基于協(xié)方差擬合準(zhǔn)則的降維空時(shí)自適應(yīng)處理方法

龐曉嬌, 趙永波, 曹成虎, 胡毅立, 陳 勝

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710071)

0 引 言

自上世紀(jì)發(fā)展至今,空時(shí)自適應(yīng)處理(space-time adaptive processing, STAP)技術(shù)受到廣大學(xué)者的關(guān)注。1973年,Brennan等人將一維濾波技術(shù)推廣到了空間和時(shí)間二維聯(lián)合空間中,對雷達(dá)信號進(jìn)行處理,并在高斯噪聲加確知信號的模型下,利用最大似然比理論,首先推導(dǎo)出空時(shí)二維最優(yōu)處理器。雖然空時(shí)二維最優(yōu)處理器是一種最優(yōu)處理結(jié)構(gòu),但是其存在較多缺陷。例如,運(yùn)算量大,需要大量的獨(dú)立同分布樣本,但是在實(shí)際的雷達(dá)環(huán)境中,雜波環(huán)境表現(xiàn)為非平穩(wěn)、非均勻,這使得最優(yōu)處理器可應(yīng)用性以及實(shí)時(shí)性較差,因此廣大學(xué)者研究了大量改進(jìn)的空時(shí)自適應(yīng)處理方法。例如,降維STAP方法,降秩STAP方法,基于稀疏性的STAP方法,基于知識輔助的STAP(knowledge-aided STAP, KA-STAP)方法等。

在降維STAP方法中,多普勒濾波后空時(shí)聯(lián)合處理方法(mDT方法)首先對各陣列通道的回波信號進(jìn)行時(shí)域?yàn)V波處理,用以減少每一個(gè)多普勒通道輸出雜波的自由度,緊接著對每一個(gè)陣元通道中的若干個(gè)多普勒通道的輸出信號進(jìn)行空時(shí)聯(lián)合自適應(yīng)處理,從而有效地實(shí)現(xiàn)雜波抑制。如果只選取一個(gè)多普勒通道的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行空時(shí)自適應(yīng)處理,被稱為1DT方法,該方法雖然對副瓣雜波的抑制接近最優(yōu)且運(yùn)算量小,但是對主瓣雜波抑制較差。當(dāng)選用多個(gè)多普勒通道的輸出數(shù)據(jù)時(shí),可以提高系統(tǒng)自由度,實(shí)現(xiàn)對雜波的有效抑制,但是選用的多普勒通道越多,所需的訓(xùn)練樣本數(shù)越多。而且多普勒濾波后空時(shí)聯(lián)合處理方法普遍存在當(dāng)陣元數(shù)增多時(shí),所需訓(xùn)練樣本數(shù)也增多的問題。

針對以上多普勒濾波后空時(shí)聯(lián)合處理方法存在的問題,本文提出了一種基于協(xié)方差擬合準(zhǔn)則的降維空時(shí)自適應(yīng)處理方法。該方法首先對機(jī)載雷達(dá)回波信號進(jìn)行時(shí)域?yàn)V波,然后利用協(xié)方差擬合準(zhǔn)則構(gòu)造了在高斯信源下與最大似然估計(jì)器漸近等價(jià)的優(yōu)化問題,同時(shí)我們將協(xié)方差擬合優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為半定規(guī)劃問題,并利用凸優(yōu)化工具包求解優(yōu)化問題,進(jìn)而對時(shí)域?yàn)V波后的數(shù)據(jù)所對應(yīng)的雜波加噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)。本文分別對選用一個(gè)多普勒通道的輸出數(shù)據(jù)對應(yīng)的雜波加噪聲協(xié)方差矩陣以及選取多個(gè)多普勒通道輸出數(shù)據(jù)對應(yīng)的雜波加噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行分析。仿真實(shí)驗(yàn)表明利用協(xié)方差擬合準(zhǔn)則估計(jì)雜波加噪聲協(xié)方差矩陣所需的訓(xùn)練樣本數(shù)少于傳統(tǒng)多普勒濾波后空時(shí)聯(lián)合處理方法,且雜波抑制性能更好。

1 信號模型

假設(shè)相控陣機(jī)載雷達(dá)側(cè)面陣由×的矩形平面陣構(gòu)成,如圖1所示,按列微波合成后,得到陣元數(shù)為的等效線陣。設(shè)機(jī)載雷達(dá)以速度沿著側(cè)面陣方向飛行,且機(jī)載雷達(dá)在一個(gè)相干處理間隔內(nèi)發(fā)射個(gè)脈沖重復(fù)周期為的脈沖,雷達(dá)波長為,則第個(gè)距離環(huán)的雜波加噪聲回波信號為

圖1 機(jī)載相控陣?yán)走_(dá)系統(tǒng)Fig.1 Airborne phased-array radar system

(1)

