圓柱齒輪多齒高重合度嚙合齒輪參數(shù)優(yōu)化研究

余松林，劉海初，潘江如，黃 勇

（新疆工程學(xué)院工程訓(xùn)練中心，新疆 烏魯木齊 830011）

1 引言

機械采棉已經(jīng)推廣到在我國大部分棉花生產(chǎn)基地，多工位傳動鏈?zhǔn)遣擅迿C摘錠多工位專用制造裝備的重要組成部分。圖1所示中間小齒輪與兩側(cè)大齒輪多齒耦合是多工位傳動鏈設(shè)計的關(guān)鍵。文獻［1］在研究中發(fā)現(xiàn)由于多齒輪嚙合的影響，系統(tǒng)會在非固有頻率區(qū)出現(xiàn)振動的峰值，在傳動設(shè)計中需要考慮多齒輪嚙合對系統(tǒng)性能的影響。多齒嚙合對系統(tǒng)的影響主要受齒輪相位關(guān)系的影響，行星齒輪傳動就是典型的多齒嚙合。文獻［2］早在1967年都提出行星齒輪的相位與傳動噪聲有關(guān)。文獻［3］提出了嚙合相位關(guān)系由位置角和齒輪齒數(shù)確定。文獻［4］提出了重合度直接反應(yīng)齒輪工作中同時嚙合齒數(shù)的多少，是齒輪副連續(xù)平穩(wěn)工作的重要條件。文獻［5］提出來高重合度外嚙合齒輪齒根彎曲應(yīng)力計算方法進行了深入研究。文獻［6］提出了基于遺傳算法的高重合度圓柱齒輪傳動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計思想。文獻［7］提出了瞬時重合度的概念。

圖1 多齒輪嚙合示意圖Fig.1 More Gear Mesh Diagram

這里在諸多學(xué)者研究的基礎(chǔ)之上，通過對齒輪嚙合區(qū)域瞬時重合度的分析，推導(dǎo)出主動輪旋轉(zhuǎn)一個周期，瞬時重合度的變化頻率ω與Z、N1、N2之間的數(shù)學(xué)關(guān)系（Z為主動輪齒數(shù)，當(dāng)重合度ε為小數(shù)時，ε介于兩個正整數(shù)N1和N2之間），得出主動輪圓周均布n個從動輪的基本條件是ω/n為正整數(shù)，并求得從動輪之間相位角相差2π/n是滿足n對齒嚙合力相等的基本條件。建立高重合度齒輪多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，以理想點法為多目標(biāo)優(yōu)化理論，采用MATLAB遺傳算法直接搜索工具求解齒輪參數(shù)最優(yōu)解，通過Adams仿真驗證在相同邊界條件下參數(shù)優(yōu)化后的齒輪嚙合力幅值更小，嚙合力變化更平穩(wěn)。

2 基于瞬時重合度的多齒嚙合力分析

齒輪嚙合的重合度不僅影響齒輪傳動的效率［8］，而且影響齒輪的平穩(wěn)性、可靠性和使用壽命，因此重合度是影響齒輪傳動性能的關(guān)鍵要素之一。

2.1 嚙合區(qū)域瞬時重合度分析

重合度是指齒輪嚙合線與基圓齒距的比值，反映的是工作齒輪嚙合輪齒對數(shù)的平均值。但是在實際傳動過程中，不可能為小數(shù)，齒輪嚙合的齒數(shù)會出現(xiàn)規(guī)律性變化，如圖2所示的齒輪嚙合重合度為1.688，實際嚙合線兩側(cè)0.668Pb（Pb為基圓齒距）為雙齒嚙合區(qū)域，中間的0.332Pb為單齒輪嚙合區(qū)域，因此齒輪的實際重合度（瞬時重合度）是非連續(xù)和交替變化的［9］。

圖2 因重合度變化嚙合剛度變化示意圖Fig.2 Because of Coincidence Degree Meshing Stiffness Changes

齒輪嚙合區(qū)域示意圖，如圖3所示。令齒輪的重合度ε介于兩個正整數(shù)N1與N2之間（N2=N1+1），Pb為基圓齒距，B1B2為齒輪嚙合線。在實際傳動過程中瞬時重合度只可能為N1或N2。結(jié)合齒輪嚙合區(qū)域示意圖經(jīng)分析可知B1C1和C2B2區(qū)間瞬時重合度為N2，C1C2區(qū)間瞬時重合度為N1。

