基于分形插值的軌壓曲線擬合方法

蒲 瑜，蘇鐵熊，馬富康，李良鈺，徐春龍

(1.中北大學(xué)能源動(dòng)力工程學(xué)院，山西 太原 030051) (2.中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山西 太原 030051) (3.中國(guó)北方發(fā)動(dòng)機(jī)研究所，天津 300400)

高壓共軌柴油機(jī)由于高功率、低排放、低油耗等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、工業(yè)以及交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域。在運(yùn)行時(shí)，高壓共軌系統(tǒng)會(huì)通過(guò)各種傳感器檢測(cè)發(fā)動(dòng)機(jī)的實(shí)際運(yùn)行狀況，但受燃油沖擊、傳感器精度、電磁干擾以及通信故障等因素影響，采集到的軌壓曲線會(huì)出現(xiàn)缺失值或異常值。因此，研究能較為精確地還原軌壓信號(hào)的整體變化趨勢(shì)與局部波動(dòng)特征的插值方法對(duì)研究高壓共軌運(yùn)行狀態(tài)至關(guān)重要。

在使用三次樣條插值法[1]、Lagrange插值法[2]等傳統(tǒng)插值方法時(shí)，由于其兩個(gè)插值點(diǎn)之間用直線或曲線連接，無(wú)法體現(xiàn)插值點(diǎn)之間的局部波動(dòng)特征，因此在處理類似軌壓曲線等波動(dòng)劇烈的時(shí)間序列時(shí)不是很理想。李春等[3]將分形插值法應(yīng)用于一些復(fù)雜非線性曲線的插值擬合中；郭秀婷等[4]將納什效率系數(shù)等作為衡量插值精度的指標(biāo)；喻亮等[5]運(yùn)用分形插值方法擬合鋁電解槽陽(yáng)極導(dǎo)桿等距時(shí)間電壓降曲線，證明了在鋁電解槽中熔融電解質(zhì)與鋁液界面的波動(dòng)曲線是非線性的，具有分形特征。代入不同的垂直比例因子，分形插值曲線的形態(tài)是不同的，證實(shí)了垂直比例因子對(duì)分形插值生成的曲線具有一定的影響，將分形插值曲線和傳統(tǒng)插值曲線比較,證實(shí)了分形插值擬合曲線具有優(yōu)越性。

本文參考這類非線性曲線的插值擬合方法，將分形插值法應(yīng)用于軌壓曲線的插值擬合中。實(shí)驗(yàn)證明，分形插值法相較于傳統(tǒng)插值方法如三次樣條插值法、Lagrange插值法等可以取得更高的精度。

1 分形插值原理

分形插值法是一種由美國(guó)數(shù)學(xué)家M.F.Barnsley提出的構(gòu)造分形曲線的方法，它是一種基于IFS(iterated function system, 迭代函數(shù)系統(tǒng))、能夠反映插值點(diǎn)之間局部波動(dòng)特征的插值方法。描述云彩、山脈、森林的輪廓等這些大自然幾何體以及非線性變化的曲線時(shí)，分形插值法可以得到比三次樣條插值法、Lagrange插值法等傳統(tǒng)插值方法更高的精度。

設(shè)存在一組插值數(shù)據(jù)C：

C={(xi,yi)∈I×R,i=0,1,2,…,N}

x0

I=[x0,xN]

(1)

式中：(xi,yi)為一組數(shù)據(jù)點(diǎn)；N為非負(fù)整數(shù)。f(x)為插值函數(shù)，對(duì)于每一個(gè)xi,都有f(xi)=yi，且插值數(shù)據(jù)(xi,yi)不共線。

吸引子G={(x,f(x)),x∈(x0,xN)}，為插值數(shù)據(jù)的連續(xù)圖像。

設(shè)映射函數(shù)Wi為：

(2)

且滿足如下條件：

(3)

式中：x,y為未知數(shù)；ai,bi,ci,di,ei,fi均為常數(shù)。

依據(jù)IFS的條件推導(dǎo)映射函數(shù)可得：

(4)

