基于混合內點罰函數(shù)法和牛頓法的減速器齒輪傳動參數(shù)優(yōu)化分析

曹勁飛

（長安大學工程機械學院 ， 陜西 西安 710064）

齒輪機構由于其傳動比為常數(shù)，所以有傳動平穩(wěn)、沖擊振動小、噪聲低等特點，故在工程上有著廣泛的應用。而針對齒輪傳動的結構優(yōu)化方面，近年來提出的新型算法應用研究較多，對其具體結構的適用性和可靠性的討論甚少[1]。針對相關研究的不足，筆者對實際齒輪結構應用混合內點罰函數(shù)法和牛頓法優(yōu)化其核心六個參數(shù)，討論算法的可靠性以及優(yōu)越性，并且將優(yōu)化之后的參數(shù)同之前進行對比，得到優(yōu)化率。

1 模型介紹

單級減速器齒輪傳動的示意圖如圖1所示[2]：

圖1 單級減速器齒輪傳動示意圖

圖中，L1、L2、Lz分別為主動軸伸出長度、從動軸伸出長度和支承長度；d1、d2分別為主動輪和從動輪的節(jié)圓直徑，d3、d4分別為主動軸和從動軸的直徑?？紤]實際減速器的結構和常用齒輪形式，因主動輪直徑較小，故擬選用實心輪形式；從動輪擬選用腹板式齒輪。主、從動輪如圖2所示。

圖2 主、從動輪示意圖

圖中的符號表示參數(shù)和計算公式如表1所示定義。

表1 符號定義

2 優(yōu)化過程分析

2.1 優(yōu)化設計理論

每個優(yōu)化問題的具體要求和約束條件各不相同，但抽象出來的數(shù)學模型通常都是由設計變量、目標函數(shù)和約束條件構成。而優(yōu)化設計問題通常可以歸納為：選取適當?shù)脑O計變量，在使所有設計變量滿足所需要的約束條件情況下，選取設計變量的最優(yōu)取值，使得目標函數(shù)表達式取到可行域內的最值。整個優(yōu)化過程利用數(shù)學模型表達和解釋如下。

選取設計變量：

使設計變量滿足所有等式約束和不等式約束條件。而約束條件又分為邊界約束和性能約束兩種。所謂邊界約束是指根據(jù)設計要求，設計變量必須滿足的幾何條件以及只對設計變量的取值范圍加以限制的約束。例如將x1變量長度限制在[Lmin,Lmax]范圍之內，則有約束條件：

性能約束則是指根據(jù)性能要求而建立的限制條件。例如構件的實際工作應力σ與許用應力[σ]之間的約束、梁撓度y與許用撓度[y]之間的要求。據(jù)此，約束條件可表述為：

在設計變量滿足所有約束條件的前提下，使得目標函數(shù)f(X)=f(x1,x2,x3,…,xn)取得極值。因此，最終優(yōu)化設計數(shù)學模型為[3]：

2.2 設計變量的確定

眾所周知，在優(yōu)化設計中，設計變量的個數(shù)越多，設計空間的維數(shù)越高，設計的自由度也越大，可供選擇的設計方案也就越多，但是隨之而來的是設計難度的陡增和計算程序的復雜化。因此，在建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型時，應盡可能地只把對優(yōu)化目標影響顯著的參數(shù)作為設計變量，以減少設計變量數(shù)目，而又盡量不影響優(yōu)化效果。

如表1所示，在單級齒輪傳動中，包括主動輪、主動軸、從動輪和從動軸的多個設計參數(shù)。需要選取其中的核心設計參數(shù)。基于輕量化的目的，首先，確定齒輪的質量需要齒寬、齒數(shù)和齒輪模數(shù)，所以此處選取主動輪的齒寬、齒數(shù)和模數(shù)作為三個核心設計參數(shù)[4]。根據(jù)傳動比、正確嚙合條件和選取齒輪的形式，便可以計算出從動輪的設計參數(shù)和兩個齒輪的質量。正確嚙合條件如下所示。

1）嚙合齒輪的模數(shù)必須相等并且等于標準模數(shù)[5]。2）嚙合齒輪的壓力角必須相等并且等于標準壓力角。3）主、從動軸設計參數(shù)的確定。每根軸的長度都可以分為兩個部分，分別是減速器內軸的支撐長度和減速器外軸的附屬長度。由于兩根軸的附屬長度往往由上級傳動和下級傳動確定，所以不必選為設計參數(shù)；又由于主、從動軸的支撐長度相等，所以只需將支撐長度設為一個設計參數(shù)即可。支撐部分質量還需要兩根軸的直徑才能確定，所以又選取主動軸直徑和從動軸直徑作為設計參數(shù)。

