基于互質(zhì)陣列孔洞分析的稀疏陣列設(shè)計方法

劉 可 朱澤政 于 軍 馬俊達(dá)

①(哈爾濱理工大學(xué)測控技術(shù)與儀器黑龍江省高校重點實驗室 哈爾濱 150080)

②(哈爾濱理工大學(xué)自動化學(xué)院 哈爾濱 150080)

1 引言

均勻線陣是最常用的陣列配置方式，由于其簡單的陣元排布結(jié)構(gòu)和完備的參數(shù)估計方法，使其廣泛應(yīng)用在目標(biāo)方位估計、頻率估計、目標(biāo)跟蹤等陣列信號處理相關(guān)的各個領(lǐng)域[1，2]。由陣列天線基本原理可以得出：對于配置N個傳感器的均勻線陣，多重信號分類[3，4]( MUltiple SIgnal Classification，MUSIC)、旋轉(zhuǎn)不變子空間[5，6]( Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariant Technique，ESPRIT)等傳統(tǒng)算法只能估計N-1個信源角度。而且由于均勻線陣相鄰兩個傳感器的間距較近，容易產(chǎn)生耦合效應(yīng)，嚴(yán)重影響DOA(Direction Of Arrival)估計性能[7，8]。

針對上述問題，稀疏陣列設(shè)計是提升目標(biāo)分辨能力、減少相鄰陣元耦合的有效方法。近些年來，最典型的稀疏陣列設(shè)計包括最小冗余陣列[9]、嵌套陣列[10，11]和互質(zhì)陣列[12—14]。最小冗余陣列[9](Minimum Redundancy Array， MRA) 增大了相鄰陣元間距，在減少陣元耦合效應(yīng)的同時，可形成大量的虛擬傳感器。雖然MRA可提高DOA估計性能，但是并沒有給出陣列設(shè)計相關(guān)的物理表達(dá)式，使其應(yīng)用范圍受到較大限制。而嵌套陣列[10](Nested Array， NA) 的出現(xiàn)為稀疏陣列設(shè)計迎來了突破，它不僅具有與陣元間距和傳感器個數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，而且其子陣產(chǎn)生的差分共陣無延遲孔洞，使得子空間方法得以有效應(yīng)用，其不足之處在于子陣陣元間距稠密，易發(fā)生陣元互耦，導(dǎo)致角度分辨性降低?；ベ|(zhì)陣列[12](CoPrime Array， CPA)的出現(xiàn)一定程度緩解了該問題，它同樣由兩個子均勻線陣構(gòu)成，陣元間距是一對互質(zhì)整數(shù)，由于其虛擬傳感器存在大量孔洞，因此差分共陣不能高效利用。

在上述稀疏陣列基礎(chǔ)上，最近幾年出現(xiàn)了多種稀疏陣列改進(jìn)方法。文獻(xiàn)[13]提出了多級互質(zhì)陣列，它由多個均勻線陣構(gòu)成，其中每個子陣中的陣元數(shù)目和陣元間距為成對的互質(zhì)整數(shù)。相比于互質(zhì)陣列，其陣列孔洞進(jìn)一步減少，連續(xù)延遲有所增加。文獻(xiàn)[14]提出了兩種線陣結(jié)構(gòu)，分別是壓縮間距方法 (Coprime Array with Compressed Interelement Spacing， CACIS) 和移動子陣方法(Coprime Array with Displaced Subarrays，CADiS)。CACIS對互質(zhì)陣列其中一個子陣的陣元間距進(jìn)行壓縮處理，而CADiS是移動互質(zhì)陣列的一個子陣到特定位置，兩種方法都能提高陣列的連續(xù)虛擬延遲，增加陣列自由度，但是上述兩種方法的虛擬陣元仍存在大量孔洞。針對連續(xù)延遲的利用問題，已有文獻(xiàn)[15—18]給出了多種解決方案，但是由于網(wǎng)格失配和計算時間問題，現(xiàn)有方法在估計精確性和算法實時性方面仍存在較大的改進(jìn)空間。因此，綜合上述情況，如何提高連續(xù)虛擬傳感器器數(shù)量，以便于利用MUSIC方法進(jìn)行有效估計，仍然是獲得目標(biāo)DOA最直接、高效的方法。

受移動物理陣元以填充陣列孔洞思路啟發(fā)，本文通過對差分共陣的影響陣元進(jìn)行有效分析，提出了兩種基于互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)的改進(jìn)方法，增加連續(xù)延遲數(shù)量、提高DOA估計性能，其主要貢獻(xiàn)可概括為如下3個方面：