式(4)中僅di為自由變量，稱為垂直比例因子，其他未知數(shù)皆可通過(guò)代入插值數(shù)據(jù)獲得。本文通過(guò)分形維數(shù)D衡量插值函數(shù)的局部波動(dòng)特征，可通過(guò)式(5)求解：

(5)

由式(5)可知，分形維數(shù)僅與自由變量di有關(guān)。把插值數(shù)據(jù)代入式(6)中，迭代到收斂至吸引子G附近，即可完成分形插值擬合。

2 衡量插值方法的指標(biāo)

EMD(地球搬運(yùn)距離)是一種通過(guò)一次線性規(guī)劃計(jì)算兩個(gè)幾何或向量距離的算法，在評(píng)估兩個(gè)多維分布的差異性方面有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)于任意兩條空間曲線，其EMD值越小，說(shuō)明其相似性越高，差異性越?。黄銭MD值越大，說(shuō)明其相似性越低，差異性越大。

設(shè)存在如下兩條曲線：

(6)

其中：

(7)

式中：k,l均為正整數(shù)；xi∈RH,yi∈RH,Wxi∈R,Wyj∈R,H為正整數(shù)。

通過(guò)求解式(8)中的最優(yōu)解得到fij：

(8)

式中：dij為xi與yj之間的距離。

由此得到XY兩條曲線的EMD為：

(9)

3 分形插值的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的提取與分析

為提取軌壓曲線，對(duì)共軌系統(tǒng)進(jìn)行臺(tái)架實(shí)驗(yàn)。該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)包括德爾福(DELPHI)高壓共軌式燃油噴射系統(tǒng)、漢斯曼22 kW噴油泵實(shí)驗(yàn)臺(tái)、EMI-II型瞬態(tài)參數(shù)值測(cè)試和分析系統(tǒng)、EFS8233型共軌噴油器電磁閥控制儀、EFS8244型軌道壓力控制儀、軌道壓力傳感器、高精度角度傳感器及高強(qiáng)度聯(lián)軸器等。測(cè)試系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 共軌系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)圖

圖2所示為共軌系統(tǒng)軌壓曲線與頻譜圖，頻譜圖的縱坐標(biāo)P表示該頻率在所有計(jì)算頻率中的占比。該曲線表現(xiàn)出明顯的非線性與較強(qiáng)的波動(dòng)性，且頻率混雜嚴(yán)重，頻率范圍較廣。該曲線共有470個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，從中提取94個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為初始插值數(shù)據(jù)。

圖2 軌壓曲線與頻譜

3.2 垂直比例因子對(duì)插值曲線的影響

由式(4)可知，確定插值數(shù)據(jù)后，僅存在垂直比例因子一個(gè)自由變量，所以可以認(rèn)為垂直比例因子是影響插值精度的重要因素。圖3是不同垂直比例因子的插值曲線，圖4是不同垂直比例因子的分形維數(shù)。由圖4可以看出，隨著|di|的增大，分形插值曲線波動(dòng)程度隨之增大，局部波動(dòng)特征更加明顯，分形維數(shù)也隨之增大。

圖3 不同垂直比例因子的插值曲線

圖4 不同垂直比例因子的分形維數(shù)

但是分形維數(shù)并非越大越好，圖5所示為不同垂直比例因子下的EMD值，從圖中可以看出，di的取值嚴(yán)重影響插值精度，故本文將EMD作為選取垂直比例因子|di|的依據(jù)。當(dāng)di=-0.035時(shí)，EMD最小，為2.618，代表此時(shí)分形插值曲線與原始軌壓曲線相似度最高，故選取di=-0.035。

圖5 垂直比例因子對(duì)EMD的影響

3.3 迭代次數(shù)對(duì)插值曲線的影響

插值點(diǎn)數(shù)m與迭代次數(shù)n、初始插值點(diǎn)數(shù)q之間的關(guān)系如下：

m=(q-1)2n+1

(10)

表1為不同迭代次數(shù)對(duì)各個(gè)指標(biāo)的影響，從表中可以看出，雖然隨著迭代次數(shù)的增加，插值曲線的誤差隨之減小，但是迭代次數(shù)的增加并不會(huì)明顯提高插值曲線的精度，卻會(huì)顯著增加計(jì)算復(fù)雜程度，增加數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，故本文中實(shí)驗(yàn)的迭代次數(shù)采用1次。

