基于連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁模型的扣件動剛度測試方法

閆子權(quán)

（1.高速鐵路軌道技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團有限公司 鐵道建筑研究所，北京 100081）

軌道扣件系統(tǒng)是鋼軌與軌下結(jié)構(gòu)連接的紐帶，對保證軌道整體穩(wěn)定性和可靠性起著重要作用，是鐵路基礎(chǔ)設(shè)施中的關(guān)鍵零部件之一［1］?？奂偠仁擒壍澜Y(jié)構(gòu)力學(xué)特性的一個重要參數(shù)，也是影響列車運行速度、安全性、平穩(wěn)性以及軌道維修工作量的重要參數(shù)［2?3］。

扣件剛度可分為扣件靜剛度和扣件動剛度［4］，目前扣件靜剛度和低頻動剛度的試驗方法比較成熟，且有相應(yīng)的測試標(biāo)準(zhǔn)，如TB/T 3396.3—2015和EN 13146-9—2011 中均規(guī)定了扣件組裝靜剛度的室內(nèi)測試方法，該方法通過試驗機向組裝扣件系統(tǒng)的鋼軌施加垂直于鋼軌底面的荷載，測定鋼軌在荷載作用下產(chǎn)生的相對于軌枕的位移進(jìn)而得到靜剛度［5?6］。TB/T 3395.1—2015中規(guī)定了扣件彈性墊層低頻動剛度的試驗方法，該方法通過試驗機以恒定頻率（4 Hz）對扣件彈性墊層施加垂向循環(huán)荷載，測定最大和最小荷載下彈性墊層的最大和最小垂向位移進(jìn)而得到低頻動剛度［7］。

對于扣件高頻動剛度及服役狀態(tài)下的扣件動剛度測試方法，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究工作。動剛度取決于彈性元件的彈性、慣性和阻尼特性。由于慣性力的存在，高頻動剛度比低頻動剛度更為復(fù)雜。根據(jù)ISO 10846系列標(biāo)準(zhǔn)［8］的相關(guān)規(guī)定，彈性元件動剛度和阻尼特性的室內(nèi)測試方法有3 種，分別為直接法、間接法和驅(qū)動點法。直接法需要測量輸入端的位移和阻滯輸出力，比利時布魯塞爾大學(xué)采用直接法測量了扣件彈性墊層的動剛度［9］，但直接法的測試有效頻率范圍較低，一般小于500 Hz。間接法是用測量振動的傳遞率來實現(xiàn)，英國南安普頓大學(xué)Thompson 等［10?11］根據(jù)間接試驗方法研究了激勵頻率和預(yù)荷載對彈性墊層動剛度的影響。間接法測試頻率較高，最高可達(dá)2 000 Hz，但無法有效測得低頻處的動態(tài)特性。由測量輸入端位移和輸入力而得出的剛度就是驅(qū)動點動剛度，只有在低頻段，驅(qū)動點剛度與傳遞剛度是相等的，因此該方法的測試頻率較低，一般小于200 Hz。荷蘭代爾夫特理工大學(xué)基于頻響法搭建了可等效為單自由度系統(tǒng)的錘擊試驗臺，測試了不同種類、不同老化程度的彈性墊層動剛度［12］。韋凱等［13］基于溫頻等效原理研究了彈性墊層的頻變特性。Shen 等［14］建議將基于物理的有限元軌道模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動的高斯過程回歸模型結(jié)合起來，通過現(xiàn)場錘擊試驗從測得的頻率響應(yīng)函數(shù)直接推斷軌道部件剛度。Man等［15］通過錘擊試驗測試了軌道結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)及動態(tài)特性?？梢姡罅繉W(xué)者從扣件靜剛度室內(nèi)試驗方法及標(biāo)準(zhǔn)、動剛度的室內(nèi)試驗方法、測試設(shè)備及影響因素等方面進(jìn)行了研究，但對于服役狀態(tài)下的扣件動剛度測試方法研究較少。

將鋼軌視為置于連續(xù)彈性基礎(chǔ)上的簡支梁，推導(dǎo)扣件動剛度與鋼軌1 階彎曲振動頻率的關(guān)系，提出基于連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁模型的扣件動剛度測試方法，并采用該方法對某服役狀態(tài)下的高鐵線路軌道扣件動剛度進(jìn)行測試。

1 基于連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁模型的扣件動剛度計算式

推導(dǎo)扣件動剛度計算式時，基于如下基本假設(shè)［16］。

（1）鋼軌的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系遵循胡克定律。

（2）變形前垂直于軸的平截面在變形后仍保持平面并保持和變形后的軸垂直，即平截面假定。

（3）鋼軌滿足連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁（文克爾梁）模型的假定，即將基礎(chǔ)視為由連續(xù)排列且相互獨立的線性彈簧組成，每個彈簧的變形僅決定于作用在該彈簧上的力，而與相鄰彈簧的變形無關(guān)。

