基于多層小波閾值函數(shù)的彩色圖像邊緣檢測(cè)

陳 順 李登峰

(武漢紡織大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 湖北 武漢 430200)

0 引 言

彩色圖像邊緣檢測(cè)在圖像處理中起著至關(guān)重要的作用，被廣泛應(yīng)用于目標(biāo)識(shí)別[1]、圖像增強(qiáng)等不同圖像處理領(lǐng)域。其中常見的灰度邊緣檢測(cè)算子有Sobel算子、Roberts算子和Canny算子等[2]。這些傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)算子的優(yōu)點(diǎn)是容易實(shí)現(xiàn)且計(jì)算簡(jiǎn)單，但是對(duì)噪聲異常敏感且對(duì)彩色圖像邊緣檢測(cè)時(shí)需要采用單通道法處理，從而會(huì)丟失部分邊緣信息。另外，部分算法也存在邊緣不連續(xù)現(xiàn)象?，F(xiàn)代邊緣檢測(cè)算法中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[3]等現(xiàn)代算法需要大量的訓(xùn)練樣本，并且部分算法實(shí)現(xiàn)成本高、計(jì)算復(fù)雜度大。相對(duì)于灰度圖像，彩色圖像由于包含圖像亮度和色度信息的所有跳變點(diǎn)，從而具有更加豐富的邊緣信息。因此，在實(shí)際應(yīng)用中如何有效地對(duì)彩色圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)逐漸成為計(jì)算機(jī)視覺和圖像處理領(lǐng)域的廣泛研究?jī)?nèi)容[4]。通常情況下，彩色圖像是通過RGB顏色空間呈現(xiàn)出來的，所以很多彩色圖像處理方法都是基于RGB顏色空間。但是RGB顏色空間的R、G、B三個(gè)分量具有高關(guān)聯(lián)性，如果采用單色調(diào)的方法分通道處理，那么將會(huì)丟失大量色彩信息，從而導(dǎo)致部分彩色邊緣不能被檢測(cè)出來。另外，從照相機(jī)、監(jiān)控?cái)z像頭等設(shè)備中獲取的彩色圖像數(shù)據(jù)可能包含大量噪聲。因此得到邊緣輪廓清晰且去噪效果良好的彩色圖像就變得相當(dāng)重要。

近年來，基于四元數(shù)理論的彩色圖像處理方法被大量應(yīng)用，文獻(xiàn)[5]提出了一種四元數(shù)Gabor彩色紋理特征提取方法，該方法很大程度地保留了原圖像的粗糙度、對(duì)比度和方向度等紋理特征。文獻(xiàn)[6]提出了一種RGB空間下結(jié)合四元數(shù)與最小核值相似區(qū)的邊緣檢測(cè)算法，該算法能夠提高邊緣定位精度，對(duì)弱噪聲具有較好的抑制能力，適用于對(duì)實(shí)時(shí)性不高的低層次彩色圖像處理。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于雙搜索方程的人工蟻群算法，以四元數(shù)表示彩色像素為基礎(chǔ)，改進(jìn)人工蜂群算法的單一搜索方程，該算法去噪能力強(qiáng)，計(jì)算量小。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于四元數(shù)理論的Canny算法，采用彩色四元數(shù)邊緣特征矩陣計(jì)算圖像的邊緣梯度幅值，有效降低了彩色邊緣信息的漏檢率和錯(cuò)檢率。

針對(duì)上述問題，本文首先提出一種改進(jìn)的小波閾值去噪模型對(duì)含噪的彩色圖像進(jìn)行去噪預(yù)處理。然后根據(jù)文獻(xiàn)[8]所提四元數(shù)理論對(duì)文中的特征矩陣進(jìn)行改進(jìn)，將其梯度方向擴(kuò)展至四個(gè)方向，四個(gè)方向的梯度構(gòu)建不同的特征矩陣模型進(jìn)行測(cè)試，并求解得到新的梯度幅值和幅角。最后進(jìn)行非極大值抑制和自適應(yīng)閾值處理得到最終的邊緣檢測(cè)圖像。算法流程如圖1所示。