綜上所述，確定了六個核心參數(shù)，減速器的質量可以完全確定。將這六個參數(shù)設置為設計變量，有：

2.3 目標函數(shù)的確定

由上述可知，對于減速器來說，在保證約束條件要求的情況下，降低減速器質量成為本次優(yōu)化設計要求的目標。所以，將減速器總質量最小作為目標函數(shù)，如式（8）～（11）所示。

其中，M1、M2分別為主、從動輪質量計算公式，M3為主、從動軸質量計算公式。此處假設主、從動軸和齒輪使用同樣的結構鋼進行制作，所以材料密度相等，故目標函數(shù)可以轉化為體積最小化。

2.4 約束條件的建立

2.4.1 齒輪模數(shù)約束

減速器中主動輪和從動輪均為傳力齒輪，用來傳遞動力的齒輪模數(shù)不宜過小，模數(shù)取值一般以超過2 mm的標準模數(shù)為優(yōu)，如式（12）所示：

2.4.2 齒輪齒數(shù)約束

在模數(shù)和傳動比已經(jīng)確定的情況下，主動輪的齒數(shù)越少，從動輪的齒數(shù)也越少，齒輪機構的中心距、尺寸和質量也會減小。但是對于漸開線標準齒輪，其最少齒數(shù)是有限制的，齒頂線不應該超過嚙合線的極限點。若超過頂點，超過部分不僅不能展開成漸開線齒廓，還會將根部已加工出的漸開線切去一小部分，這種現(xiàn)象稱為根切。為了避免根切，查閱設計手冊[6]，對于壓力角取20°和齒頂高系數(shù)取1的正常齒制標準漸開線齒輪，其最少齒數(shù)為17，故可以轉化為如式（13）：

2.4.3 齒輪齒寬系數(shù)約束

約束主動輪的齒數(shù)和模數(shù)之后，確定齒輪結構還需要約束其齒寬系數(shù)，如式（14）所示：

式中d為大齒輪直徑，此式常用來確定大齒輪齒寬，小齒輪齒寬在大齒輪齒寬的基礎上加上5 mm ~10 mm即可。齒寬系數(shù)的范圍通過查閱文獻獲得。本研究中齒輪屬于非對稱布置，并且對于減速器中齒輪一般選用閉式軟齒面齒輪傳動。故對齒寬系數(shù)的約束如式（15）～（16）所示：

由于大齒輪選用腹板式齒輪，小齒輪選擇實心式齒輪，故對兩者的齒頂圓直徑都有相應的約束。查閱設計手冊，對于腹板式齒輪結構，其齒頂圓直徑一般小于等于500 mm；對于實心式齒輪，其齒頂圓直徑一般小于等于160 mm。可以轉化為式（17）～（18）：

齒輪的主要邊界約束條件基本得到約束，繼續(xù)列寫主動軸和從動軸的邊界約束條件。按設計經(jīng)驗，單機圓柱齒輪減速器的主動軸和從動軸的取值范圍一般為[100,150]和[130,200]，如式（19）～（22）所示：

對于傳動軸來說，其直徑應該小于齒輪的齒根圓直徑。所以對于兩根軸還有如式（23）～（24）的約束：

在齒輪的設計計算方法中，針對本研究中選擇的閉式軟齒面齒輪傳動，齒面接觸強度較弱，先按齒面接觸強度進行設計計算，然后校核齒根彎曲疲勞強度[7]。故在此需要對兩個齒輪的齒面接觸強度和齒根彎曲疲勞強度進行約束。小齒輪的材料選用40MnB調質，大齒輪采用ZG35SiMn調質。則小齒輪的齒面接觸強度和齒根彎曲疲勞強度分別為720 MPa和595 MPa；大齒輪的分別為615 MPa和510 MPa，最小安全系數(shù)SH和SF分別取1.1和1.25[8]。許用應力如式（25）～（28）：

齒輪的齒面接觸強度和齒根彎曲疲勞強度計算公式如式（29）～（30）：

式中K稱為載荷系數(shù)，由于減速器的原動機為電動機而且工作室載荷特性較為均勻，故K取1；系數(shù)ZE稱為彈性系數(shù)，根據(jù)本文中齒輪所選材料參數(shù)，取189.8；T為主動軸上輸入扭矩，取2.674×106N·mm；YFa、YSa分別為外齒輪的齒形系數(shù)和外齒輪的應力修正系數(shù)，其取值應該根據(jù)齒數(shù)而定，在此根據(jù)減速器未經(jīng)優(yōu)化的數(shù)據(jù)進行取值。對于小齒輪分別為2.9和1.5；對于大齒輪分別為2.2和1.8。確定了公式和其中參數(shù)的取值之后便可以依據(jù)式（31）寫出約束[9]：

