逆混合變分不等式的弱尖銳性

黃 輝，頓欣欣

(云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昆明 650091)

廣義逆混合變分不等式(GIMVI)敘述如下：

設(shè)X是實(shí)Banach 空間，? 是X中的非空閉凸集，φ:X→X?是映射，f:X?→R 是函數(shù).尋找x?∈?，使得

弱尖銳性在數(shù)學(xué)規(guī)劃的靈敏度分析和算法的收斂分析有著非常重要的應(yīng)用.Chen 等[1]研究了逆變分不等式的Tikhonov 正則化方法.Al-homidan 等[2]利用Ekeland 變分原理的均衡形式給出了弱尖銳性的特征.Nguyen 等[3]推廣了最優(yōu)化問題的弱尖銳值概念和變分不等式問題的弱尖銳解概念，并給出了弱尖銳性存在的充分條件.Marcotte 等[4]介紹了變分不等式的弱尖銳性，引入了仿單調(diào)的概念，證明了解集具有弱尖銳性當(dāng)且僅當(dāng)變分不等式對偶間隙泛函有誤差界；在函數(shù)連續(xù)且仿單調(diào)的假設(shè)下，給出了對偶間隙函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì).文獻(xiàn)[5]研究了Hilbert 空間中變分不等式的弱尖銳性，得到了幾個(gè)等價(jià)條件.Hu 等在文獻(xiàn)[6]中，提出了自反、嚴(yán)格凸且光滑的Banach 空間中，變分不等式問題的解具有弱尖銳性的概念，給出了幾個(gè)等價(jià)條件，同時(shí)還證明了在一定的條件下，可以通過求解有限個(gè)具有線性目標(biāo)的凸優(yōu)化子問題來獲得變分不等式問題的解.Wu[7]研究了具有偽單調(diào)映射的變分不等式，在不使用間隙函數(shù)的情況下刻畫了解集的弱尖銳性.文獻(xiàn)[8]利用原間隙函數(shù)研究了變分不等式解集的弱尖銳性，并且給出了求解變分不等式問題的算法的有限收斂性.文獻(xiàn)[9]研究了Banach 空間中混合變分不等式原間隙函數(shù)與弱尖銳性的關(guān)系，同時(shí)給出了弱尖銳性存在的充分和必要條件.文獻(xiàn)[10]考慮了與弱尖銳性密切相關(guān)的集值映射的度量次正則性.

本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上研究了Banach 空間中廣義逆混合變分不等式(GIMVI)解的存在性.在 φ 是線性連續(xù)映射且在 ? 上單調(diào)、f連續(xù)且是凸函數(shù)的條件下，從高階弱尖銳性得到了原間隙函數(shù)的高階誤差界，并給出了解集具有1 階弱尖銳性的2 個(gè)充分條件和必要條件.與文獻(xiàn)[9]相比，有2 方面的不同：一 是考慮的模型不同，文獻(xiàn)[9]考慮的是混合變分不等式；二是文獻(xiàn)[9]只考慮了1 階弱尖銳性.

1 預(yù)備知識(shí)

我們使用如下假設(shè)：設(shè)X和Y都是實(shí)Banach 空間，X*是X的拓?fù)鋵ε伎臻g，? ?X是非空子集，用cl(?)，c o(?)，b dry(?)分別表示閉包、凸包和邊界，分別是X和X?中的閉單位球，SX? 是X?的單位球面.

定義 1[11]設(shè)g:X→R∪{+∞}.如果定義域

2 主要結(jié)果

考慮(GIMVI)的弱尖銳性時(shí)，需要假定(GIMVI)的解集非空.下面給出(GIMVI)存在解的1 個(gè)充分條件.

定理 1在(GIMVI)中，設(shè) ? 是弱緊凸集，φ 是弱連續(xù)映射，f是連續(xù)映射，fφ 是凸函數(shù)，且對每一個(gè)z∈?，〈φ(·),z〉 是凸函數(shù)，則(GIMVI)至少存在一個(gè)解.

證明 定義集值映射G:? →2X為

顯然y∈G(y),因此G(y)不是空集.又因?yàn)?φ 是弱連續(xù)映射，f是連續(xù)映射，所以G(y)是弱閉集.

下面我們利用反證法證明G是KKM 映射.假設(shè)存在有限集 {z1,z2,···,zk}?? 和z∈co{z1,z2,···,zk} 使得z?G(zi)(i=1,2,···,k)，則

推論1 在(GIMVI)中，設(shè)G是緊凸集，φ 是連續(xù)線性映射，f是連續(xù)凸函數(shù).則(GIMVI)至少存在一個(gè)解.

3 總結(jié)

本文研究Banach 空間中逆混合不等式的弱尖銳性，基于對偶理論，得到了弱尖銳性存在的2 個(gè)充分和必要條件.下一步擬研究向量變分不等式的弱尖銳性.