圖1 算法流程

1 小波閾值去噪

1.1 小波閾值去噪原理

由于圖像所含噪聲與邊緣同處于高頻區(qū)域，所以對(duì)含噪圖像邊緣檢測(cè)時(shí)進(jìn)行去噪預(yù)處理是非常重要的一步。如果去噪效果控制不好，那么就會(huì)引起圖像模糊程度增加，這就增加了邊緣檢測(cè)的漏檢率和錯(cuò)檢率，從而對(duì)后續(xù)圖像更深層次處理產(chǎn)生一定影響。因此在圖像去噪預(yù)處理時(shí)經(jīng)常使用小波閾值去噪方法。其主要思想是將圖像進(jìn)行小波分解，得到低頻子圖像(系數(shù)較大)和高頻子圖像(系數(shù)較小),然后對(duì)高頻子圖像進(jìn)行閾值處理得到新的小波系數(shù)并進(jìn)行小波逆變換獲得去噪后的圖像。這對(duì)具有高斯噪聲和椒鹽噪聲的圖像都有良好的去噪效果。其中閾值范圍的具體估計(jì)和閾值函數(shù)的選取是影響小波閾值去噪效果的兩個(gè)關(guān)鍵因素[9]。如果閾值估計(jì)太小，則圖像去噪效果不佳；如果閾值估計(jì)過大，則會(huì)丟失圖像邊緣細(xì)節(jié)信息，從而導(dǎo)致部分真實(shí)邊緣難以被檢測(cè)。因此，對(duì)小波閾值函數(shù)及閾值估計(jì)的研究引起了許多研究者的關(guān)注。

1.2 常用的小波閾值去噪函數(shù)

小波閾值去噪的函數(shù)中，傳統(tǒng)閾值函數(shù)主要有硬閾值去噪函數(shù)、軟閾值去噪函數(shù)和軟硬折中閾值去噪函數(shù)。

硬閾值去噪函數(shù)：

(1)

軟閾值去噪函數(shù)：

(2)

軟硬折中閾值去噪函數(shù)：

(3)

1.3 改進(jìn)的小波閾值去噪函數(shù)

針對(duì)傳統(tǒng)閾值去噪函數(shù)存在的問題，文獻(xiàn)[9-11]提出的改進(jìn)閾值函數(shù)分別如下：

文獻(xiàn)[9]小波閾值函數(shù):

(4)

文獻(xiàn)[10]小波閾值函數(shù)：

(5)

文獻(xiàn)[11]小波閾值函數(shù)：

(6)

式(4)和式(6)采用單層閾值函數(shù)去噪，將小于閾值區(qū)間的閾值函數(shù)不是簡(jiǎn)單地設(shè)為0，而是通過一個(gè)非線性函數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)閾值的逐漸壓縮。這樣既可以保證函數(shù)的連續(xù)性，又避免了閾值函數(shù)引起的震蕩效應(yīng)。式(5)采用多層閾值函數(shù)解決了軟閾值中當(dāng)系數(shù)超越閾值時(shí)它們之間存在恒定偏差的問題。

從分析可知，式(4)和式(6)都是通過增加調(diào)節(jié)因子來縮小原小波系數(shù)與估計(jì)小波系數(shù)之間存在的恒定偏差。其中式(4)設(shè)置了a、b、m、t四個(gè)可調(diào)參數(shù)，通過人為選取不同的數(shù)值來提升去噪性能，但是計(jì)算公式相對(duì)復(fù)雜，自適應(yīng)度低，并且對(duì)比評(píng)價(jià)指標(biāo)來看效果并不明顯。式(5)采用三個(gè)閾值實(shí)現(xiàn)多層閾值函數(shù)，取得了不錯(cuò)的去噪效果。式(6)通過添加一個(gè)可變參數(shù)k，對(duì)噪聲有較好的處理效果。

1.4 改進(jìn)的小波閾值去噪函數(shù)

為了減少計(jì)算復(fù)雜度和恒定偏差問題，達(dá)到良好的去噪效果，本文將結(jié)合多層閾值小波函數(shù)，同時(shí)增加調(diào)節(jié)因子來縮小原小波系數(shù)和估計(jì)小波系數(shù)之間存在的恒定偏差以及提高自適應(yīng)性。改進(jìn)的表達(dá)式如下：

(7)

閾值函數(shù)的數(shù)學(xué)分析如下：

1.5 改進(jìn)的自適應(yīng)閾值選取

目前常用的閾值判斷方法有：無偏似然估計(jì)、固定閾值估計(jì)、啟發(fā)式閾值估計(jì)和最大最小閾值估計(jì)。文獻(xiàn)[9-11]都選用固定閾值估計(jì)或進(jìn)行輕微改進(jìn)，其表達(dá)式為:

(8)

式中：M、N分別為圖像的長(zhǎng)和寬；median表示取中值。

盡管本文采用的二維單尺度小波分解，分解尺度對(duì)算法沒有影響，但是通過分析發(fā)現(xiàn)噪聲主要存在小波分解的第一層系數(shù)中，并且隨著分解層數(shù)的增加而減少，噪聲系數(shù)的幅值隨著小波分解尺度增加而減小。所以本文為了增加小波分解層數(shù)時(shí)，使閾值估計(jì)隨分解尺度的增大而增大，隨分解層數(shù)的增加而減小，提出一種改進(jìn)的自適應(yīng)閾值估計(jì)，公式如下：

