旋轉(zhuǎn)紙牌飛行動力學(xué)建模與飛行軌跡分析

于錫澤，楊珺喆，劉昕雨，張翀

（沈陽航空航天大學(xué)，遼寧沈陽，110136）

0 引言

扔紙牌是受人們普遍喜愛的一項運(yùn)動，它操作簡單，只需將紙牌用無名指和中指及拇指夾住，再把手腕蜷縮成圈，奮力甩出，即可使紙牌按一定的飛行軌跡飛出。我們不難觀察到紙牌飛行時會出現(xiàn)兩種現(xiàn)象：總有一個時刻，紙牌的平衡狀態(tài)會被打破，最終飄向地面，并且初始角速度越大，平衡持續(xù)時間會越長；飛行中的紙牌會產(chǎn)生水平方向的偏移運(yùn)動。

我們做一組對照試驗：將一水平放置的紙牌從一定高度做自由落體運(yùn)動，記錄落地時間；將同一張紙牌水平放置到同樣高度，給予一定角速度并使其做自由落體運(yùn)動，記錄落地時間。通過對照試驗可觀察到紙牌飛行的第三種現(xiàn)象：旋轉(zhuǎn)的紙牌下落時間更長。

簡單分析以上三種現(xiàn)象的條件差異，不難發(fā)現(xiàn)紙牌飛行存在三個條件變量：初始線速度、初始角速度和初始角度。上述三種現(xiàn)象如何解釋以及三種初始條件如何決定紙牌的飛行軌跡，還有待做出進(jìn)一步研究。

1 紙牌飛行動力學(xué)分析

1.1 紙牌動力學(xué)分析

紙牌在飛行過程中至少會受到重力與空氣阻力，其中空氣阻力可分為垂直于紙牌平面的力，簡稱垂直阻力，和平行于紙牌平面的力，簡稱平行阻力。我們把這些作用力等效為一個隨時間不斷變化的力與力偶的疊加效果，記為。該作用力隨時間的積累會造成角動量L的改變，使紙牌角速度與線速度的角度差值變小，也因此會進(jìn)一步增大垂直阻力。記角速度方向與線速度的角度差值為α，k為常數(shù)，根據(jù)角動量公式：

其中M∝sinα?M=k×sinα

根據(jù)矢量變化關(guān)系及洛必達(dá)定理[1]有：

結(jié)合公式(1)(2)，并做進(jìn)一步運(yùn)算得：

由于紙牌本身具有質(zhì)量輕、易變形、面積大的特點(diǎn),紙牌在飛行中易受到氣流作用，由上述公式推導(dǎo)可知：空氣阻力大小取決于角度差值α，而且角度差值α也受到角動量大小影響，所以角動量的大小就間接的決定了空氣阻力對角動量本身的影響；角動量越大角度差值及空氣阻力就越不宜改變，進(jìn)而角動量的變化速度就小。當(dāng)角動量變化速度達(dá)到某一值時紙牌會失去穩(wěn)定特性，因此在相同條件下初始的角動量越大，紙牌穩(wěn)定狀態(tài)就越不容易打破。

1.2 紙牌進(jìn)動分析

一個陀螺逆時針旋轉(zhuǎn)，自身軸線會產(chǎn)生繞z軸的角速度，這是由于重力矩使陀螺角動量改變[2]，記陀螺對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為I，角動量為L，進(jìn)動角速度為ω進(jìn)，自轉(zhuǎn)角速度為ω自，陀螺質(zhì)心到軸底端距離為d，則有：

進(jìn)一步化簡得：

將紙牌飛行模型類比陀螺進(jìn)動模型，認(rèn)為：紙牌繞其質(zhì)心的速度方向偏轉(zhuǎn)的角速度為進(jìn)動角速度ω進(jìn)，繞垂直于紙牌面且過質(zhì)心的方向旋轉(zhuǎn)的角速度為自轉(zhuǎn)角速度ω自。當(dāng)紙牌受到平行于紙牌方向的力時，就會有紙牌進(jìn)動現(xiàn)象的發(fā)生，從而使偏轉(zhuǎn)角不斷疊加。在偏轉(zhuǎn)角度與垂直空氣阻力共同作用下，紙牌會產(chǎn)生水平方向上的偏移。

1.3 紙牌馬格努斯效應(yīng)

旋轉(zhuǎn)紙牌飛行中產(chǎn)生的馬格努斯力來自于紙牌的兩面空氣流速不同所導(dǎo)致的壓強(qiáng)差[3]，以旋轉(zhuǎn)紙牌由水平狀態(tài)自由下落為例，如圖1所示。

圖1 馬格努斯力示意圖

旋轉(zhuǎn)的紙牌在空氣中下落時，紙牌的底面對氣體進(jìn)行一次加速后，紙牌的頂面會再次對氣體進(jìn)行加速。設(shè)紙牌旋轉(zhuǎn)角速度為ω，紙牌平均半徑為R，根據(jù)伯努利方程：