(1)分析互質(zhì)陣列的差分共陣所產(chǎn)生的虛擬延遲與特定物理陣元關(guān)系，得出互質(zhì)陣列在去掉冗余陣元后，將不改變連續(xù)虛擬陣元；

(2)對陣列結(jié)構(gòu)進(jìn)行有效優(yōu)化，移動互質(zhì)陣列的冗余陣元到特定位置，實現(xiàn)物理陣元數(shù)不變，孔洞有效減少，DOA估計能力有效提升；

(3)推得了提出的兩種陣列設(shè)計方法連續(xù)延遲和自由度相關(guān)數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2 互質(zhì)陣列模型及互耦模型

2.1 互質(zhì)陣列模型

圖1 互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)圖

2.2 互耦分析模型

由于陣列相鄰陣元間距過近，容易產(chǎn)生耦合效應(yīng)，考慮式(1)中陣列模型存在陣元互耦，則接收向量可以表示為

3 提出的稀疏陣列設(shè)計

3.1 互質(zhì)陣列延遲分析

要想滿足該不等式，只能N=2，M=3，或者N ＞2，M= 2，其與條件矛盾，所以該假設(shè)不成立，因而可得N(M-1)＞M+N-1。所以這兩個元素都大于M+N-1，并不影響陣列的連續(xù)延遲。證畢

由性質(zhì)1可知，在M和N滿足一定條件下，去掉位置0的元素，陣列中對稱一側(cè)的正延遲只減少2個，且絕對值不相等，則整個差分共陣延遲只減少4個，但是連續(xù)延遲并沒有改變，不影響連續(xù)延遲拓?fù)?。因此，利用MUSIC算法估計信源DOA，將不影響算法性能，同時可以減少設(shè)備成本和虛擬陣元冗余。上述分析啟發(fā)本文研究新型的稀疏陣列配置，通過優(yōu)化陣列結(jié)構(gòu)，改善差分共陣的延遲拓?fù)洌岣逥OA估計精度。下面引出提出的兩種陣列配置方法。

3.2 提出的陣列設(shè)計1

提出的陣列設(shè)計1如圖2所示，該設(shè)計方法將0位置元素移動到位置-M，形成了新的陣列設(shè)計方法。定義 S為提出陣列中所有陣元的位置，則S可以表示為

圖2 提出陣列設(shè)計1結(jié)構(gòu)圖

要想滿足該不等式，要求N=3，M=5，4，2或者N=4，5，M=3，2，或者N ≥6，M=2，上述情況均與條件矛盾，所以N(M-1)＞2M+N-1，即連續(xù)的虛擬延遲范圍為[-2M-N+1，2M+N-1]證畢

3.3 提出的陣列設(shè)計2

提出的陣列設(shè)計2的陣列結(jié)構(gòu)如圖3所示，該方法將0位置元素移動到位置-N，以此優(yōu)化陣列結(jié)構(gòu)。定義S 為提出陣列的陣元位置，其可以表示為

圖3 提出陣列設(shè)計2結(jié)構(gòu)圖

4 仿真實驗

本節(jié)選取互質(zhì)陣列(CPA)、提出的陣列設(shè)1(Proposed Method1， PM1)、提出的陣列設(shè)計2(Proposed Method2， PM2)和文獻(xiàn)[13]提出的方法開展DOA估計性能比較，以驗證提出方法的優(yōu)越性。為了公平比較，選用相同物理傳感器數(shù)目、相同的DOA估計算法(MUSIC)為前提條件，并給出了克拉美羅界[19](Cramér—Rao Bound， CRB)曲線作為參照，提出的陣列設(shè)計1和提出的陣列設(shè)計2的陣列參數(shù)為M=4和N=7，文獻(xiàn)[13]選擇三級互質(zhì)陣列，陣列參數(shù)m1=2，3，7。因此，上述每個陣列共有10個陣元。