圖3 圓柱齒輪嚙合區(qū)域示意圖Fig.3 Cylindrical Gear Meshing Area Map

由重合度的定義可知：

式中：B1B2—齒輪嚙合線長；Pb—基圓齒距；ε—重合度。

由（1）可知：

式中：B1C1和C2B2—重合度為N2嚙合區(qū)域；ε—介于兩個正整數(shù)N1和N2的重合度（N1＜ε＜N2）則：

式中：C1C2—重合度為N1的嚙合區(qū)域

式中：m—模數(shù)；ɑ—壓力角。

由式（1）～式（4）可知B1C1，C1C2與齒輪壓力角ɑ和模數(shù)m間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

2.2 多齒嚙合力分析

多齒嚙合時，如果瞬時重合度不等，則會出現(xiàn)齒輪傳動偏載，傳動失去平衡，增大傳動噪聲，使系統(tǒng)的振動峰值出現(xiàn)在非固有頻率區(qū)［11］。1個主動輪同時與2個相同從動輪均載嚙合傳動平穩(wěn)后，瞬時重合度不等時嚙合力變化情況，在同一時刻兩對齒嚙合瞬時重合度不等則接觸應(yīng)力不等。因此多齒嚙合瞬時重合度相等及其重要，尤其是多齒均載荷的工況，會減少輪齒傳動過程中的沖擊，延長齒輪的壽命。

圖4 瞬時重合度不等嚙合力變化規(guī)律示意圖（ε=1.79）Fig.4 The instantaneous Contact Ratio of Different Contact Force Change Rule

齒輪在嚙合過程中瞬時重合度是非連續(xù)性規(guī)律變化，當(dāng)一對齒輪進入嚙合狀態(tài)時，N2對齒進入B1C1嚙合區(qū)域，隨著時間的推移，將會有1對齒脫離嚙合，出現(xiàn)N1對齒嚙合進入C1C2嚙合區(qū)域。當(dāng)進入C2B2嚙合區(qū)域時，又將會有N2對齒工作，如此往復(fù)循環(huán)。瞬時重合度變化規(guī)律，如圖5所示。

圖5 瞬時重合度變化規(guī)律示意圖Fig.5 The Instantaneous Contact Ratio Change Rule

由圖5可知，瞬時重合度變化一個周期，嚙合線的長度為N1Pb。由于主動輪旋轉(zhuǎn)一周嚙合線總長度為Z*Pb，則輪齒瞬時重合度的變化頻率為：

式中：ω—輪齒瞬時重合度的變化頻率；Z—主動輪齒數(shù)。

為了保證多對齒輪嚙合的重合度時刻相等，則多個從動輪必須以相同的步調(diào)與主動輪嚙合。如主動輪圓周均布n個從動輪，必須滿足ω/n為正整數(shù)，則從動輪之間相位角相差2π/n。滿足以上條件的兩對齒嚙合平穩(wěn)后的嚙合力變化規(guī)律示意圖，如圖6所示。

圖6 瞬時重合度相同嚙合力變化規(guī)律示意圖（ε=1.8441）Fig.6 The Instantaneous Contact Ratio is the Same Contact Force Change Rule

由上圖可知，在同一時刻嚙合力大小基本相等，但由于重合度不高（ε=1.8441），傳動中會有單齒嚙合，導(dǎo)致嚙合力會出現(xiàn)線性變化，在單齒嚙合和雙齒嚙合交替時會有一定的沖擊，因此提高重合度是保證傳動平穩(wěn)的有效途徑。

3 齒輪多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)建模

齒輪重合度是決定齒輪傳動連續(xù)性和平穩(wěn)性重要因素。由1.1和1.2的分析可知，齒輪的模數(shù)m和壓力角ɑ對瞬時重合度和重合度都有直接的影響。在多對齒輪嚙合的齒輪參數(shù)設(shè)計中，不只是要滿足常規(guī)齒輪設(shè)計的膠合度，傳動比，接觸強度以及彎曲強度等限制還要對齒輪齒數(shù)以及重合度等加以控制，采用多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計是滿足這種設(shè)計要求最快速有效的辦法之一。

3.1 目標(biāo)函數(shù)確定

3.1.1 高重合度

令第一目標(biāo)函數(shù)為：

式中：ɑɑ1—齒輪1的齒頂圓的壓力角；

ɑɑ2—齒輪2的齒頂圓的壓力角；

ɑ′—嚙合角；

Z1，Z2—主動輪和從動輪齒數(shù)；

ε—重合度。

其中，

3.1.2 等彎曲強度

齒輪安全系數(shù)是齒輪可靠性的重要指標(biāo)，在齒輪設(shè)計中確保嚙合齒輪壽命接近，縮小嚙合齒輪安全系數(shù)差，這里令嚙合齒輪安全系數(shù)差最小為第二目標(biāo)函數(shù)。