式中：表示第個(gè)雜波散射點(diǎn)的回波復(fù)幅度；?表示Kronecker積；,與,分別表示第距離環(huán)上第個(gè)雜波散射點(diǎn)的時(shí)域?qū)蚴噶颗c空域?qū)蚴噶?具體形式為

,=[1,ej2π,,…,ej2π(-1),]

(2)

,=[1,ej2π,,…,ej2π(-1),]

(3)

雜波加噪聲信號的時(shí)空二維相關(guān)矩陣為

(4)

式中：E[·]表示求期望操作；表示×維的單位矩陣；表示第個(gè)距離環(huán)的雜波相關(guān)矩陣。

2 基于協(xié)方差擬合準(zhǔn)則的降維STAP方法

當(dāng)陣元數(shù)增多時(shí),mDT方法所需的訓(xùn)練樣本數(shù)也會大大增加,這在實(shí)際雜波環(huán)境是無法滿足的,針對這一問題,本文提出了一種基于協(xié)方差擬合準(zhǔn)則的降維STAP方法。該方法首先對回波信號進(jìn)行時(shí)域?yàn)V波,然后利用協(xié)方差擬合準(zhǔn)則對時(shí)域?yàn)V波后的雜波數(shù)據(jù)所對應(yīng)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)。如果只選取一個(gè)多普勒通道的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行空時(shí)處理,時(shí)域?yàn)V波后的雜波協(xié)方差矩陣滿足Toeplitz性質(zhì),但是選取多個(gè)多普勒通道的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行空時(shí)聯(lián)合處理時(shí),其對應(yīng)的雜波協(xié)方差矩陣不再滿足Toeplitz性質(zhì),鑒于此,需要對這兩種情況分別進(jìn)行討論。本節(jié)先對選取一個(gè)多普勒通道的輸出數(shù)據(jù)時(shí)的情況進(jìn)行分析,之后再分析選取多個(gè)多普勒通道輸出數(shù)據(jù)的情況。

2.1 改進(jìn)的1DT方法

傳統(tǒng)1DT方法的時(shí)域?yàn)V波器借助離散傅里葉變化(discrete Fourier transform, DFT)技術(shù)設(shè)計(jì),利用加窗技術(shù)來抑制副瓣雜波,對主瓣雜波抑制有限。為了能夠同時(shí)抑制主瓣雜波與副瓣雜波,本文提出通過有限長單位沖激響應(yīng)(finite impulse response, FIR)濾波器將脈沖維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到時(shí)域維數(shù)據(jù),同時(shí)抑制雜波,該FIR濾波器不僅有低副瓣,還可以在主瓣雜波處形成一個(gè)寬而深的凹口,用來抑制主瓣雜波。

2.1.1 時(shí)域FIR濾波器設(shè)計(jì)

利用最小方差無畸變響應(yīng)(minimum variance distortionless response, MVDR)方法,使濾波器的輸出功率最小,并保證對濾波器中心頻率處的輸出恒定。即

(5)

式中：為FIR濾波器的權(quán)值；()=[1,ej2π,…,ej2π(-1)]是指定中心頻率處的導(dǎo)頻矢量；為與主瓣區(qū)雜波有關(guān)的相關(guān)矩陣,具體形式為

(6)

(7)

(8)

求解式(5)可以得到FIR濾波器的權(quán)值為

(9)

本文中,通過加窗處理來降低副瓣,加窗后的新的權(quán)值為

(10)

式中：()=a(),=diag(),=[,,…,]指的是加窗系數(shù)。

212 雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)

時(shí)域?yàn)V波后,對其輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行空域?yàn)V波,保持第個(gè)多普勒通道目標(biāo)信號能量不變的前提下抑制雜波使得輸出能量最小,即

(11)

式中：

(12)

(13)

(14)

由于時(shí)域?yàn)V波后數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可逆,而且各雜波散射點(diǎn)之間互不相關(guān),則時(shí)域?yàn)V波后數(shù)據(jù)的理論協(xié)方差矩陣可以表達(dá)為

(15)

正如式(15)所示,時(shí)域?yàn)V波后的理論雜波協(xié)方差矩陣可以被待估參數(shù)精確表示,因此協(xié)方差擬合準(zhǔn)則可以被用來估計(jì)雜波加噪聲協(xié)方差矩陣。不同于目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的是,在機(jī)載雷達(dá)中,只需估計(jì)雜波加噪聲協(xié)方差矩陣,不需要再估計(jì)各雜波散射點(diǎn)的方位與功率。同時(shí),在文獻(xiàn)[27]對協(xié)方差擬合準(zhǔn)則做了進(jìn)一步優(yōu)化,將協(xié)方差擬合準(zhǔn)則推廣到樣本數(shù)小于系統(tǒng)維數(shù)時(shí)的情形。根據(jù)文獻(xiàn)[27]可知,用以估計(jì)改進(jìn)的1DT方法中時(shí)域?yàn)V波后的雜波加噪聲協(xié)方差矩陣的協(xié)方差擬合準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)為

