高中數(shù)學(xué)課堂中突破學(xué)生思維障礙的案例研究

黃海明

《新課程標準》指出：“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！笔紫龋瑪?shù)學(xué)思維的要求就是體驗觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，培養(yǎng)合情推理能力和初階的演繹能力，會有系統(tǒng)地、清晰地說明自己的見解。其次，教和學(xué)是有機統(tǒng)一的教學(xué)過程。然而，在實際的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中，高中生經(jīng)常會遇到各種思維障礙。由于教師的指導(dǎo)不到位、使用方法不恰當，對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)形成了消極影響。因此，教師在教學(xué)過程中可否協(xié)助學(xué)生掃清思維障礙，對于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì)尤為重要。

一、案例分析——課堂思維障礙的成因

（一）以教師思維代替學(xué)生思維而忘卻學(xué)生思考的存在

案例1——不等式習(xí)題課的講解片段。在不等式的習(xí)題課上，教師出了這樣一道題目：已知，求的取值范圍。

首先，讓學(xué)生獨立完成解題過程，然后進行師生互動過程，讓學(xué)生將解題過程書寫在黑板上，結(jié)果有學(xué)生先分別求出，的范圍，再求出的范圍。教師隨即指出這是個典型的錯誤，不能把，的范圍單列開來，必須整體考慮。

于是，教師給出其解法過程：

設(shè)，

所以，（1），（2），

由（1）+（2）得。

此時，有一學(xué)生發(fā)出疑問：“我先求出的取值范圍，得到的答案也是一樣啊！”可是，教師因為還有幾道練習(xí)題沒講，他斷定學(xué)生肯定是算錯了，認為如果把，的范圍單列開來，必定造成范圍的擴大，于是馬上回答：“不行，一定要作為一個整體來算，就算答案一樣那可能是一個偶然的巧合，別的題目就沒這么巧了?！庇谑?，學(xué)生沒作聲。課后，學(xué)生展示他的解法，教師這時候在驚詫學(xué)生解法的同時，才意識到自己沒有講好這道題。

在日常教學(xué)過程中，有些教師以自己的解法作為解題的唯一方法，迫使學(xué)生產(chǎn)生了定勢思維。教師把應(yīng)該學(xué)生思考的環(huán)節(jié)卻草率跳過，那么學(xué)生又有什么機會思考呢？僅僅因有少數(shù)學(xué)生知道教師的答案就可以代表他們中的大多數(shù)人知道問題的原因？教師似乎已經(jīng)“不耐煩”地等著自己提出問題后學(xué)生做出錯誤答案，這樣就可以“名正言順”地給出正確的答案，而忘記了教育的目的是讓學(xué)生理解和思考。由于定勢思維的影響，許多學(xué)生在遇到新問題時不能作出靈活反映，且常常陷入僵化狀，甚至造成歪曲的認識。其實，由于每個學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不盡相同，其思維方式也各有特點。因此，不同的學(xué)生對于同一問題的認識、感受也不會完全相同。由此可見，學(xué)生一旦形成了思維障礙，不僅會影響學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進一步發(fā)展，而且不利于學(xué)生解決一般的數(shù)學(xué)問題。

（二）數(shù)學(xué)教學(xué)中以數(shù)學(xué)操作代替數(shù)學(xué)理解

案例2——圓錐曲線復(fù)習(xí)課講解片段。在進行圓錐曲線復(fù)習(xí)中，教師在課上展示了這樣一道例題：已知橢圓方程，設(shè)O為原點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，直線l：x=2，直線l上的動點M點，過點F作OM的垂線和以O(shè)M為直徑的圓，交于點N，試證線段ON的長是定值。

教師在直接對例題進行講解的時候給出的做法是：

設(shè)動點，當時，。

當時，設(shè)直線OM交直線NF于H。

因為OM為直徑，所以O(shè)N⊥NM，又NF⊥OM，由射影定理有ON2=OH·OM，所以直線OM：，直線NF：，

所以， 。

綜上所述，為定值。

這個解法中，教師強調(diào)了圓的問題要注意幾何性質(zhì)的應(yīng)用。講解完后有學(xué)生提出這樣的問題：“老師，我解題時，從代數(shù)角度求解，解題過程是：

