初三數(shù)學復習最值問題的幾點教學策略與建議

張海萍

近年來，最值問題是初中數(shù)學中考的一個熱點問題，這類試題往往會以填空、選擇、解答壓軸題的形式頻繁出現(xiàn)。其涉及到的知識面廣，運用的綜合性強，集多個知識點于一體，而且問題情境層出不窮、新穎別致，全方位地考查了學生的基礎(chǔ)知識、基本技能、解題技巧，以及數(shù)學的思維與素養(yǎng)能力。正因如此，對學生來說是一個難點，但是老師們在復習時若能注重教學思路＼復習策略的研究，以專題形式逐步向?qū)W生介紹這類問題的幾種基本原理，同時注重培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化問題的能力，幫助學生多去總結(jié)、練習這類問題解決的思想與方法，當學生形成“化折為直”的意識時，相信這類問題定能迎刃而解！

初中平面幾何具有非常清晰的直觀性，它的一些基本原理、圖形性質(zhì)學生們是熟練知曉的，也是易于掌握的，因此復習時我們可以從利用幾何圖形的性質(zhì)解決這類問題出發(fā)，從平面幾何的基本元素點與線入手，結(jié)合典型呈現(xiàn)模式“平面直角坐標系”，層層鋪設(shè)、由淺入深地向?qū)W生介紹處理此類問題的基本思路與方法。下面本人結(jié)合教材、結(jié)合具體實例，以點的發(fā)展為思路，談一談初中數(shù)學復習最值問題的一些教學策略與建議。

一、點與點

幾何定理：兩點之間線段最短，及其延伸

七上教科書：如圖，A、B是河l兩側(cè)的兩個村莊。

現(xiàn)要在河l上修建一個抽水站C，使它到A、B兩村莊的距離之和最小。請在圖中畫出點C的位置，并說明理由。

解題分析：兩點之間線段最短，因此只有當點C在線段AB上時，它到A、B兩村莊的距離之和才最小，因此點C的位置為直線l與線段AB的交點。

教學建議：本題是初中階段最值問題的起點，學生們?nèi)巳硕寄芾斫猓瑥拇巳胧挚梢栽鎏韺W生研究問題的信心，教學時還可以給出具體的數(shù)據(jù)或放入平面直角坐標系中結(jié)合A、B兩點坐標，再來解決問題。

定理延伸：矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點B的坐標為（3，4），點D是OA的中點，點E在AB上，當△CDE的周長最小時，點E的坐標為（ ）

解題分析：△CDE的周長=CD+DE+CE，其中CD邊為定長，因此△CDE的周長最小時即可轉(zhuǎn)化為DE+CE為最小值時，而C、D為固定點，點E在固定直線AB上，那么這個問題類似于上述問題，唯一的區(qū)別是兩固定點是位于已知直線的同側(cè)、還異側(cè)。同側(cè)則直接運用定理，異側(cè)需要運用對稱點轉(zhuǎn)化一下再運用定理。所以本題可以過點C作AB的對稱點F（或作D點關(guān)于直線AB的對稱點），連接DF交AB于點E，從而將DE+CE轉(zhuǎn)化為DE+EF的值，很明顯當點E在直線DF上時取得最小值。因此E點的坐標為直線DF與直線AB的交點，當然用相似的知識也可解決。

教學建議：本題首先需要利用三角形周長的定義才能將問題轉(zhuǎn)化為直線AB與位于其同側(cè)的兩點C、D的問題，揭開這層面紗之后學生的心理會小有竊喜，但是能正確解得點E的坐標還是需要一定的解題經(jīng)驗與能力的。因此復習時老師們同時需要注重培養(yǎng)落實學生解析能力。

二、點與線

線是由若干個點所組成的，當這些點共線時，就形成了點與直線的問題;當這些點不共線時，就形成了點與曲線的問題。因此對于點與直線中的最值問題，教學時建議可分為兩部分內(nèi)容：1是點與直線;2是點與曲線，初中階段最值問題中的曲線重點研究了圓，以下均稱為點與圓。

1.點與直線的問題

幾何定理：直線外一點到直線上各點的連線段中垂線段最短。

舉例：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB：

y=x+1與坐標軸分別交于A、B兩點，點C（3，0）。

點P為直線AB上的一動點，則PC長的最小值為 。

解題分析：本題在平面直角坐標系中求點C與直線AB之間的線段長問題。

解題策略：過點C作直線AB 的垂線段CH，再利用相似三角形或銳角三角函數(shù)，亦或一次函數(shù)的一些基本知識即可迅速解決。

教學建議：本題答案很簡單，學生易懂、易解決，但教學時要注重引導學生研究對象的角色轉(zhuǎn)換，同時滲透多重角度解決問題的思想與方法，培養(yǎng)學生靈活、有效解決問題的能力，為后期綜合題打下良好的思維習慣。

2.點與曲線（圓）的問題

由于一個圓將一個平面分為圓內(nèi)、圓上、圓外三個部分，而圓上就是若干點所組成的曲線，因此此類最值問題的探究可分為兩類：（1）圓外一點與圓;（2）圓內(nèi)一點與圓。

（1）圓外一點與圓

幾何定理：圓外一點與圓上各點的連線中，經(jīng)過圓心的連線分別為最長與最短的。

變式1：在上述問題中，以點C（3，0）圓心、1為半徑作⊙C，點Q為⊙C上的一動點。求BQ的最小值為 。

解題分析：本題是在上述問題中再作⊙C，針對直線上的點B引入直線外一點與圓的問題，學生只要能夠思維轉(zhuǎn)換意識到直線上的點B同時也是⊙C外一點B，問題就變得迎刃而解了。