4種陣列產(chǎn)生的虛擬傳感器位置如圖4所示?；ベ|(zhì)陣列產(chǎn)生的連續(xù)延遲范圍是[-10，10]。提出陣列設(shè)計1和提出陣列設(shè)計2產(chǎn)生的連續(xù)延遲分別為[-14，14]和[-17，17]，文獻(xiàn)[13]陣列產(chǎn)生的連續(xù)延遲為[-16，16]，提出的陣列設(shè)計方法連續(xù)陣元數(shù)明顯多于互質(zhì)陣列。另外，從差分共陣所形成的總延遲方面考慮，互質(zhì)陣列總延遲數(shù)為37，提出的兩種陣列設(shè)計的總延遲分別為43和49，綜上，提出的陣列設(shè)計方式在連續(xù)延遲和總延遲數(shù)量方面均優(yōu)于互質(zhì)陣列。而文獻(xiàn)[13]的連續(xù)延遲優(yōu)于提出的陣列設(shè)計1，但是對比總的延遲數(shù)量，提出的兩種陣列設(shè)計均優(yōu)于文獻(xiàn)[13]。

仿真1 4種陣列在相同信噪比下MUSIC算法的角度估計性能。

由圖4可知互質(zhì)陣列產(chǎn)生的連續(xù)延遲個數(shù)為21。提出陣列設(shè)計1和陣列設(shè)計2產(chǎn)生的連續(xù)虛擬傳感器個數(shù)分別29和35。文獻(xiàn)[13]陣列產(chǎn)生的連續(xù)虛擬傳感器為33。假設(shè)信號源數(shù)為7，信源角度均勻分布于[-30?，30?] ，信號源與噪聲互不相關(guān)，信噪比為SNR=-5 dB，快拍數(shù)為T=200，耦合參數(shù)c1=0.4ejπ/3，B=100。圖5顯示了4種方法的信源DOA估計性能。從圖中可知，提出的兩種陣列均能估計出信源方向信息，文獻(xiàn)[13]提出的陣列和互質(zhì)陣列的角度估計誤差較大、存在偽峰，導(dǎo)致角度分辨率低，無法準(zhǔn)確估計目標(biāo)信號源。由式(7)可求得互質(zhì)陣列和文獻(xiàn)[13]提出陣列的耦合泄漏量分別為L1=0.3905和L2=0.5065，而提出的兩種陣列耦合泄漏量分別為L3=0.3872和L4=0.3866。因此，文獻(xiàn)[13]提出陣列具有較強(qiáng)的耦合效應(yīng)，導(dǎo)致角度估計性能變差，而互質(zhì)陣列雖然耦合泄漏量較小，但是由于自由度較低，無法準(zhǔn)確估計信源DOA，提出陣列設(shè)計方法具有較多的連續(xù)延遲和較低的耦合效應(yīng)，由此帶來了目標(biāo)分辨性提升。

圖4 4種陣列設(shè)計產(chǎn)生的延遲拓?fù)?/p>

圖5 4種陣列MUSIC算法空間譜估計

仿真2 DOA估計均方根誤差隨信噪比的變化情況。

仿真3 DOA估計均方根誤差隨快拍數(shù)的變化情況。

本次仿真的信噪比為SNR=-5 dB，信源設(shè)置與仿真1相同，耦合參數(shù)c1=0.1ejπ/3，B=100，300次蒙特卡羅實驗取平均形成空間譜曲線，以此驗證4種陣列隨快拍的變化情況。由圖7可知，隨著快拍數(shù)的增加，4種陣列的均方根誤差都在減小，趨勢變化相近于CRB曲線，其原因可歸結(jié)于：隨著快拍的增多，協(xié)方差矩陣噪聲擾動趨于穩(wěn)定，更有利于參數(shù)估計。從圖中還可以得出，隨著快拍數(shù)的增加，提出的陣列結(jié)構(gòu)的DOA估計性能優(yōu)于互質(zhì)陣列和文獻(xiàn)[13]提出的方法，其性能提升原因為提出陣列的差分共陣具有更多的連續(xù)延遲和較低的耦合效應(yīng)。

圖6 均方根誤差隨信噪比的變化情況

圖7 均方根誤差隨快拍數(shù)的變化情況

5 結(jié)論

本文通過分析互質(zhì)陣列陣元位置對差分共陣的影響，從降低硬件成本及簡化求解過程考慮，提出了兩種基于互質(zhì)陣列的稀疏設(shè)計方法。首先，推得了互質(zhì)陣列去掉位置為0的陣元，減少了陣列總延遲，但并不改變連續(xù)延遲。然后，利用已有的互質(zhì)陣列孔位關(guān)系，移動冗余陣元到孔洞位置形成全新的稀疏陣列，以獲得更高的信源估計能力和更好的目標(biāo)分辨性。最后通過實驗仿真，驗證提出陣列設(shè)計方法相較于對比方法的優(yōu)越性。下一步，將推廣該設(shè)計方法到更加復(fù)雜的稀疏陣列結(jié)構(gòu)中。