèi)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜如圖8所示。

從圖8(a)可以看出，初值設(shè)置為(0，1，z(0)，0)，初值z(0)在[-103，103]區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，狀態(tài)變量w的分岔圖也呈現(xiàn)出許多離散的小線段的形式，同樣表明了該系統(tǒng)具有超級多穩(wěn)定性。但是該離散分岔圖不是中心對稱的。圖8(b)與圖6(b)相似，在z(0)不等于零時(shí)，該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜保持恒定，且最大Lyapunov指數(shù)大于零，表明系統(tǒng)在該范圍內(nèi)始終處于混沌狀態(tài)。

圖8 初值z(0)在[-103，103]區(qū)間內(nèi)變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

4.3 無限多同質(zhì)吸引子的對稱性

顯然，如果進(jìn)行變換(x，y，z，w)?(-x，-y，z，-w)系統(tǒng)式(2)是不變的，這意味著(x，y，z，w)和 (-x，-y，z，-w)都是系統(tǒng)方程的解。系統(tǒng)式(2)的這種對稱性質(zhì)可以用來解釋狀態(tài)空間中對稱共存吸引子的存在。如果將系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為a=4.8，b=5，c=21.3，d=5，e=0.01，f=0.1，初值分別設(shè)置為(x(0)，y(0)，z(0)，w(0)) 和(-x(0)，-y(0)，z(0)，-w(0))，系統(tǒng)可以產(chǎn)生成對關(guān)于z軸對稱的共存吸引子。如圖9所示，藍(lán)色和紅色是一對吸引子，粉色和青色是另一對吸引子，藍(lán)色對應(yīng)初始條件，紅色對應(yīng)初始條件，粉色對應(yīng)初始條件，青色對應(yīng)初始條件。該對稱性同樣適用于該系統(tǒng)參數(shù)下的其他的混沌吸引子。

圖9 對稱的同質(zhì)吸引子的相圖

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如上，系統(tǒng)初值分別設(shè)置為(1，1，1，1)和(-1，-1，1，-1)時(shí)，分別給出狀態(tài)變量z和w在時(shí)間t=30s內(nèi)的時(shí)域波形圖如圖10所示。其中藍(lán)色對應(yīng)初始值(1，1，1，1)，紅色對應(yīng)初始值(-1，-1，1，-1)。從時(shí)域波形圖中可以看出，兩個(gè)混沌吸引子的狀態(tài)變量w分別關(guān)于x=0，y=0和w=0對稱，而狀態(tài)變量z是完全重合的。由此也可以驗(yàn)證上述結(jié)論，即初值分別設(shè)置為(x(0)，y(0)，z(0)，w(0))和(-x(0)，-y(0)，z(0)，-w(0))時(shí)，系統(tǒng)可以產(chǎn)生成對的關(guān)于z軸對稱的同質(zhì)吸引子。

圖10 對稱吸引子在t=30 s 內(nèi)的時(shí)域波形圖

5 電路仿真實(shí)現(xiàn)

在本節(jié)中，可以通過模擬電路仿真觀察所提出的混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)行為。通過使用集成運(yùn)算放大器、乘法器和其他一些元器件來構(gòu)建混沌電路，產(chǎn)生混沌吸引子。運(yùn)算放大器的電源電壓為E=±15 V，參考電壓是±15 V。所有乘法器的輸入和輸出范圍在—15～15 V。但是，狀態(tài)變量的值超出了此范圍。因此，原系統(tǒng)無量綱方程式(2)必須首先進(jìn)行尺度變化。所以將狀態(tài)變量x，y，z和w壓縮到原來的1/10，將其限制在運(yùn)算放大器和乘法器參考電壓的范圍內(nèi)。同時(shí)考慮時(shí)間比例因子 RC，經(jīng)過尺度變換和時(shí)間比例變換后系統(tǒng)式(2)的無量綱方程可以表示為

系統(tǒng)式(2)的模擬電路如圖11所示。電路方程式為

圖11 系統(tǒng)式(2)的模擬電路圖

圖12 混沌吸引子的Vx—Vz平面電路仿真結(jié)果

6 結(jié)束語

本文在一個(gè)經(jīng)典3維混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出一個(gè)新的具有超級多穩(wěn)定性的4維混沌系統(tǒng)。新系統(tǒng)具有一個(gè)線平衡點(diǎn)，可以產(chǎn)生無限多空間位置不同，但大小形狀基本相同的同質(zhì)吸引子。重點(diǎn)利用相軌圖、分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜等方法研究了系統(tǒng)初始條件對系統(tǒng)同質(zhì)吸引子的影響，結(jié)果表明該系統(tǒng)具有很大的初值變化范圍，除零點(diǎn)外恒定的Lyapunov指數(shù)譜以及離散分岔圖。不同于現(xiàn)有文獻(xiàn)中提及的混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有中心對稱的離散分岔圖，這可以用系統(tǒng)的對稱性來解釋。進(jìn)一步地，我們研究了系統(tǒng)初值對稱性與吸引子對稱性的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)可以產(chǎn)生無限多對稱的同質(zhì)吸引子。最后，利用電路仿真軟件搭建模擬電路捕捉該系統(tǒng)的混沌吸引子，其結(jié)果驗(yàn)證了數(shù)值仿真的正確性。新系統(tǒng)具有復(fù)雜的動力學(xué)特性，其在基于混沌的信息加密和保密通信領(lǐng)域有著潛在的應(yīng)用價(jià)值。