(9)

式中：令σ中median(|wi,j|)為第一層小波細(xì)節(jié)系數(shù)的絕對(duì)值，n為小波分解次數(shù)?？梢钥吹?，e的指數(shù)為一個(gè)等差數(shù)列，當(dāng)n=1時(shí)，h與H相等；當(dāng)n增大時(shí)，H逐漸減小。這樣既保持了閾值選取的自適應(yīng)改變，又避免了有效信息的丟失。H為高閾值，L為低閾值，并設(shè)L=0.1H。

1.6 小波閾值去噪效果分析

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)的小波閾值去噪在彩色圖像的去噪效果，實(shí)驗(yàn)一選取512×512的彩色房屋圖像分別加入方差為0.01的高斯白噪聲和濃度為0.05的椒鹽噪聲，實(shí)驗(yàn)二選取512×512的彩色Lena圖像分別加入方差為0.03的高斯白噪聲和濃度為0.03的椒鹽噪聲。與傳統(tǒng)的閾值函數(shù)作對(duì)比，并采用PSNR(峰值信噪比)和SNR(信噪比)客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)來衡量去噪效果。其中采用二維單尺度小波分解一次，并選用db15作為小波基。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2、圖3所示，客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)如表1和表2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)一結(jié)果

圖3 實(shí)驗(yàn)二結(jié)果

表1 濃度為0.01時(shí)去噪算法的PSNR、SNR值

表2 濃度為0.03時(shí)去噪算法的PSNR、SNR值

從上述實(shí)驗(yàn)和客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)可以得出，本文小波閾值去噪函數(shù)對(duì)于高斯白噪聲和椒鹽噪聲都具有較好的去噪效果，克服了硬閾值函數(shù)獲取小波系數(shù)連續(xù)性很差和軟閾值函數(shù)導(dǎo)致的小波系數(shù)與估計(jì)小波系數(shù)之間偏差問題，并且提高了算法自適應(yīng)性，減小了傳統(tǒng)濾波器導(dǎo)致的模糊現(xiàn)象和計(jì)算復(fù)雜度。

2 改進(jìn)的Canny邊緣檢測(cè)算法

2.1 彩色圖像的四元數(shù)表示

目前，利用四元數(shù)思想來描述彩色圖像已經(jīng)被廣泛應(yīng)用，該方法利用向量的思想對(duì)彩色圖像的顏色空間信息統(tǒng)一表示，解決了對(duì)圖像色彩信息的有效表達(dá)。四元數(shù)是一種簡(jiǎn)單的超復(fù)數(shù)，主要由一個(gè)實(shí)部和三個(gè)虛部組成，表示如下：

Q=a+bi+cj+dk

其中，點(diǎn)積、叉積和模值運(yùn)算規(guī)則定義如下：

Q1·Q2=a1a2+b1b2+c1c2+d1d2

(10)

Q1×Q2=(c1d2-d1c2)i+(d1b2-b1d2)j+

(b1c2-c1b2)k

(11)

(12)

可以看到，當(dāng)實(shí)部a=0時(shí)，可令四元數(shù)的三個(gè)虛部分別代表彩色圖像的R、G、B三個(gè)通道，這樣就可以把彩色圖像的每個(gè)像素都可以表示為一個(gè)純四元數(shù)[12]：

f(x,y)=fR(x,y)·i+fG(x,y)·j+

fB(x,y)·k

(13)

2.2 四元數(shù)結(jié)合Canny算法

傳統(tǒng)灰度Canny算子邊緣檢測(cè)步驟如下：

(1) 使用高斯濾波器對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理，其中高斯函數(shù)方差人為設(shè)定。

(2) 對(duì)預(yù)處理后的圖像采用2×2模板計(jì)算梯度幅值和梯度方向。

(3) 對(duì)梯度圖像進(jìn)行非極大值抑制，將梯度最大值點(diǎn)作為候選邊緣點(diǎn)。

(4) 人為確定高、低閾值并采用連接方法確定圖像最終邊緣。

圖像梯度幅值和幅角的計(jì)算直接影響邊緣檢測(cè)圖像的連續(xù)性以及真實(shí)邊緣的數(shù)量，所以本文運(yùn)用四元數(shù)理論，對(duì)文獻(xiàn)[8]中的特征矩陣進(jìn)行改進(jìn)，將2×2模板擴(kuò)為3×3模板，并添加45°和90°計(jì)算方向，構(gòu)造出一種新的梯度幅值和方向的計(jì)算方法，從而使得可以直接對(duì)彩色圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)。

