周期為4v(幾乎)平衡理想二進制序列構(gòu)造研究

彭秀平 冀惠璞 林洪彬 劉 剛

①(燕山大學信息科學與工程學院 秦皇島 066004)

②(燕山大學電氣工程學院 秦皇島 066004)

③(河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室 秦皇島 066004)

④(通信網(wǎng)信息傳輸與分發(fā)技術(shù)重點實驗室 石家莊 050081)

1 引言

在通信、密碼、雷達和聲吶等實際應用系統(tǒng)中，為了實現(xiàn)同步、抗多徑干擾、防止載波泄漏和實現(xiàn)設備簡易性等需求，具有理想自相關(guān)特性的二進制序列在這些領域中發(fā)揮著重要作用[1，2]。如在碼分多址(Code Division Multiple Access，CDMA)通信系統(tǒng)中，需要這些序列來獲取接收信號的準確定時信息，在密碼學中，序列用于以流密碼加密生成密鑰流。通常要求所采用的序列應具有盡可能低的自相關(guān)函數(shù)旁瓣值和好的平衡性[3，4]。而目前已有的研究結(jié)果表明，最佳序列存在數(shù)目比較有限，最佳二進制序列僅存在長度為4的(1， 1， 1，—1)的情況[5，6]。為了獲得更多滿足實際需求的序列，學者在不斷尋求其他形式理想序列。按序列周期不同，理想二進制序列分為4類[4，7]，本文將對其中周期為T ≡0(mod4)的理想二進制序列的直接構(gòu)造方法進行研究。

本文在現(xiàn)有成果基礎上，將素數(shù)v分為v ≡3(mod4)和v ≡1 (mod4)兩種情況，基于2階分圓類和中國剩余定理將提出3種周期均為T=4v的理想二進制序列w的普遍構(gòu)造方法，得到的二進制序列不僅具有理想自相關(guān)特性，而且具有很好的平衡性。拓展了現(xiàn)有周期為T ≡0 (mod4)的理想二進制序列存在范圍。

2 基本概念

定義1 設周期為T的序列w=(w(0)，w(1)，...w(T-1))，其中w(t)∈{1，-1}，則稱序列w為二進制序列，設Ni(w)=|{0≤t ＜T:w(t)=i}|，當滿足式(1)所示條件時，稱序列w為平衡二進制序列

證畢

3 幾乎平衡具有理想自相關(guān)函數(shù)值二進制序列構(gòu)造

這部分將提出一種周期為T=4v具有理想自相關(guān)函數(shù)值的幾乎平衡二進制序列的普遍構(gòu)造方法。

定理1 設v=2d+1為一奇素數(shù)，其中v ≡3(mod4)，當序列w的特征集W滿足那么得到的序列w是周期為T=4v且Rw(τ ／=0)∈{0，-4}的幾乎平衡理想二進制序列。

證明 以V={(2+i，0)}為例進行證明，其他情況的證明方法類似。根據(jù)式(4)，計算得到W的差函數(shù)dW(τ1，τ2)為

4 (幾乎)平衡具有理想自相關(guān)函數(shù)幅值的二進制序列構(gòu)造

證明 以V={(i，0)，(i+1，0)}為例進行證明，證明方法與定理1類似。

其中，

表1 定理2中理想二進制序列的自相關(guān)函數(shù)值分布

5 構(gòu)造方法比較

表3列出了目前已有周期為T ≡0(mod4) 理想二進制序列的主要構(gòu)造方法，與已有成果相比，本文構(gòu)造方法的優(yōu)點主要體現(xiàn)在如下幾個方面：一是直接構(gòu)造法，本文提出的3種構(gòu)造方法都是直接構(gòu)造法，而文獻[7，10—14]采用的均是交織法，所得序列的特性受所采用基序列或移位序列影響；二是平衡性更好，當v ≡3 (mod4)時，文獻[7，10—12，14]得到的理想二進制序列都為幾乎平衡或不平衡序列，而本文定理2中獲得的理想二進制序列都為平衡序列；三是得到的序列更多，同文獻[15，16]相比，雖然采用的都是直接構(gòu)造方法，但該文定理1中構(gòu)造得到的理想二進制序列不僅包含文獻[15，16]中序列，而且還可得到一些新的具有理想自相關(guān)特性的幾乎平衡二進制序列，從而也可得到一些新的參數(shù)為(4v，2v+1，v，v-1)的幾乎差集。

表3 已知周期為T ≡0 (mod4)的具有理想自相關(guān)值/幅度的二進制序列總結(jié)

6 結(jié)束語

基于中國剩余定理和2階分圓類，本文提出3種周期為T=4v(v為奇素數(shù))理想二進制序列直接構(gòu)造方法。構(gòu)造所得序列的周期自相關(guān)函數(shù)值均滿足理論界：當v ≡3 (mod4)時，序列的周期自相關(guān)函數(shù)旁瓣值取值集合為{0，-4}或{0，4，-4}；當v ≡1(mod4)時，相應的取值集合為{0，4，-4}。本文構(gòu)造方法拓展了現(xiàn)有平衡和幾乎平衡理想二進制序列存在空間，可為工程應用提供更多性能優(yōu)良的理想序列，同時也豐富了組合設計理論。

表2 定理3中理想二進制序列的自相關(guān)函數(shù)值分布