（4）忽略阻尼的影響。

根據(jù)基本假設(shè)，將鋼軌視為置于連續(xù)彈性基礎(chǔ)上的簡支梁，長度為L，如圖1所示。

圖1 連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁模型

鋼軌的無阻尼自由振動方程為［17］

其中，

式中：m為鋼軌單位長度質(zhì)量，kg·m－1；E為鋼軌彈性模量，N·m?2；I為鋼軌截面對水平軸的慣性矩，m4；k為連續(xù)分布支承剛度，即鋼軌基礎(chǔ)彈性模量，N·m－2；K為扣件動剛度，N·m－1；e為彈性支承間距，m；u（x，t）為鋼軌微元段的垂向位移，m。

鋼軌彎曲自由振動方程式（1）為4 階偏微分方程，為求其振動解，可采用分離變量法，假定

式中：φ(x)和Y(t)分別為u（x，t）2 個變量的函數(shù)。

將式（2）代入式（1）中，則有

根據(jù)文獻(xiàn)［18］可知Y(t) =sin(ωt)，ω為系統(tǒng)的固有角頻率，則有

式（4）可整理為

令α4=則有

式（6）的通解為

式中：C1，C2，C3，C4為積分常數(shù)，由邊界條件確定。

簡支梁的邊界條件為

將式（12）代入式（6）可得

解得ω為

連續(xù)分布支承剛度k為

則基于鋼軌1 階彎曲振動頻率的扣件動剛度K為

式中：fr為鋼軌1階彎曲振動頻率，Hz。

式（16）即為基于連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁模型的扣件動剛度計算式。由式（16）可知，扣件動剛度由鋼軌1 階彎曲振動的頻率和參振長度、鋼軌的單位長度質(zhì)量和抗彎剛度以及扣件支承間距決定?？梢?，對于確定的軌道結(jié)構(gòu)，可通過測量鋼軌1 階彎曲振動頻率得到扣件動剛度。

2 仿真驗證

扣件動剛度計算式是基于連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁模型推導(dǎo)的，但實際上鋼軌應(yīng)視為彈性點支承連續(xù)梁模型，彈性支承間距為扣件間距，如圖2所示。本節(jié)針對彈性點支承連續(xù)梁模型進(jìn)行仿真計算，驗證分析基于連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁模型推導(dǎo)的扣件動剛度計算式的正確性和可靠性。

圖2 彈性點支承連續(xù)梁模型

采用ANSYS 軟件建立鋼軌彈性點支承連續(xù)梁模型。仿真分析過程中充分考慮鋼軌的彎曲和扭轉(zhuǎn)變形，鋼軌采用鐵木辛柯梁模擬?？奂С胁捎镁€性彈簧模擬。為了消除邊界條件的影響，模型長度取100 m。

采用諧響應(yīng)分析鋼軌的彎曲振動頻率，即通過計算求得鋼軌在某個頻率范圍內(nèi)周期循環(huán)荷載作用下的周期響應(yīng)，并得到諧響應(yīng)值隨著頻率變化而變化的曲線，從而確定鋼軌在以正弦規(guī)律變化荷載作用下的響應(yīng)，得到鋼軌的固有頻率。仿真分析參數(shù)見表1。

表1 仿真分析參數(shù)

在扣件跨中和節(jié)點分別施加單位正弦荷載，鋼軌垂向振動仿真結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，當(dāng)扣件剛度為30 kN·mm?1時，鋼軌1階彎曲振動頻率為139 Hz。由式（16）可得，鋼軌1階彎曲振動頻率為139 Hz 時，扣件動剛度為29.7 kN·mm?1，與仿真計算中的扣件剛度30 kN·mm?1基本一致，說明基于連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁模型的扣件動剛度計算式是正確可靠的。

圖3 鋼軌垂向振動仿真結(jié)果

頻率為139 Hz處的鋼軌振型如圖4所示。由圖4可知：鋼軌發(fā)生1 階彎曲振動時，鋼軌的參振長度約為62 個扣件間距，即L=62e=40.3 m；在鋼軌1階彎曲振動參振長度中間的一定范圍內(nèi)，鋼軌幅值較大，因此采用鋼軌1階彎曲振動頻率評估扣件動剛度時，其評估范圍l可取為鋼軌參振長度L的1/2，約為20 m。

圖4 鋼軌1階彎曲振動振型

為進(jìn)一步分析扣件動剛度計算式的適用范圍，分別采用式（16）和彈性點支承連續(xù)梁仿真模型進(jìn)行鋼軌1階彎曲振動頻率在50～550 Hz范圍內(nèi)的扣件動剛度計算，結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同鋼軌1階彎曲振動頻率下的扣件動剛度