(16)

為了估計(jì)協(xié)方差矩陣,通過最小化式(16)中的代價(jià)函數(shù),求得協(xié)方差矩陣。訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)不同時(shí),代價(jià)函數(shù)有所不同,針對以上兩種不同情況,代價(jià)函數(shù)的求解方式分別如下。

(1) 當(dāng)≥時(shí),通過式(16)求解雜波加噪聲協(xié)方差矩陣:

(17)

Frobenius范數(shù)是一個(gè)跡函數(shù),即

(18)

因此式(17)還可以寫為

(19)

(20)

(21)

正如文獻(xiàn)[27]所述,為了計(jì)算優(yōu)化問題式(21),輔助變量被引入,優(yōu)化問題式(21)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(22)

(2) 當(dāng)<時(shí),由于

(23)

(24)

(25)

2.2 改進(jìn)的2DT方法

與1DT方法相比,2DT方法選取第-1個(gè)與第個(gè)多普勒通道的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行聯(lián)合自適應(yīng)處理,用以提高時(shí)域處理的穩(wěn)定性,假設(shè)聯(lián)合兩個(gè)多普勒通道的輸出數(shù)據(jù)為

(26)

(27)

其中,

則2DT方法的自適應(yīng)濾波權(quán)值為

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

3 性能分析

本節(jié)對所提算法的運(yùn)算量進(jìn)行分析。首先對改進(jìn)的1DT方法進(jìn)行分析。與1DT方法不同,改進(jìn)的1DT方法重新設(shè)計(jì)一組時(shí)域FIR濾波器,并利用協(xié)方差擬合準(zhǔn)則估計(jì)雜波加噪聲的協(xié)方差矩陣。然而,在實(shí)際應(yīng)用中,雷達(dá)系統(tǒng)的參數(shù)是已知的,由此可提前估計(jì)主瓣雜波協(xié)方差矩陣,同時(shí)假定一噪聲功率值,再根據(jù)式(10)求解時(shí)域FIR濾波器權(quán)值,并存入權(quán)系數(shù)庫中。因此,改進(jìn)的1DT方法的計(jì)算量主要集中于雜波加噪聲的協(xié)方差估計(jì)中,由式(22)可以看出,利用協(xié)方差擬合準(zhǔn)則求解雜波加噪聲協(xié)方差矩陣的優(yōu)化問題是一個(gè)半定規(guī)劃問題,用內(nèi)點(diǎn)法求解問題式(22)的計(jì)算量為((2)35)。綜上所述,改進(jìn)的1DT方法總的計(jì)算量為(+23+(2)35),其中為改進(jìn)的1DT方法所用的訓(xùn)練樣本數(shù)。與改進(jìn)1DT方法相似,改進(jìn)的2DT方法的計(jì)算量主要集中于優(yōu)化問題式(35)或優(yōu)化問題式(37)的求解,其計(jì)算量為((4)35),所以2DT方法總的計(jì)算量為((2)+2(2)3+(4)35),其中為改進(jìn)的2DT方法所需的訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

在后多普勒自適應(yīng)處理方法中,由于時(shí)域?yàn)V波器設(shè)置的好壞,決定了時(shí)域?yàn)V波后雜波剩余的多少,也決定了剩余雜波的自由度,因此本節(jié)首先對改進(jìn)1DT方法的時(shí)域FIR濾波器的性能進(jìn)行評估,并與傳統(tǒng)1DT方法中的DFT濾波器進(jìn)行比較,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。圖2顯示了以=-0.31為濾波器歸一化中心頻率時(shí)DFT濾波器與FIR濾波器的頻響圖,由圖2可以看出,與DFT濾波器相比,FIR濾波器可以在指定區(qū)域(主瓣雜波區(qū))存在一個(gè)深凹口。因而,FIR濾波器與DFT濾波器相比,不僅有低旁瓣,還在主瓣雜波區(qū)有一個(gè)更低的凹口。

圖2 多普勒濾波器頻率響應(yīng)圖(ft=-0.31)Fig.2 Frequency response of Doppler filter (ft=-0.31)

在本文中通過輸出信雜噪比(signal to clutter-plus-noise ratio, SCNR)來衡量各STAP算法的性能。對于1DT方法來說,輸出SCNR的具體表達(dá)式為

(38)

式中：為目標(biāo)的回波幅度。對于2DT來說,輸出SCNR的具體表達(dá)式為

(39)