彩色四元數(shù)邊緣特征矩陣可以用來分析彩色圖像的邊緣特性可結(jié)構(gòu)特征[8]，因此改進(jìn)的四方向彩色邊緣特征矩陣為：

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：px、py、p45°和p135°分別為0°、180°、45°和135°這四個(gè)方向上的微分；“-”表示利用中值濾波器對(duì)四元數(shù)微分運(yùn)算后的點(diǎn)積進(jìn)行空間上的濾波處理。

根據(jù)式(10)-式(12)可以得到如下點(diǎn)積運(yùn)算表達(dá)式：

(18)

(19)

(20)

(21)

px·p45°=RxR45°+GxG45°+BxBy

(22)

式中：R、G、B分別表示彩色圖像三通道。

可以看到，式(14)-式(17)都很好地結(jié)合了四個(gè)方向上的微分，但是通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，式(14)所得到的邊緣圖像在邊緣連續(xù)性上優(yōu)于其他公式，并且計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較低，所以彩色四元數(shù)邊緣特征矩陣可以表示為：

(23)

對(duì)彩色四元數(shù)邊緣特征矩陣進(jìn)行特征值分析，設(shè)矩陣特征值為λ，則:

(24)

通過計(jì)算可以得到特征值λ1和λ2，具體表達(dá)式如下：

(25)

(26)

式中：λ1為第一特征量表示彩色圖像局部色彩梯度變化最大處的微分能量[13]；λ2為第二特征量表示垂直于局部色彩突出變化方向的能量。通過分析可設(shè)方向的表達(dá)式如下：

(27)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文算法在彩色房屋圖像上去噪和邊緣檢測(cè)方面的效果，在MATLAB R2016b平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)算法。以512×512的彩色房屋圖像為例，其中：實(shí)驗(yàn)三中加入均值為0、方差為0.03的高斯白噪聲；實(shí)驗(yàn)四中加入均值為0、方差為0.05的高斯白噪聲。實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖4和圖5所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)三結(jié)果

圖5 實(shí)驗(yàn)四結(jié)果

可以看出，當(dāng)分別加入均值為0、方差為0.03和方差為0.05的高斯白噪聲檢測(cè)彩色房屋圖像時(shí)，本文小波閾值去噪能夠較好地去除噪聲，含噪圖像所得邊緣由于噪聲的影響導(dǎo)致邊緣輪廓幾乎看不見；而文獻(xiàn)[8]算法所得邊緣連續(xù)性較低，可以看出本文邊緣檢測(cè)算法具有較好的檢測(cè)效果和去噪效果，并且降低了錯(cuò)檢率和漏檢率，自適應(yīng)性高。

圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)客觀法是通過測(cè)量相關(guān)指標(biāo)定量模擬人類視覺系統(tǒng)對(duì)圖像質(zhì)量感知效果[14]。本文將采用客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)峰值信噪比(PSNR)和信噪比(SNR)來衡量原始彩色圖像邊緣檢測(cè)后的邊緣圖與彩色噪聲圖像邊緣檢測(cè)之后的邊緣圖之間的比率，并采用結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)指標(biāo)來說明原始彩色邊緣圖像與本文小波閾值去噪后的彩色邊緣圖像之間的亮度、對(duì)比度和結(jié)構(gòu)的相似性。結(jié)構(gòu)相似度指標(biāo)定義如下[15]：

SSIM(x,y)=[l(x,y)]α[c(x,y)]β[s(x,y)]γ

(28)

式中：x和y分別是不含噪聲邊緣圖和含有噪聲邊緣圖；l(x,y)、c(x,y)、s(x,y)分別為兩幅圖像x和y的亮度相似性、對(duì)比度相似性、結(jié)構(gòu)相似性?？陀^評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果如表3和表4所示。

表3 濃度為0.03時(shí)算法PSNR、SNR和SSIM值

表4 濃度為0.05時(shí)算法PSNR、SNR和SSIM值

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過分析RGB顏色空間中各分量間存在的高關(guān)聯(lián)性而導(dǎo)致部分邊緣無法被檢測(cè)以及抗噪性低問題，提出一種基于多層小波閾值函數(shù)的彩色圖像邊緣檢測(cè)方法。通過構(gòu)建自適應(yīng)多層小波閾值函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行去噪預(yù)處理，并結(jié)合已有的四元數(shù)理論構(gòu)建新的四方向特征矩陣模型求解梯度幅值和幅角。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法檢測(cè)出的彩色圖像輪廓連續(xù)性明顯提高，去噪效果良好，并且降低了漏檢率和錯(cuò)檢率，是一種可行的無監(jiān)督算法。