“一圖一課”：聚焦經(jīng)典幾何圖形的變式教學(xué)
——兼談中考幾何復(fù)習(xí)的教學(xué)建議

☉江蘇省無錫江陰市周莊中學(xué) 繆瑞華

很多學(xué)校在中考幾何復(fù)習(xí)時，往往是一輪復(fù)習(xí)重復(fù)著學(xué)生在新授課期間所學(xué)內(nèi)容的知識點(diǎn)、圖形性質(zhì)或判定的梳理，并鏈接著講評各地中考幾何題；二輪復(fù)習(xí)則將題型各異的幾何題分類復(fù)習(xí)，如幾何動態(tài)問題、幾何開放題、幾何新定義題、幾何分類討論題，等等.以上幾何復(fù)習(xí)課的課型劃分看似分門別類、面面俱到，但是有一個不足，就是往往在一些歸類復(fù)習(xí)時，選的幾何題“形同而質(zhì)異”，學(xué)生在這些幾何習(xí)題的題海中訓(xùn)練之后，對一些經(jīng)典幾何圖形問題的變式再練容易出現(xiàn)“似曾相識，仍需要長時間思考”，結(jié)果考試時間不夠，造成解題障礙.筆者近年針對一些經(jīng)典幾何圖形問題開展“一圖一課”研究，取得較好的教學(xué)效果.下面以一個經(jīng)典幾何圖形問題為例，概述教學(xué)流程和設(shè)計意圖，最后淺談中考幾何復(fù)習(xí)的一些思考與建議，與同行們研討.

1 經(jīng)典幾何問題“一圖一課”教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)1：從一個經(jīng)典幾何問題出發(fā)

經(jīng)典幾何問題：如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上，且，連接DE、PE、DP，求證：△PDE是直角三角形.

圖1

說明：該題在不同版本的初中教材中都出現(xiàn)過，在八年級學(xué)習(xí)勾股定理的逆定理之后就可練習(xí)，在九年級學(xué)習(xí)相似之后有不同的證法.

教學(xué)組織：開課階段，先安排學(xué)生思考這道題的不同證法，然后小組內(nèi)交流，再全班匯報展示.通過交流活動，可以讓學(xué)生對這個經(jīng)典幾何問題的不同解法進(jìn)行復(fù)習(xí)與回顧，為后續(xù)變式問題提供必要的解法鋪墊.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：變式研究

變式題組：如圖2，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，PE⊥DE交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段DE上，且EQ=AE.

圖2

（1）當(dāng)AE=BE時，求四邊形BPQE的周長.

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動時，四邊形BPQE的周長是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由.

變式意圖：第（1）問比較容易，可分別求出EQ=AE=2，BE=2，利用△ADE△BEP，可得BP=1，.在Rt△PEQ中，PQ=3.從而四邊形BPQE的周長為8.

第（2）問有一定的難度，預(yù)設(shè)以下一些不同的思路.

思路1：（基于“計算”的思路）設(shè)AE=4x（注意，這里的設(shè)元比較“特殊”，主要是方便后續(xù)運(yùn)算過程中一些系數(shù)都是整數(shù)），則BE=4-4x，EQ=4x.由△ADE△BEP，可得BP=x（4-4x），PC=4-x（4-4x）.利用勾股定理表示PQ2=EP2+EQ2，PE2=BE2+BP2，將含x的式子分別代入，計算、配方出PQ2=16［1-x（1-x）］2.又PC=4-x（4-4x），可得PC2=PQ2，即PC=PQ.于是四邊形BPQE的周長可轉(zhuǎn)化為AB+BC=8.

思路2：（基于“證明”的思路）如圖3，連接PD.在Rt△PED中，PD2=EP2+ED2.在Rt △PCD 中，PD2=CP2+CD2.于是EP2+ED2=CP2+CD2，則CP2=EP2+ED2-CD2.由邊長AD=CD，可得CP2=EP2+ED2-AD2.又在Rt△AED中，AE2=ED2-AD2，所以CP2=EP2+AE2.又AE=EQ，則CP2=EP2+EQ2.而在Rt△PEQ中，PQ2=EP2+EQ2.于是PQ=PC.思路接通，四邊形BPQE的周長為定值.

圖3

教學(xué)組織：由于第（2）問比較難，所以需要給學(xué)生“較長的時間”（課堂上至少給10分鐘）思考，然后安排小組交流、全班展示.如果還有困難，教師可以給出一些“提示語”，比如，設(shè)AE=x，然后分別計算PQ、PC的長（用含x的式子表示）.教學(xué)之后，還可給出一個變式拓展問題.

拓展問題：如圖4，正方形ABCD的邊長為a，點(diǎn)E在邊AB上，連接DE，作PE⊥DE，交BC于點(diǎn)P，在DE上取一點(diǎn)Q，使EQ＝AE，連接PQ.隨著點(diǎn)E在邊AB上的不同位置，求PQ的最小值.

圖4

設(shè)計意圖：上面變式問題中的第（2）問已經(jīng)研究了周長不變的性質(zhì)，關(guān)鍵是證出PQ＝PC，拓展問題可以將PQ轉(zhuǎn)化為PC，而PC的最小值對應(yīng)著BP取得最大值.于是可設(shè)AE＝4x，則BE＝4-4x，EQ＝4x.由△ADE△BEP，可得BP＝x（4-4x）.根據(jù)二次函數(shù)的最值分析法，求出PB的最大值為1，相應(yīng)的PC的最小值為3，即PQ的最小值也為3.