紙牌下部氣體流至紙牌上部后會經(jīng)紙牌旋轉(zhuǎn)加速，且有：

紙牌兩側(cè)的壓力差產(chǎn)生一個垂直紙牌向上的馬格努斯力，記為FM，其大小為

紙牌的旋轉(zhuǎn)會給流經(jīng)的氣體產(chǎn)生兩次加速，同樣也導(dǎo)致了紙牌上方氣體流速要大于上方，根據(jù)伯努利定理流體速度增加將導(dǎo)致壓強(qiáng)減小，因此紙牌會受到一個由高壓指向低壓方向的力，即垂直紙牌向上的馬格努斯力。在該力的作用下，克服重力，使得在同樣高度下落地時間要長于非旋轉(zhuǎn)的紙牌。

2 紙牌飛行動力學(xué)建模與軌跡仿真

2.1 動力學(xué)模型建立

為了計算方便我們以水平拋擲紙牌為例分析，以拋擲處的紙牌質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以豎直向上方向為z軸方向，以初始速度方向為x軸方向，以右手準(zhǔn)則確定y軸，建立笛卡爾坐標(biāo)系，令進(jìn)動角速度為ω1，自轉(zhuǎn)角速度為ω2，初始速度為v0。如圖2所示。

圖2 動力學(xué)模型圖

對于飛行中任意時刻，紙牌所受到的作用力包括：重力G、空氣阻力Ff、馬格努斯力FM。記紙牌在某一時刻速度為v，進(jìn)動角度（繞x軸轉(zhuǎn)動角度）為θ1，速度與水平面夾角為θ2，如圖3所示。

圖3 紙牌受力分析圖

通常情況下，我們認(rèn)為空氣阻力與速度的n次方成正比，具體形式如下：

公式 （9）中C為空氣阻力系數(shù)；ρ為空氣密度；S0為物體特征面積；v為物體與空氣的相對運(yùn)動速度；n為空氣阻力指數(shù)[4-6]。紙牌表面的雷諾數(shù)Re?1，所以空氣阻力指數(shù)n取2；對于紙牌的特征面積S0，與紙牌面積S以及迎風(fēng)角（即θ2）有關(guān)，且有S0=Ss inθ2。記所有常系數(shù)的乘積為k1，則飛行中的紙牌受到的空氣阻力表達(dá)式：

記k2、k3為常數(shù)，由于飛行紙牌受到的平行阻力與自轉(zhuǎn)角速度有關(guān)，對公式（5）進(jìn)行積分可推導(dǎo)進(jìn)動角度θ1與時間t及自轉(zhuǎn)角速度ω2關(guān)系：

根據(jù)公式（7）可推導(dǎo)紙牌受到的馬格努斯力表達(dá)式：

2.2 常系數(shù)求解

給常系數(shù)設(shè)置范圍及步長，帶入推導(dǎo)公式，將計算出來的結(jié)果作為理論值。通過實驗測量實際數(shù)據(jù)，作為實際值。把理論值與實際值帶入最小二乘法公式，將其作為模式搜索法[7]的目標(biāo)函數(shù)，記為φ(k)，利用matlab軟件找到φ(k)函數(shù)取得最小值時對應(yīng)的常系數(shù)值，該值即為常系數(shù)的最優(yōu)解。以求解空氣阻力表達(dá)式中常系數(shù)為例。

為了更好求得空氣阻力式中的常系數(shù)，就要盡最大可能減少其它不確定力的存在，而沒有自轉(zhuǎn)就不會產(chǎn)生馬格努斯力，因此將水平放置的紙牌從某一高度放下，使其做非自轉(zhuǎn)的自由落體運(yùn)動。錄制并逐幀觀察紙牌的下落視頻，記錄5組落地高度與落地時間，見表1。

表1 高度與時間數(shù)據(jù)表

理論上落地高度與時間有如下關(guān)系：

其中速度可通過運(yùn)動學(xué)方程求出，常系數(shù)k1搜索范圍設(shè)為0至0.01，步長設(shè)為0.0001。利用matlab軟件進(jìn)行計算，求出的φ(k1)函數(shù)圖像如圖4所示。

圖4 目標(biāo)函數(shù)結(jié)果圖

可以得出結(jié)論：當(dāng)k1=0.0043時，目標(biāo)函數(shù)φ(k1)有最優(yōu)解。將該值代入高度與時間的理論關(guān)系，得到幾組理論落地高度，同見表1。

紙牌進(jìn)動角度與馬格努斯力表達(dá)式中常系數(shù)的求解方法與上文基本一致，但在測量數(shù)據(jù)方式上有些差異。在測進(jìn)動角度參數(shù)的實驗中，需要保持紙牌水平拋擲并且給與初始速度與角速度，記錄偏轉(zhuǎn)角度與偏轉(zhuǎn)時間，并且其二者理論關(guān)系上文已提及；在測馬格努斯力參數(shù)的實驗中，需要將紙牌水平放置并使其從某一高度旋轉(zhuǎn)、自由下落，記錄落地高度與落地時間，并且可推導(dǎo)其二者理論關(guān)系為：