尋找傳動軸的性能約束。強度約束條件表述的是在承受載荷時軸的結構不至于失效；剛度約束條件表述的是在承受載荷時軸的實際撓度、轉角和扭角不應該超過許用撓度、轉角和扭角。

主動軸的受力情況為彎扭組合情況，所以應該按彎扭合成強度理論計算，具體可以采用第三強度理論來進行計算。危險截面上當量應力計算如式（36）：

使其小于主動軸許用的彎曲應力。許用應力應取靜應力狀態(tài)下，鑄鋼的許用彎曲應力，此處取40 MPa，約束條件如式（37）：

接下來列寫剛度約束。軸的許用變形量可以根據(jù)機械設計手冊查詢，本文中，僅對軸的許用撓度進行約束即可。對于一般用途的軸而言，許用撓度一般為軸長度的0.000 3~0.000 5倍，在此取0.000 4，故主動軸剛度約束條件為：

到此，已經(jīng)成功地將優(yōu)化問題轉化為數(shù)學模型。

3 有約束單目標優(yōu)化問題方案的選取

經(jīng)過分析可知本文為一個有約束單目標優(yōu)化問題，選用內點罰函數(shù)法進行求解[10]。

內點罰函數(shù)法屬于罰函數(shù)法的一種。罰函數(shù)法的基本思想就是用所有的約束條件構造一個制約函數(shù)，當約束條件不滿足時，該函數(shù)就會受到制約。反之，當約束條件滿足時，則不受到制約。內點罰函數(shù)法要求迭代過程均在可行域內進行，在可行域的邊界上設置制約，使得迭代點靠近邊界時給出的函數(shù)值很大；距離邊界較遠的可行域內，約束函數(shù)幾乎不起作用。因此，懲罰函數(shù)法構造的形式如下所示：

可以看出當函數(shù)接近邊界點上時，罰函數(shù)接近無窮大，相當于在邊界上設置了一道障礙，使得迭代過程不得超越出去，所以內點法也稱障礙函數(shù)法[11-12]。

式中的rk稱為懲罰因子，是遞減的正數(shù)序列。由此可見，在迭代過程中懲罰因子逐漸減小，相當于目標函數(shù)中的懲罰項的作用越來越小，函數(shù)的最優(yōu)點也會逐漸靠近可行域的邊界，當懲罰因子等于0時，就得到原問題的最優(yōu)解。

此處，利用Matlab編寫相應內點罰函數(shù)法的迭代程序，并且進行求解。初始點應用原本減速器的六個設計變量取值，分別為[100 32 6 420 120 160]；c取0.5；ε取10-4；r0取1。將數(shù)據(jù)帶入Matlab程序中進行計算。在對構造得到的內點罰函數(shù)進行無約束優(yōu)化時發(fā)現(xiàn)，若利用罰函數(shù)分別對六個設計變量求一階導數(shù)再聯(lián)立方程組求解時間花費較長，運行一次r值大約需要1.5 h時間；故在此處選用牛頓法進行罰函數(shù)的無約束優(yōu)化的最優(yōu)點求解[13]。

經(jīng)過大致1 h，結果矩陣求解得到。將六個設計變量、目標函數(shù)值和改進率計算，結果如表2所示。

表2 內點罰函數(shù)法和牛頓法優(yōu)化結果矩陣

對于數(shù)學模型的優(yōu)化部分，已經(jīng)得到了在上述分析的約束條件中的最優(yōu)解。但是對于齒輪的實際參數(shù)，還需要對數(shù)據(jù)進行圓整才能使用。查閱標準模數(shù)，并將六個參數(shù)進行圓整，得到最終結果如表3所示。

表3 齒輪優(yōu)化前后參數(shù)對比

4 結論

經(jīng)過對減速器輪系參數(shù)優(yōu)化之后，可以得到滿足齒輪和傳動軸強度、剛度要求的新設計參數(shù)。從表3中可以看出，與之前設計的減速器來說，優(yōu)化后減速器的體積優(yōu)化率達到了20.17%，從而導致質量也降低了20.17%，達到了節(jié)省材料和結構輕量化的目的，具有良好的工程意義。