教學(xué)環(huán)節(jié)3：課堂小結(jié)，布置作業(yè)

小結(jié)問題1：本課關(guān)注的這道以正方形為背景的幾何綜合題學(xué)習(xí)過程中，你覺得解題過程中哪些關(guān)鍵步驟讓你印象深刻？先思考一下，然后小組內(nèi)交流，每個小組再選派一名代表上臺講解.

小結(jié)問題2：學(xué)習(xí)本課之后，你還想到了哪些以正方形為背景的幾何綜合題求解或證明的思路與本課中的類似？小組內(nèi)先交流后再全班匯報分享.

作業(yè)設(shè)計：如圖5，正方形ABCD的邊長為2021，點(diǎn)E在邊AB上，連接DE，作FE⊥DE，交BC于點(diǎn)F，在DE上取一點(diǎn)G，使EG＝AE，連接FG.若BF＋FG＝t，求t的值.

圖5

設(shè)計意圖：解題的關(guān)鍵是證明FG＝FC，從而可以將BF＋FG轉(zhuǎn)化為BF＋FC＝BC＝2021.

2 中考幾何復(fù)習(xí)的教學(xué)建議

2.1 重視經(jīng)典問題，挖掘課本上的好題素材

教材是數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教學(xué)研究人員、數(shù)學(xué)教材編寫人員的集體智慧，不但數(shù)學(xué)概念的表述、呈現(xiàn)方式是精心設(shè)計的，圍繞一個數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)的習(xí)題編擬也是精心設(shè)計的，值得廣大一線教師深入研讀.在“用好教材”的理念指引下，要十分重視教材上一些經(jīng)典問題的教學(xué)功能.以上文中的經(jīng)典問題為例，不只是組織學(xué)生得出這道題的具體解法，還要認(rèn)識到這類問題的重要性，這類問題在不同年級、不同章節(jié)中的多角度思考，而且可以圍繞這類問題開發(fā)出一些專題課例，加深學(xué)生對這類問題的解題運(yùn)用.從這個意義上說，挖掘教材上的好題素材，應(yīng)該成為一線教師的專業(yè)基本功之一.特別是，識別課本上的好題，需要教師對本地中考試卷有較全面、細(xì)致、深入的研究，這樣遇到類似好題時，就能聯(lián)系到教材上的一些經(jīng)典例、習(xí)題，有利于進(jìn)一步的備課、預(yù)設(shè)和變式再練.

2.2 加強(qiáng)變式教學(xué)，組織學(xué)生踴躍展示

顧泠沅先生及其團(tuán)隊長期研究變式教學(xué)，成為我國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要特色.很多經(jīng)驗豐富的教師多善于開展變式教學(xué)研究.對習(xí)題教學(xué)研究來說，開展變式研究是更加重要的教研追求.以上面課例中提及的這個經(jīng)典問題為例，注重開展變式研究，可以讓學(xué)生在復(fù)習(xí)階段減少機(jī)械刷題的“無趣”，能享受到探索一道舊題的新結(jié)論的愉悅感.在組織開展經(jīng)典問題的變式教學(xué)時，教師可先安排復(fù)習(xí)學(xué)生在新授課階段曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的一些經(jīng)典問題，這個環(huán)節(jié)類似于“舊知引入”，然后有序進(jìn)行變式研究，變式問題出示之后，要留出時間讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論、全班展示.缺少獨(dú)立思考的小組討論是虛假的，多數(shù)學(xué)生在小組討論時容易成為“觀眾”而不是“思維參與者”.

2.3 適時拓展提升，訓(xùn)練學(xué)生高階思維

作為中考復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)之一，圍繞幾何問題的拓展提升也是復(fù)習(xí)課的重要追求.每份中考試卷的最后兩道大題中，都會安排一道幾何綜合題，這些幾何綜合題一般都有2～3個小問，其中最后一問都是拓展提升問題，承載著一份試卷的區(qū)分選拔功能.中考復(fù)習(xí)備考時，需要我們針對一些幾何經(jīng)典問題進(jìn)行必要的生長拓展，幫助學(xué)生深刻理解這些經(jīng)典問題，訓(xùn)練學(xué)生的高階思維，同時提升幾何綜合題的解題能力，特別是讓學(xué)生看出一些較難題也是由以前熟悉的經(jīng)典問題“一步一步”生長拓展出來的.

3 寫在后面

中考復(fù)習(xí)課的研究一直是非常重要的教研課題，如何讓“刷題式”的解題教學(xué)成為充滿探索味兒的復(fù)習(xí)課，是很多教師努力追求的復(fù)習(xí)目標(biāo).本文基于經(jīng)典幾何問題的變式拓展教學(xué)，可以看成一種課例研究的努力，我們的課例實(shí)踐還不夠豐富，認(rèn)識也不全面，期待更多同行的課例研究，讓中考復(fù)習(xí)課的研究走向深入，共同提升復(fù)習(xí)課的教學(xué)品質(zhì).