解題策略：連接BC，交⊙C于點Q，則此時BQ的長就是點B與⊙C上各點的連線中最短的連線段，再將BQ的長度轉(zhuǎn)化為BC-CQ（其中CQ為⊙C的半徑1）來求即可。

教學建議：舉例中的問題對于學生來講解答上是不存在任何障礙的，而變式1中的問題涉及到研究對象角色思維轉(zhuǎn)換的障礙，因此教學時要注重結(jié)合具體實例培養(yǎng)學生從多重角度理解問題的轉(zhuǎn)換能力，為問題的進一步拓展、延伸打好伏筆。

變式2：在上述問題中，PQ的最小值為 。

解題分析：本題是上述例題與變式1問題的綜合，首先從圓外一點P與圓上一點Q的最值問題中發(fā)現(xiàn)PQ的最小值是在PC的連線與⊙C相交時的點Q處產(chǎn)生，即PQ=PC-CQ（其中CQ為⊙C的半徑1），從而將PQ的最小值問題轉(zhuǎn)化為求PC的最小值問題;

再次轉(zhuǎn)化成直線外一點C與直線AB上各點的連線段中垂線段最短，便可將問題轉(zhuǎn)化為例題中的基本問題來解決。

教學建議：本題的難度小有增強，體現(xiàn)在思維轉(zhuǎn)換能力上，需要學生具有靈活的轉(zhuǎn)換思想與基本的轉(zhuǎn)化能力，初次接觸時學生會思維反映緩慢，因此教學時需適當設(shè)置類似問題強化訓練，學生們便能迅速具備這方面的能力，為后期靈活的轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)打下良好的基礎(chǔ)。

變式3：在上述問題中，從點P處引⊙C的一條切線，切點為E，則切線長PE的最小值為 。

解題分析：PE為⊙C的切線，因此PE⊥CE，

從而，求PE的最小值

轉(zhuǎn)化為求PC的最小值即解決例題中的基本問題。

教學建議：本題是從另一個角度：切線的性質(zhì)定理將問題轉(zhuǎn)化成圓中的基本最值問題來處理，轉(zhuǎn)化思想一致，只是轉(zhuǎn)化的途徑略有區(qū)別。教學時適當注重引導與訓練，學生們處理此類問題便會得心應(yīng)手，同時引導學生總結(jié)心得：轉(zhuǎn)化問題的方式是因問題背景的變化而變化的，在多練習的同時更要注重多思考、多總結(jié)自己的解題心得，不能一味機械地刷題。

教學策略：圓中最值問題是最值問題中的難度提升點，大多數(shù)學生會在圓這章的幾何學習中首先就產(chǎn)生了心理障礙，其次與代數(shù)中的重點內(nèi)容函數(shù)中的平面直角坐標系相結(jié)合，這樣的一個問題背景下學生們大多數(shù)會因為心理障礙而放棄了問題的研究。因此教學時我們可以從簡單、易懂的問題入手，采用以上類似的變式方式，設(shè)置基礎(chǔ)性的問題，鋪設(shè)階梯淡化問題難度，逐步將問題深化，逐步培養(yǎng)數(shù)學轉(zhuǎn)換思想與轉(zhuǎn)化能力，可以有效地幫助學生克服心理障礙，增強學生研究、解決此類問題的信心與決心。

（2）圓內(nèi)一點與圓

幾何定理：過圓內(nèi)一點的弦中，最長的弦是直徑，最短的弦是與過該點直徑垂直的弦。

舉例1：（如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的⊙O過點A（13，0），直線y=kx-3k+4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC長的最小值為 。

解題分析：首先通過觀察直線解析式的特征，發(fā)現(xiàn)該直線必定經(jīng)過圓內(nèi)一點D（3，4），進而發(fā)現(xiàn)過點D且垂直于OD的弦為所求的最短的弦，從而BC=2BD=2，其中BO為半徑13、OD利用平面直角坐標系中的兩點間的距離公式來求。

教學建議：本題發(fā)現(xiàn)弦BC所在直線必定經(jīng)過點D是一個障礙，揭開這層面紗之后，問題就會變得很清晰、很簡單。因此在平時教學中，要注重引導學生多去練習、總結(jié)解題心得。

教學策略：中考題中最值問題往往背景形式比較復雜多變，因此轉(zhuǎn)換思想與轉(zhuǎn)化能力尤其重要，只有當學生潛意識里形成這種觀念時問題往往就會事半功倍了。

當然利用幾何圖形的性質(zhì)解決最值問題只是中考考查內(nèi)容中的一部分，還存在著與二次函數(shù)相結(jié)合的典型最值問題，尤其是在自變量的取值范圍內(nèi)的最值問題，以及難度較大的動點生成軌跡問題中的最值問題……這里本人就不逐一闡述了。

最值問題由于涉及的內(nèi)容繁多、形式多樣、綜合性又很強，因而成為中考試題中的一朵“奇葩”！希望本人以上對此類問題的分析、研究所建議的復習策略能有所幫到大家。當然問題的形式不是一概而論的，問題的解決也不是一蹴而就的，本人上述若有不足之處敬請各位同仁批評指正。