“數(shù)”“形”和諧統(tǒng)一，問題巧妙破解*
——以2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第15題為例

?甘肅省武山縣第一高級(jí)中學(xué) 田 娟

平面向量具有獨(dú)特的“數(shù)”與“形”的“兩面性”，既可以從“數(shù)”的因素加以抽象或運(yùn)算，又可以從“形”的思維加以設(shè)置或切入，一直是高考數(shù)學(xué)的常見題型之一，?？汲Ｐ拢瑒?chuàng)新新穎，變化多端.實(shí)際破解此類問題時(shí)，要全面提高用“數(shù)”、解“數(shù)”思維，拓展識(shí)“形(圖)”、用“形(圖)”能力，充分強(qiáng)化與實(shí)現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)在平面向量及其他相關(guān)問題中的巧妙應(yīng)用.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題(2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第15題)已知向量a+b+c=0，|a|=1，|b|=|c|=2，則a·b+b·c+c·a=______.

2 真題剖析

該題條件簡(jiǎn)潔明了，以平面向量為問題背景，已知三個(gè)平面向量的模，以及三者之和為零向量，進(jìn)而確定三個(gè)向量?jī)蓛芍g的數(shù)量積之和.

試題中平面向量b與c之間具有對(duì)稱性，二者可以輪換處理，與向量a三者之間的和為零向量，為問題中三個(gè)向量?jī)蓛芍g的數(shù)量積之和的求解指明了方向.

具體破解時(shí)，可以直接利用平面向量的代數(shù)運(yùn)算，結(jié)合平面向量的線性關(guān)系式的平方處理，或整體處理，或同級(jí)別局部處理，或差級(jí)別局部處理；結(jié)合平面向量的幾何直觀性，結(jié)合平面向量的投影加以數(shù)形結(jié)合處理；結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的建立，利用條件確定對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式處理等.不同思維視角，破解方法不同，都可以達(dá)到巧妙轉(zhuǎn)化，正確破解的目的.

3 真題破解

思維視角一：代數(shù)思維

方法1：整體思維.

解析：由a+b+c=0，兩邊平方可得(a+b+c)2=02.

展開得|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0，將條件代入，可得

1+4+4+2(a·b+b·c+c·a)=0.

點(diǎn)評(píng)：將所求的式子看作一個(gè)整體，結(jié)合條件中三個(gè)向量之和為零向量加以兩邊平方處理，去括號(hào)展開并利用向量的模加以代入，整理即可求解對(duì)應(yīng)的結(jié)論.整體思維處理，高觀點(diǎn)切入，巧妙簡(jiǎn)捷.

方法2：局部思維.

解析：由a+b+c=0，可得a+b=-c.兩邊平方，可得(a+b)2=c2.

點(diǎn)評(píng)：將條件中三個(gè)向量之和為零向量加以移項(xiàng)處理，將其中兩個(gè)向量之和作為一個(gè)局部看待，兩邊進(jìn)行平方處理，去括號(hào)展開并利用向量的模加以代入，求得其中兩個(gè)向量數(shù)量積的值，同理求解另外兩個(gè)相應(yīng)向量數(shù)量積的值，相加即可求解對(duì)應(yīng)的結(jié)論.局部思維處理，逐一求解數(shù)量積，局部分析，逐個(gè)擊破.

方法3：局部加強(qiáng)思維.

解析：由a+b+c=0，可得a+b=-c，兩邊平方，可得(a+b)2=c2.

又由a+b=-c，可得(a+b)·c=-c·c=-|c|2=-4，即a·c+b·c=-4.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合局部思維確定其中兩個(gè)向量數(shù)量積的值，再利用移項(xiàng)后的結(jié)果兩邊同時(shí)與第三個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算，是局部思維的“加強(qiáng)”版，二者相加即可求解對(duì)應(yīng)的結(jié)論.局部加強(qiáng)思維，善于觀察，合理變換，巧妙應(yīng)用，很好提高解題效益.

思維視角二：幾何思維

方法4：投影思維.

圖1

連接BC，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作BO的延長(zhǎng)線的垂線，垂足為N.

結(jié)合題目條件以及圖形的對(duì)稱性，可知4|OM|=2|OA|=|OB|=|OC|=2，BC⊥AM.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)平面幾何作圖處理，利用圖形的對(duì)稱性可知向量b與c關(guān)于向量a所在的直線對(duì)稱；通過幾何圖形的直觀，結(jié)合垂直的作圖處理，利用直角三角形相似的性質(zhì)確定對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)度；結(jié)合平面向量的投影確定對(duì)應(yīng)三個(gè)向量?jī)蓛芍g的數(shù)量積，相加即可求解對(duì)應(yīng)的結(jié)論.幾何直觀對(duì)稱，垂直投影運(yùn)算.

思維視角三：坐標(biāo)思維

方法5：坐標(biāo)思維.

圖2

結(jié)合勾股定理，可得

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的建立，利用圖形的對(duì)稱性以及幾何圖形與平面向量之間的關(guān)系，運(yùn)用平面向量的線性運(yùn)算與幾何圖形的特征，分別建立三個(gè)向量的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式來(lái)求解.建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合代數(shù)知識(shí)，從幾何角度確定坐標(biāo)，利用坐標(biāo)確定數(shù)量積.

4 變式拓展

探究：根據(jù)以上高考真題及其破解方法，保留三個(gè)平面向量之和為零向量的背景，改變各自模的取值，使問題更具一般性，可以得到以下一般性的變式問題.這時(shí)，只能考慮借助代數(shù)思想來(lái)分析與處理.

變式已知向量a+b+c=0，|a|=m，|b|=n，|c|=p，其中常數(shù)m，n，p均為正實(shí)數(shù)，則a·b+b·c+c·a=______.

解析：由a+b+c=0，兩邊平方可得(a+b+c)2=02，即

|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0.

所以m2+n2+p2+2(a·b+b·c+c·a)=0.

5 解后反思

(1)抓住平面向量“數(shù)”的特征來(lái)運(yùn)算

破解平面向量問題時(shí)，往往可以直接從平面向量“數(shù)”的特征入手，利用平面向量“數(shù)”的因素加以抽象或運(yùn)算，利用平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算等，或借助平面直角坐標(biāo)系的建立結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決，利用代數(shù)的本質(zhì)加以合理轉(zhuǎn)化與巧妙運(yùn)算.

(2)抓住平面向量“形”的思維來(lái)直觀想象

破解平面向量問題時(shí)，往往可以直接從平面向量“形”的思維入手，結(jié)合平面向量“形”的直觀確定數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等，特別是涉及一些有關(guān)平行、垂直的關(guān)系，利用平面向量的幾何圖形，結(jié)合幾何推理與直觀運(yùn)算加以形象處理.

借助平面向量“數(shù)”與“形”的和諧統(tǒng)一與相互轉(zhuǎn)化，或從“數(shù)”的角度加以代數(shù)運(yùn)算，或從“形”的角度加以直觀想象，總結(jié)技巧策略，發(fā)散解題思維，提升數(shù)學(xué)能力，形成良好品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).