以O(shè)M為直徑的圓方程為x（x-2）+y（y-y0）=0，

直線NF為，

聯(lián)立，想解出N的坐標，可解不出來，能這樣做下去嗎？”

教師發(fā)現(xiàn)要解出點N的坐標很困難，于是說：“就是因為代數(shù)解法計算太困難，我們才提出用幾何性質(zhì)來解決，你就從幾何性質(zhì)的角度考慮，不用再去計算了?！?/p>

在日常教學(xué)過程中，有些教師直接講解解題的解法，并不講解“數(shù)學(xué)理解”本身。這種形式的教學(xué)是一種“數(shù)學(xué)操作”教學(xué)，不是真正意義上的教學(xué)。真正意義上的教學(xué)是具有生成性的，沒有生成性的教學(xué)至多是一種機械式的“操練”。不可否認，數(shù)學(xué)教學(xué)首先要掌握數(shù)學(xué)知識，但知識卻不是通過反復(fù)操練這一途徑才能掌握的。更重要的是，數(shù)學(xué)是思而至知的學(xué)問，它的學(xué)習(xí)和掌握需要理解，沒有理解的實踐不能從真正意義上獲得數(shù)學(xué)知識。如果教師能和學(xué)生一起探究的話，不僅解決了學(xué)生的問題，還能使學(xué)生的認識得到升華，思想得到飛躍，從而突破思維障礙。

二、突破課堂思維障礙的建議

（一）促進課堂教學(xué)的有效性，避免數(shù)學(xué)課堂上出現(xiàn)形式化教學(xué)

1.讓學(xué)生成為課堂教學(xué)的主體，鼓勵不同層次的學(xué)生“說出來”

形式化的教學(xué)會令學(xué)生產(chǎn)生思維定勢。倘若一道數(shù)學(xué)題從分析題意、寫出過程到得出結(jié)果，全部由教師一手包辦，長此以往，就會讓學(xué)生的思維變得“遲鈍”，導(dǎo)致學(xué)生養(yǎng)成一種只聽教師講，而不去主動學(xué)的被動學(xué)習(xí)習(xí)慣。思維定勢多數(shù)情況下對于掌握新知識有立竿見影的效果。但思維定勢一旦形成，又是十分頑固的，從而成為阻礙學(xué)生發(fā)展思維的“攔路虎”。作為教師，我們要明白學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，他們有自己的思想和主見，我們不能把自己的一切都強加給學(xué)生，應(yīng)該多給他們一些機會去說出自己的想法，這樣他們才會有所提高。我們應(yīng)該正視學(xué)生的觀點，哪怕學(xué)生說出的觀點是錯誤的，教師也不能隨便批評，應(yīng)該給予肯定的評價，這樣才不會打消學(xué)生的積極性，才會有更多的學(xué)生愿意參與進來。

案例3——立體幾何的習(xí)題課講解片段。建造民房時為了屋頂能夠排泄積水，一般有如圖1三種不同的蓋法：①單向傾斜;②雙向傾斜;③四向傾斜。記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3。屋頂斜面與水平面所成的角都是α，如圖所示。請比較各個屋頂?shù)拿娣e的大小。

正當大多數(shù)學(xué)生在冥思苦想的時候，有個平時數(shù)學(xué)成績不起眼的學(xué)生不好意思地說：“我認為是一樣的，農(nóng)民建房子是能省就省，要是面積不一樣大小，他們肯定選擇用料最少的。”他剛說完，全班就沸騰了。這時，教師對他的回答給予了肯定的答復(fù)，并要求他再思考如何用學(xué)過的知識來證明他的說法。雖然該生最后是在大家的協(xié)助下完成了題目的推導(dǎo)，但是在接下來的數(shù)學(xué)課上他都表現(xiàn)得非常積極，學(xué)習(xí)興趣也不斷地提高。

教師對待學(xué)生回答的態(tài)度會給學(xué)生不同心理反應(yīng)。有時候，學(xué)生的思想沒有局限在課堂上，而是突發(fā)奇想。在這種情況下，教師應(yīng)對學(xué)生回答的合理性給予肯定，使學(xué)生敢于向教師表述自己的想法，使學(xué)生感受到教師對其的接納與激勵，從而激發(fā)他繼續(xù)深入剖析問題的欲望。每一個學(xué)生都渴望成功，這種渴望將形成一種強大的求知力量。教師要注重學(xué)生個體發(fā)展的需要，為不同思維層次的學(xué)生提供機會，這樣他們才能獲得成功、領(lǐng)悟成功，分享成功所帶來的快樂。這也促進了學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上思維能力的發(fā)展。