式中：SF1，SF2，，σFE1，σFE2，b1，b2，m，Z1，Z2，K1，K2，T1，T2，YFɑ1，YFɑ1，YSɑ1，YSɑ2—嚙合齒輪主從動輪彎曲強度安全系數(shù)，彎曲疲勞極限，齒寬，模數(shù)，齒數(shù)，載荷系數(shù)，扭矩，齒形系數(shù)，應(yīng)力修正系數(shù)。

3.2 施加約束條件

（1）接觸強度約束

式中：SH1，SH2，SHmin，σHlim，b1，b2，d1，d2，ZE，K1，K2，T1，T2，u—嚙合齒輪主從動輪接觸強度安全系數(shù)，最小接觸安全系數(shù)，接觸疲勞強度極限，齒寬，分度圓直徑，彈性系數(shù)，載荷系數(shù)，轉(zhuǎn)矩，齒數(shù)比。

（2）彎曲強度限制

式中：SFmin—最小彎曲安全系數(shù)。

（2）重合度約束

ε≥2，若ε＞或=2，可以確保齒輪傳動過程中至少兩對齒嚙合，提高輪齒的承載能力和傳動平穩(wěn)度。

（4）膠合強度限制

由于膠合是高重合度齒輪傳動的主要失效形式之一，當(dāng)重合度1≤ε≤3.5就要考慮膠合強度，尤其是高重合度（ε≥2），因此有必要對膠合強度加以約束。

式中：SB—齒輪膠合強度安全系數(shù)；

SBmin—最小膠合強度安全系數(shù)。

（5）傳動比限制

式中：Z1，Z2—傳動齒輪的齒數(shù)，且為正整數(shù)。

（6）齒數(shù)約束

（7）壓力角約束

壓力角是齒輪的重要參數(shù)之一，隨著壓力角的針大，齒輪的抗彎曲強度，抗膠合強度以及接觸應(yīng)力等都會逐漸增強，但壓力角過大則影響齒輪嚙合的重合度。國內(nèi)常見齒輪壓力角為20°，但是不少學(xué)者的針對壓力角的研究范圍選擇是（15～25）°。

3.3 變量選擇

由確定的目標(biāo)函數(shù)可知，影響目標(biāo)函數(shù)的變量因子有嚙合齒輪的齒數(shù)Z1，Z2，齒輪模數(shù)m，齒寬b1，b2和壓力角ɑ。

令優(yōu)化設(shè)計變量X=（X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7）=（Z1，Z2，m，b1，b2，ɑ）

4 齒輪參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化

4.1 優(yōu)化理論

針對多目標(biāo)優(yōu)化問題通常都是將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，通過采用加權(quán)系數(shù)法找到最優(yōu)解。但加權(quán)系數(shù)法是人為的根據(jù)實際情況對多個目標(biāo)函數(shù)設(shè)置權(quán)重，具有一定主觀性。理想點法可以彌補加權(quán)系數(shù)法的不足，所謂理想點法就是先求解p個單目標(biāo)的最優(yōu)解：

然后求評價函數(shù)Ф（z）的極小值minФ［f（x）］。

函數(shù)minФ［f（x）］的解就是所求的近似最優(yōu)解。

4.2 優(yōu)化求解

從齒輪優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以知道，該數(shù)學(xué)模型包含2個目標(biāo)函數(shù)和10個約束條件，約束條件中既有邊界約束也有非線性約束。這種多變量多目標(biāo)優(yōu)化的本身特點很適合采用MATLAB遺傳算法和MATLAB直接搜索工具來處理。但MATLAB遺傳算法通常的計算結(jié)果是最優(yōu)解集，而MATLAB直接搜索工具可以說是MATLAB遺傳算法其他優(yōu)化方法的補充，它可以在邊界的條件，線性不等式，線性等式以及非線性約束中進一步找到最優(yōu)解。因此選用MATLAB直接搜索工具優(yōu)化更為合理［10］。

經(jīng)計算和查閱手冊可得以下參數(shù)，如表1所示。

表1 計算和查閱手冊參數(shù)Tab.1 Calculate and Consult Manual Parameters

根據(jù)以上參數(shù)求解minf1，minf2可得：目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解minf1=0.00322263，minf2=-2.06923且自變量X1=（17，300，1，29，25，17），X2=（50，300，2，30，30，17）。