圖3與圖4分別給出了訓(xùn)練樣本數(shù)為60與20時(shí)的各方法的雜波抑制性能比較圖。

圖3 不同方法的輸出SCNR比較圖(L1=60)Fig.3 Output SCNR comparison of different methods (L1=60)

圖4 不同方法的輸出SCNR比較圖(L1=20)Fig.4 Output SCNR comparison of different methods (L1=20)

當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為60時(shí),接近于1DT方法所需的最少樣本數(shù),即2=64,而訓(xùn)練樣本數(shù)為20時(shí),已經(jīng)不能滿足1DT方法所需的最小樣本數(shù)。從圖3可以看出,當(dāng)樣本數(shù)足夠時(shí),改進(jìn)的1DT方法優(yōu)于傳統(tǒng)的1DT方法,且性能接近于最優(yōu)STAP方法的性能。從圖4可以看出,當(dāng)樣本數(shù)不足時(shí),改進(jìn)的1DT方法依然可以保持良好的雜波抑制性能,然而傳統(tǒng)的1DT方法雜波抑制性能有所惡化。

為了更好的評估訓(xùn)練樣本數(shù)對改進(jìn)1DT方法的性能的影響,圖5給出了不同方法隨訓(xùn)練樣本數(shù)的性能變化圖。從圖5可以看出,同樣的訓(xùn)練個(gè)數(shù)時(shí),改進(jìn)的1DT方法優(yōu)于傳統(tǒng)的1DT方法,而且,在少樣本條件下,改進(jìn)的1DT方法性能損失不大,也就是說,改進(jìn)的1DT方法可以實(shí)現(xiàn)少樣本下的雜波加噪聲協(xié)方差矩陣準(zhǔn)確估計(jì),并保證良好的雜波抑制性能。

圖5 輸出SCNR隨訓(xùn)練樣本數(shù)的變化情況(1DT)Fig.5 Output SCNR versus the number of training samples (1DT)

接下來,對改進(jìn)的2DT方法的性能進(jìn)行評估,圖6與圖7分別給出了訓(xùn)練樣本數(shù)為120與64的雜波抑制性能圖。

圖6 不同方法的輸出SCNR比較圖(L2=120)Fig.6 Output SCNR comparison of different methods (L2=120)

圖7 不同方法的輸出SCNR比較圖(L2=64)Fig.7 Output SCNR comparison of different methods (L2=64)

對于傳統(tǒng)的2DT方法,需要最少4=128個(gè)訓(xùn)練樣本。從圖6可以看出,當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)足夠時(shí),改進(jìn)的2DT方法與傳統(tǒng)的2DT方法均有良好的雜波抑制性能,且改進(jìn)的2DT方法的雜波抑制性能稍微優(yōu)于傳統(tǒng)的2DT方法。從圖7可以看出,當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)不充分時(shí),傳統(tǒng)的2DT方法性能出現(xiàn)惡化,而改進(jìn)的2DT方法性能損失不大。

為了進(jìn)一步評估訓(xùn)練樣本數(shù)對改進(jìn)的2DT方法的影響,圖8給出了不同方法隨訓(xùn)練樣本數(shù)的性能變化圖。從圖8可以看出,相同樣本條件下,改進(jìn)的2DT方法始終優(yōu)于傳統(tǒng)的2DT方法,且改進(jìn)的2DT方法收斂速度快于傳統(tǒng)的2DT方法。

圖8 輸出SCNR隨訓(xùn)練樣本數(shù)的變化情況(2DT)Fig.8 Output SCNR versus the number of training samples (2DT)

5 結(jié) 論

本文提出的基于協(xié)方差擬合準(zhǔn)則的降維空時(shí)自適應(yīng)處理方法,利用協(xié)方差擬合準(zhǔn)則進(jìn)行雜波加噪聲協(xié)方差矩陣估計(jì),相比于傳統(tǒng)的多普勒濾波后空時(shí)聯(lián)合處理方法,可以實(shí)現(xiàn)更少訓(xùn)練樣本條件下,良好的雜波抑制性能。

改進(jìn)的1DT方法利用主瓣雜波與錐角之間的一一對應(yīng)關(guān)系,設(shè)計(jì)時(shí)域FIR濾波器,使主瓣雜波區(qū)可以形成有一定寬度的深零陷,有效抑制主瓣雜波,提高雜波抑制性能。同時(shí)改進(jìn)的1DT方法利用協(xié)方差擬合準(zhǔn)則估計(jì)時(shí)域?yàn)V波后的雜波加噪聲協(xié)方差矩陣,實(shí)現(xiàn)了少樣本條件下,對雜波的有效抑制。同時(shí),改進(jìn)的2DT方法利用協(xié)方差擬合準(zhǔn)則估計(jì)雜波加噪聲協(xié)方差矩陣,在相同訓(xùn)練樣本數(shù)條件下,其性能始終優(yōu)于傳統(tǒng)的2DT方法。