2.教學(xué)是師生的雙邊活動，引導(dǎo)學(xué)生從多角度去思考問題

在平常的教學(xué)活動中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生從多角度去思考問題，尋求不同的解題途徑，這就是我們常說的“一題多解”。課堂教學(xué)是師生雙邊的活動，并不是教師講的方法就一定是最好的，有時候?qū)W生活躍的思維會給我們帶來意想不到的效果。筆者就經(jīng)常遇到有些學(xué)生與課堂教授的解題方法不同，而提出自己對題目的理解和解法的情況。這時候，教師就要抓住學(xué)生有疑點的契機，不要輕易放過，引導(dǎo)學(xué)生思考，可以創(chuàng)設(shè)諸如此類的問題：“你是怎么想的？”“你是怎么知道的？”“你為什么做出這樣的選擇？”“是否還有更好的解題途徑？”“這些知識（或問題）之間有何聯(lián)系？”……這樣的提問會更人性化，也會讓師生關(guān)系更和諧融洽。教師通過啟迪學(xué)生思考、提出自己的獨特見解，并適時表揚與鼓勵學(xué)生，尤其是對沒有學(xué)習(xí)興趣的和學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，給予他們正面的評價與肯定，就能充分引發(fā)學(xué)生的求知熱情。同時也能深入到事物的本質(zhì)，問題就解決得更徹底。

案例4——高三解析幾何的復(fù)習(xí)課片段。筆者在高三解析幾何的復(fù)習(xí)課上講解了一道練習(xí)題：在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率e=，橢圓C上的點到點Q（0，2）的距離的最大值是3。①求橢圓C的方程;②在橢圓C上，存不存在點M（m，n），使得圓O：x2+y2=1與直線l：mx+ny=1相交于不同的兩點A、B，使△OAB有最大面積？如果不存在，請解釋原因;如果存在，求出點M的坐標和之對應(yīng)的△OAB的面積。

當時，筆者給出了第②小題一個常規(guī)的解題過程：設(shè)O到AB的距離為d，則，.當且僅當，即m2+n2=2取等號，又，此時點.綜上所述，橢圓上存在四個點，使得直線與圓相交于不同的兩點A、B，且的面積最大，且△OAB最大值為 。

剛講完這種解法，就有學(xué)生提出他有不同的方法，筆者將其解題過程投影出來：△OAB中當且僅當時，S△OAB有最大值;時，點O到直線AB的距離為又。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)還有這種更簡潔的解法時，一下子興奮起來。于是，筆者趁機讓學(xué)生比較兩種解法的不同之處，也引導(dǎo)他們從多角度去思考題目。

一題多解的教學(xué)方法不僅可以充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，還可以鍛煉學(xué)生思維的靈活性，有效增強學(xué)生綜合能力的提升。學(xué)生是教學(xué)活動中最有活力的資源，教師應(yīng)充分挖掘?qū)W生的內(nèi)在潛能，讓學(xué)生去做學(xué)習(xí)的主人。在新課標下，教師是課堂活動的組織者、參與者和策劃者，要遵循教學(xué)目標的要求科學(xué)有效地計劃和組織教學(xué)活動和內(nèi)容。教師不僅要在課堂上下苦功，還要努力設(shè)立條件讓學(xué)生在思考中完善自己的認知結(jié)構(gòu)。遇到困難，不應(yīng)隨便放過，教師應(yīng)該把握機會，啟發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生的思維真正地“活”起來。教師在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中可以有意設(shè)疑，訓(xùn)練學(xué)生的探索思維。

可見，教師應(yīng)該積極更新理念，改變教學(xué)手段，持續(xù)深入地學(xué)習(xí)專業(yè)及相關(guān)知識技能，培養(yǎng)自己的認知能力、教學(xué)反思能力，從而在課堂上不再僅僅局限于知識的傳授，而是更要注重發(fā)展學(xué)生的思維習(xí)慣和思維方法。