將以上單目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解代入評價函數(shù)Ф（z）的極小值minФ［f（x）］可得：

經(jīng)計算可得minФ［f（x）］最優(yōu)解0.00325，且對應(yīng)自量值X=（50，300，1，29，25，17）。

根據(jù)以上分析可知，滿足使用要求的齒輪參數(shù)最優(yōu)解為：

圖7 minФ[f（x）]迭代最優(yōu)值及最終解對應(yīng)變量值Fig.7 minФ[f（x）]Iterative Optimal Value and Final Solution to the Strain Value

根據(jù)以上分析可知，滿足使用要求的齒輪參數(shù)最優(yōu)解為：

X=（Z1，Z2，m，b1，b2，ɑ）=（50，300，1，29，25，17）。經(jīng)優(yōu)化得到的參數(shù)主動輪圓周均布n個從動輪，ω/n應(yīng)為正整數(shù)，從動輪之間相位角相差2π/n這一基本條件。將參數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)minf2可得重合度ε=2.0692。

4.3 仿真驗證

對三組不同參數(shù)齒輪分別按照X1=（Z1，Z2，m，b1，b2，ɑ）=（43，300，2.5，25，25，20），X2=（Z1，Z2，m，b1，b2，ɑ）=（50，300，2.5，25，25，20），X3=（Z1，Z2，m，b1，b2，ɑ）=（50，300，1，29，25，17）進行三維建模導(dǎo)入ADAMS仿真。首先對齒輪定義轉(zhuǎn)動副，并通過STEP運動函數(shù)定義中間小齒輪旋轉(zhuǎn)驅(qū)動，再對兩側(cè)大齒輪施加作用力矩并創(chuàng)建中間小齒輪與兩側(cè)大齒輪接觸，再通過建立測量函數(shù)測量仿真過程中齒輪對接觸力的大小和變化，最后進行如圖8所示仿真求解，為了計算的更精準(zhǔn)定義仿真終止時間為1s，仿真步數(shù)為50000步。

圖8 仿真求解Fig.8 Simulation Solution

三組齒輪仿真邊界條件設(shè)置一致，經(jīng)求解發(fā)現(xiàn)接觸力都有從大到小逐且漸趨向平穩(wěn)的特征，但由于三組齒輪對基本參數(shù)選擇不同，傳動平穩(wěn)后嚙合力具有變化特點，如圖9所示。

圖9 齒輪嚙合力變化規(guī)律對比Fig.9 Contrast of Variation Law of Gear Meshing Force

由以上可知，X1組齒輪參數(shù)不能滿足兩對齒輪瞬時重合度相等，所以在同一時刻兩對齒嚙合接觸應(yīng)力不等，且出現(xiàn)較大峰值；X2組齒輪參數(shù)能滿足兩對齒輪瞬時重合度相等，在同一時刻嚙合力大小基本相等，但由于重合度不高（ε=1.8441），導(dǎo)致接觸力出現(xiàn)線性變化；X3組齒輪參數(shù)能滿足兩對齒輪瞬時重合度相等且重合度較高（ε=2.0692），兩對齒輪齒嚙合步調(diào)一致，嚙合力大小相等，接觸力呈現(xiàn)非線性變化，傳動更平穩(wěn)。

5 結(jié)論

對采棉機摘錠雙主軸分散式多工位一體機多工位傳動鏈多齒嚙合齒輪參數(shù)優(yōu)化研究，基于齒輪嚙合區(qū)域瞬時重合度的分析齒輪對嚙合力變化情況，通過理想點法對齒輪參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化和ADAMS仿真驗證得到如下結(jié)論：

（1）推導(dǎo)出滿足主動圓周均布n個從動輪，齒輪對嚙合力相等的基本條件：ω/n為正整數(shù)，則從動輪之間相位角相差2π/n（ω=Z/N1，ω為瞬時重合度變化頻率，N1≤ε≤N2，N2=N1+1，N1，N2均為正整數(shù)）；

（2）完成了圓柱齒輪參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)建模，以理想點法為基本理論，提出圓柱齒輪多齒外嚙合多目標(biāo)多約束的齒輪設(shè)計方法；

（3）以MATLAB遺傳算法直接搜索工具為對高重合度多目標(biāo)多變量齒輪參數(shù)優(yōu)化，將參數(shù)代入ADAMS仿真驗證，多齒嚙合力大小相等，嚙合力變化平穩(wěn)，能滿足采棉機摘錠雙主軸分散式多工位一體機多工位傳動鏈的使用要求。