表1 迭代次數(shù)對(duì)各個(gè)指標(biāo)的影響

3.4 分形插值與傳統(tǒng)插值方法的對(duì)比

分別使用Lagrange插值法與三次樣條插值法對(duì)軌壓曲線進(jìn)行插值擬合，圖6所示為3種插值方法擬合的曲線與原始曲線。從圖中可以看出，分形插值法相較于其他傳統(tǒng)插值方法可以更好地保留原始軌壓曲線的整體變化趨勢(shì)，并且能夠更加精細(xì)地還原局部波動(dòng)特征，而其他傳統(tǒng)插值方法由于使用光滑曲線連接插值點(diǎn)，無(wú)法還原局部波動(dòng)特征。

圖6 不同插值方法的對(duì)比

表2為3種插值方法的EMD值與分形維數(shù)對(duì)比。由表可知，在表征數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的分形維數(shù)這一指標(biāo)上，分形插值的分形維數(shù)最接近原始數(shù)據(jù)；在表征插值誤差的EMD這一指標(biāo)上，分形插值的誤差最小，比Lagrange插值法減小了65.3%，比三次樣條插值法減小了50.3%。

表2 第一次實(shí)驗(yàn)插值效果對(duì)比

對(duì)共軌系統(tǒng)再次進(jìn)行臺(tái)架實(shí)驗(yàn)，提取軌壓曲線。分別使用3種插值曲線進(jìn)行插值擬合。表3為第二次臺(tái)架實(shí)驗(yàn)所得的軌壓曲線3種插值方法的EMD值與分形維數(shù)對(duì)比。從表中同樣可以得出，在表征數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的分形維數(shù)這一指標(biāo)上，分形插值法最接近原始數(shù)據(jù)；在表征插值誤差的EMD這一指標(biāo)上，分形插值法的誤差最小，比Lagrange插值法減小了67.1%，比三次樣條插值法減小了53.2%。

表3 第二次實(shí)驗(yàn)插值效果對(duì)比

表4為第三次臺(tái)架實(shí)驗(yàn)所得的軌壓曲線3種插值方法的EMD值與分形維數(shù)對(duì)比。從表中同樣可以得出，在表征數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的分形維數(shù)這一指標(biāo)上，分形插值法最接近原始數(shù)據(jù)；在表征插值誤差的EMD這一指標(biāo)上，分形插值的誤差最小，相比Lagrange插值法減小了65.1%，比三次樣條插值法減小了51.5%。

表4 第三次實(shí)驗(yàn)插值效果對(duì)比

相比Lagrange插值法與三次樣條插值法等傳統(tǒng)插值方法，分形插值法在處理波動(dòng)較為劇烈的軌壓曲線時(shí)，可以較好地保持曲線的波動(dòng)特性，并擁有更高的插值精度，與原始曲線吻合更好，相比傳統(tǒng)插值算法具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

本文使用分形插值法對(duì)軌壓曲線的缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行插值擬合，對(duì)分形維數(shù)及插值誤差隨著垂直比例因子的變化規(guī)律進(jìn)行了分析，找到了具有插值誤差目標(biāo)的最佳垂直比例因子，通過(guò)與其他傳統(tǒng)插值法進(jìn)行對(duì)比，得出如下結(jié)論：

1)垂直比例因子是影響分形插值曲線的重要影響因素，選取合適的垂直比例因子可以顯著提高分形插值的精度。

2)在處理波動(dòng)劇烈的軌壓曲線插值擬合問(wèn)題時(shí)，分形插值法相比傳統(tǒng)插值方法如Lagrange插值法與三次樣條插值法等可以在反映局部波動(dòng)特征的同時(shí)，具有更小的插值誤差，分形插值曲線的EMD分別比Lagrange插值曲線和三次樣條插值曲線減小了65.3%和50.3%。相比傳統(tǒng)插值方法，分形插值更具有優(yōu)勢(shì)。