（二）創(chuàng)設(shè)探索性的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的興趣與求知欲

《數(shù)學(xué)課程標準》指出的一個重要理念就是為學(xué)生提供“做”數(shù)學(xué)、“玩”數(shù)學(xué)的機會。學(xué)生有了興趣，就會有積極的求知欲。在教學(xué)中，教師要持續(xù)地創(chuàng)造問題情境，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，不斷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，達到發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的目的。當然，在進行課堂教學(xué)之前，教師必須了解學(xué)生的基礎(chǔ)知識狀況，按照學(xué)生認知發(fā)展的特點，兼顧到學(xué)生認知水平的個體差異，注重學(xué)生的主體意識。

案例5——“雙曲線性質(zhì)研究教學(xué)”概述。第一步是教師提出問題：“請大家回憶前幾節(jié)課我們研究過什么圓錐曲線？分別從什么方面進行研究的？這幾天我們都在研究雙曲線，能否啟發(fā)我們應(yīng)該研究哪些方面的內(nèi)容呢？”三個問題由幾個學(xué)習(xí)小組的學(xué)生代表分別作出回答，并允許其他學(xué)生提出懷疑和添補。通過問答，學(xué)生全面復(fù)習(xí)了橢圓的性質(zhì)和研究方法，避免了結(jié)論重于過程的傾向，本堂課的學(xué)習(xí)任務(wù)依照橢圓的研究順序自主確定。

第二步是研究雙曲線的幾何性質(zhì)：根據(jù)橢圓性質(zhì)的研究經(jīng)驗，教師引導(dǎo)學(xué)生類比地想到運用研究橢圓的方法來研究雙曲線的幾何性質(zhì)。教師又提出如下要求：“1.不要看教科書，自己研究;2.各學(xué)生分別在小組內(nèi)部交流研究結(jié)果;3.請各組代表發(fā)表研究成果，從而讓全班學(xué)生獲得了雙曲線的頂點、范圍、離心率、對稱性等知識?！?/p>

第三步，教師又提出問題：“我們可以很清楚地看到雙曲線的兩個分支被無限地延展到坐標軸的左、右、上、下。那么，怎樣能更準確地描述這種延展的發(fā)展趨勢呢？擴展過程中可以無限接近哪條直線？請學(xué)生討論解決后，與教科書進行核對。”圍繞著教師的提問，學(xué)生分組展開激烈的議論，最后推出了雙曲線的漸近線方程。

第四步，教師從各組抽一名學(xué)生，由教師指定問題的相關(guān)性質(zhì)，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，每人設(shè)計一道練習(xí)題。最后由師生集體評價：先學(xué)生，后教師，包括評價題解的正確與否、問題設(shè)計的優(yōu)劣、改進設(shè)計方案等。

在這樣的課堂中，學(xué)生既獨立思考，又相互協(xié)作，學(xué)習(xí)興趣和求知欲被不斷激活，極大程度地挖掘了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展的潛力。

因此，教師可創(chuàng)設(shè)有特色的教學(xué)情境，設(shè)立有探究性的問題，在問題的探索性教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生敢于求異、勇于創(chuàng)新的氣魄，進而激發(fā)學(xué)生積極健康的創(chuàng)新情感和自主探索的個性品質(zhì)，挖掘?qū)W生對數(shù)學(xué)知識的理解能力、分析綜合能力、運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，使學(xué)生能夠突破數(shù)學(xué)思維發(fā)展的障礙，為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的升華奠定基礎(chǔ)。

（三）精心設(shè)計教學(xué)過程，鼓勵學(xué)生積極參與探究，開發(fā)思維潛力

動手操作是思維的基礎(chǔ)。蘇霍姆林斯基說：“手使腦得到發(fā)展，使它更加明智;腦使手得到發(fā)展，使它變成創(chuàng)造的聰明的工具?！苯處煈?yīng)讓學(xué)生在動手操作中開發(fā)數(shù)學(xué)思維的潛力。