用同樣的求解方法，最終求得k2=2.92；k3=7.15×10?6。

2.3 紙牌飛行軌跡求解

由牛頓定理得非線性微分方程：

vx,vy,vz,v以及進(jìn)動角度θ1,速度與水平面夾角θ2隨時間發(fā)生變化，且有以下關(guān)系：

方程（14）、（15）無法用解析法求得，只能用數(shù)值求數(shù)。利用matlab給出的ode45()函數(shù)，實現(xiàn)變步長龍格-庫塔算法[8-9]。由于該推導(dǎo)公式是由水平拋擲得出的，所以只能對初始線速度、初始角速度這兩個初始量做出討論。改變初始速度與角速度大小并輸入matlab軟件中，作為變量的初始值，分別求解理論軌跡，得到結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同初始條件紙牌飛行軌跡

其中條件1為ω0= 30rad/s,v0=7.5m/s;

條件2為ω0= 40rad/s,v0=7.5m/s;

條件3為ω0= 50rad/s,v0=7.5m/s;

條件4為ω0= 40rad/s,v0=5m/s;

條件5為ω0= 4 0rad/s,v0=10m/s。

3 實驗驗證

3.1 實驗原理

采用的實驗裝置由紙牌、紙牌發(fā)射器、傳感器、處理器以及數(shù)據(jù)顯示器五大部分組成，見圖6所示。紙牌發(fā)射器能利用皮筋的勢能轉(zhuǎn)換發(fā)射紙牌，并且可調(diào)節(jié)紙牌發(fā)射時的初始角速度以及初始速度；傳感器包括角速度傳感器及速度傳感器，能夠測量速度及角速度的大小，并可上傳至處理器；處理器則能接收傳感器信號，并與顯示器相連，將數(shù)據(jù)顯示到顯示器上。

圖6 實驗裝置圖

基于上述實驗裝置我們可以對發(fā)射紙牌的初始條件進(jìn)行調(diào)節(jié)，并且可以采取定高測距的方法測量某一初始條件下紙牌經(jīng)過的位置坐標(biāo)。將發(fā)射裝置置于某一高度并發(fā)射紙牌，測量紙牌落地點(diǎn)到發(fā)射處的水平橫縱距離，這樣即可準(zhǔn)確測量紙牌飛行軌跡的一組數(shù)據(jù)。調(diào)整發(fā)射高度并反復(fù)這一過程，可求解某一初始條件下的多組軌跡點(diǎn)數(shù)據(jù)。

3.2 理論軌跡驗證

為了驗證上文中理論軌跡的合理性并且進(jìn)一步分析初始速度與初始角速度對紙牌飛行軌跡的影響，以條件1～5為初始條件，分別測量實際軌跡點(diǎn)坐標(biāo)。將條件1、2、3測量的點(diǎn)以及理論軌跡繪制到同一幅圖片中，如圖7所示，可得到初始角速度對紙牌軌跡的影響規(guī)律：同一高度下，初始角速度大小與x軸向和y軸向位移成正比，且y軸向位移更為明顯；角速度越大紙牌落地時間越長。將條件2、4、5測量的點(diǎn)以及理論軌跡繪制到同一幅圖片中，見圖8所示，可得到初始速度對紙牌軌跡的影響規(guī)律：同一高度下，初始速度大小與x軸向位移成正比且較為明顯，而與y軸向位移無關(guān)。并且行經(jīng)點(diǎn)與理論軌跡有較高的重合度，證明了紙牌飛行軌跡公式的合理性。

圖7 以角速度為變量軌跡圖

圖8 以速度為變量軌跡圖

4 結(jié)語

結(jié)合空氣動力學(xué)以及流體力學(xué)等知識對紙牌飛行問題進(jìn)行研究，既能夠提高學(xué)生對物理學(xué)的興趣，也能增強(qiáng)他們對問題的分析、解決的能力。本文通過對紙牌進(jìn)行力的分析以及與陀螺進(jìn)動現(xiàn)象的類比，對旋轉(zhuǎn)紙牌飛行的三種奇妙現(xiàn)象做出了解釋，并推導(dǎo)出了含有參數(shù)和系數(shù)的力的表達(dá)式，又通過實驗得到的數(shù)據(jù)將系數(shù)求解出來，給定初始條件，借用matlab軟件對軌跡坐標(biāo)進(jìn)行求解。最后通過實驗驗證了本文軌跡推導(dǎo)的合理性，并且也得到了初始速度與初始角速度對飛行軌跡的影響規(guī)律。但是本文關(guān)于軌跡的研究是建立在水平拋擲的條件上，因此對影響軌跡的因素的研究還有待進(jìn)一步完善，建議結(jié)合Tracker軟件進(jìn)行討論。