由圖5可知：隨著鋼軌1 階彎曲振動頻率的增大，式（16）和仿真模型所得的扣件動剛度差增大，鋼軌1 階彎曲振動頻率在0～300 Hz 時，計算誤差小于5%；鋼軌1 階彎曲振動頻率在300～450 Hz 時，計算誤差為5%～10%；鋼軌1 階彎曲振動頻率大于450 Hz 時，計算誤差大于10%?？芍?，基于連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁模型的扣件動剛度計算式在鋼軌1 階彎曲振動頻率小于450 Hz 時具有良好的適用性。

3 測試方法

基于扣件動剛度計算式提出服役狀態(tài)下扣件動剛度的測試方法，該測試步驟如下。

（1）選擇鋼軌激勵方式。由于扣件動剛度與鋼軌1 階彎曲振動頻率有關(guān)，而與振動幅值無關(guān)，因此可利用力錘、激振器或普通錘子對鋼軌進(jìn)行激勵。

（2）選擇鋼軌加速度傳感器型號。加速度傳感器量程應(yīng)根據(jù)激勵方式進(jìn)行選取，一般量程為500 m·s?2，頻率范圍大于5 000 Hz。

（3）數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)設(shè)置。為了有效測試鋼軌的彎曲振動頻率，數(shù)據(jù)采樣頻率大于5 000 Hz。

（4）在需要測試服役狀態(tài)下扣件動剛度的區(qū)段l范圍內(nèi)布置鋼軌加速度傳感器，在0.5l處至少布置1 個加速度傳感器，當(dāng)傳感器數(shù)量大于1 時，應(yīng)取奇數(shù)且相對于0.5l處對稱布置，如圖6所示。

圖6 服役狀態(tài)下扣件動剛度測試方法示意圖

（5）在0.5l處激勵鋼軌，激勵次數(shù)至少3 次，并同步采集加速度傳感器信號。

（6）對采集的加速度傳感器時域信號進(jìn)行快速傅里葉變換，轉(zhuǎn)換成加速度頻域信號，并獲得鋼軌1階彎曲振動頻率fr。

（7）判定測得的fr是否適用于式（16），若fr≤450 Hz，則可采用式（16）計算扣件動剛度；若fr>450 Hz，則不適用。

（8）若fr≤450 Hz，將fr帶入式（16），計算得出服役狀態(tài)下l區(qū)段內(nèi)的扣件動剛度K。

4 現(xiàn)場應(yīng)用

采用該方法在某高鐵線路上進(jìn)行了扣件動剛度現(xiàn)場測試。該高鐵線路軌道結(jié)構(gòu)為CRTS Ⅱ型板式無砟軌道，扣件采用W300-1 型扣件系統(tǒng)，扣件間距為0.65 m。

首先選擇尼龍錘頭INV 9313 型號力錘對鋼軌進(jìn)行激勵；加速度傳感器采用朗斯測試技術(shù)有限公司生產(chǎn)的LC0101 型壓電加速度傳感器，其靈敏度為10 mV·m?1·s2，量程為500 m·s?2，頻率范圍為0.5～15 000 Hz；數(shù)據(jù)采樣頻率設(shè)置為10 kHz；在測試扣件動剛度區(qū)段20 m 范圍內(nèi)布置1 個加速度傳感器，傳感器布置在測試區(qū)段正中間；用INV 9313 力錘敲擊鋼軌3 次，獲得鋼軌的加速度時域信號，如圖7所示。

圖7 3次敲擊鋼軌加速度時域圖

將3 次敲擊后的鋼軌加速度時域信號進(jìn)行快速傅里葉變換，轉(zhuǎn)換成鋼軌加速度頻域信號，并獲得此處的鋼軌1 階彎曲振動頻率fr=154 Hz，如圖8所示。判定測得的fr≤450 Hz，將鋼軌1 階彎曲振動頻率fr代入扣件動剛度式（16），可得該服役狀態(tài)下的扣件動剛度為36.5 kN·mm?1。W300-1 型扣件墊板的靜剛度范圍為20～25 kN·mm?1，按設(shè)計中值22.5 kN·mm?1考慮，該服役狀態(tài)下的扣件動剛度為墊板靜剛度的1.62倍。

圖8 鋼軌頻譜圖

5 結(jié) 論

（1）扣件動剛度由鋼軌1 階彎曲振動的頻率和參振長度、鋼軌的單位長度質(zhì)量和抗彎剛度以及扣件支承間距決定，當(dāng)軌道結(jié)構(gòu)確定時扣件動剛度可通過測試鋼軌1階彎曲振動頻率求得。

（2）扣件動剛度計算式在鋼軌1 階彎曲振動頻率小于450 Hz時計算誤差小于10%，準(zhǔn)確性較高。

（3）采用基于連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁模型的扣件動剛度測試方法，測試得到某高鐵線路CRTS Ⅱ型板式無砟軌道服役狀態(tài)下的扣件動剛度為36.5 kN·mm?1，約為墊板靜剛度的1.62倍。