案例6——圓錐曲線中橢圓、雙曲線的定義探究。橢圓、雙曲線的定義描述很接近，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中容易混淆。于是，教師將其概念的形成過程作為一個探究性問題，讓學(xué)生自己用細繩、鉛筆和拉鏈以桌面為平面自行擺放，在移動過程中構(gòu)成線段長度之和不變與長度之差不變的軌跡形成模型，然后在教師的引導(dǎo)之下觀察、猜想，在與同桌的探討中發(fā)現(xiàn)橢圓和雙曲線的軌跡形成特點，從而找出兩者的相似之處與區(qū)別。這樣，既融入了學(xué)生的自主活動，又發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，也符合了以學(xué)生為主體的教學(xué)思想。而學(xué)生對橢圓、雙曲線的定義進行猜想和實驗的過程對于他們來說就是一種創(chuàng)新的過程，他們正在體驗一種新的知識帶來的新的思維激發(fā)。學(xué)生不但可以發(fā)現(xiàn)一個新的知識點，還可得到一種創(chuàng)造性的成果。

因此，開展創(chuàng)新教育，首先應(yīng)該將教師教授知識點給學(xué)生的方式轉(zhuǎn)變成盡量引導(dǎo)學(xué)生，讓他們自己去發(fā)現(xiàn)新的知識點，從而盡可能地發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。課堂教學(xué)中，要創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感。如果學(xué)生可以在上課時間親自做實驗，就給他們機會。學(xué)生一般喜歡觀察，喜歡發(fā)現(xiàn)，喜歡分析，所以學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的濃厚興趣和感性認知，可以通過實驗的探究達到理性的認知。同時，在解決問題和合作情感的交流過程中，形象思維與抽象思維能夠協(xié)同作用，相互滲透，協(xié)同發(fā)展。

（四）課堂上要重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的一項基礎(chǔ)知識。數(shù)學(xué)不僅教會了學(xué)生思考，還教會了他們思想和方法。學(xué)習(xí)基本的數(shù)學(xué)思想和方法可以幫助學(xué)生理解和記憶數(shù)學(xué)。知識是思想方法的載體，數(shù)學(xué)問題是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下運用知識和方法“加工”的對象。因此，在課堂上要重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，提高數(shù)學(xué)意識。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中若多加強數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，那么學(xué)生將很快找到問題的關(guān)鍵信息及解決問題的有效途徑。

筆者曾經(jīng)聽過兩位教師的課，受益良多，印象頗深。第一位教師講的是《對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》這節(jié)新授課。教師在循序漸進、循循善誘的授課過程中通過指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的比較，引入對數(shù)函數(shù)的概念，體現(xiàn)了類比推理的思想方法。這對學(xué)生學(xué)習(xí)接下來的知識，如數(shù)列等起了很好的思想鋪墊作用。另一位教師上的是高三的函數(shù)練習(xí)評講課。在他的課堂上思維跳躍程度較大，融入了分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)等多種數(shù)學(xué)思想方法，它就像一場豐富的數(shù)學(xué)盛宴，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力。兩節(jié)課是兩種不同教學(xué)風(fēng)格的體現(xiàn)，但他們都有沁浸數(shù)學(xué)思想方法，通過他們嫻熟的教學(xué)技能和獨到的教學(xué)風(fēng)格，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的殿堂中翱翔。

另外，要想獲得數(shù)學(xué)思想方法，一方面要在課中有機滲透，另一方面還要依托學(xué)生反思領(lǐng)悟。教師要鼓勵學(xué)生自發(fā)地審驗他們的思想活動，思考他們是如何發(fā)現(xiàn)與解決問題的，怎樣運用基本的數(shù)學(xué)方法和解決問題的技能。如此，數(shù)學(xué)思維方法才能得到進一步的理解。

三、結(jié)語

在新課標理念的要求下，對于高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，對教師提出了更高的要求，而學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中也會產(chǎn)生這樣或那樣的思維障礙。但只要我們在教學(xué)實踐中能以生為本，從實際出發(fā)，運用積極合作、自主探究的學(xué)習(xí)方式，充分地預(yù)見并及早采取有效的教學(xué)措施，有針對性地開展課堂教學(xué)，以培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)展為已任，就能幫助學(xué)生突破思維障礙，激發(fā)學(xué)生思想的火花，優(yōu)化學(xué)生思維的品質(zhì)。

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責(zé)任編輯 ?陳紅兵