絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法中壓電層合板的大變形研究

郭永彬，孫靖堯，黎 亮，章定國(guó)

（南京理工大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210094）

1 概 述

壓電材料是一種同時(shí)具備正逆壓電效應(yīng)的智能材料，可被用作傳感器和作動(dòng)器，并被廣泛用于振動(dòng)控制、壓電驅(qū)動(dòng)、健康監(jiān)測(cè)、能量收集等領(lǐng)域。由于近年來(lái)對(duì)輕型結(jié)構(gòu)的需求不斷增多，在上述的應(yīng)用中，特別是壓電驅(qū)動(dòng)方面，包含大變形的壓電層合結(jié)構(gòu)具有越來(lái)越重要的研究?jī)r(jià)值。當(dāng)結(jié)構(gòu)的表面被壓電復(fù)合材料覆蓋并且施加外部電壓到作動(dòng)器時(shí)，可折疊的智能結(jié)構(gòu)（例如折紙結(jié)構(gòu)和軟體機(jī)器人）可以變形到所需的形狀。

目前，已有大量論文進(jìn)行過(guò)包含壓電材料的結(jié)構(gòu)的非線性分析［1-6］，這些研究工作主要關(guān)注傳統(tǒng)的壓電陶瓷。實(shí)際上，壓電陶瓷通常具有較高的結(jié)構(gòu)剛度，這使其在粘結(jié)過(guò)程中（尤其是在粘貼彎曲表面上時(shí)）易于損壞。而壓電纖維基復(fù)合材料不僅具有柔韌性，還具有很高的驅(qū)動(dòng)力，因此受到了研究人員的關(guān)注。即使經(jīng)歷大的變形，壓電復(fù)合材料仍可以緊密地貼合基層的表面。郭翔鷹等［7］研究了壓電纖維復(fù)合材料（MFC）層合殼的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。研究人員還證實(shí)，使用基于壓電纖維的復(fù)合材料（如PVDF 和MFC）在結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制方面的性能要優(yōu)于傳統(tǒng)的壓電陶瓷［7-8］。上述工作采用的理論均是基于小變形假設(shè)，因此并不適用于研究結(jié)構(gòu)的大變形問(wèn)題。

絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法（ANCF 法）由Shabana 等建立［9-10］，與假設(shè)模態(tài)法以及傳統(tǒng)有限元法相比，ANCF法更適合柔性系統(tǒng)大變形建模。在過(guò)去的20年中，大量學(xué)者嘗試了不同的新單元來(lái)描述更為復(fù)雜的機(jī)械模型［11］或解決早期研究中出現(xiàn)的諸如泊松鎖定和剪切鎖定等問(wèn)題［12］，并提高計(jì)算的精度［13］。ANCF法具有常質(zhì)量矩陣，零離心力和科氏力等特點(diǎn)，并且可以精確描述剛體的運(yùn)動(dòng)［14］。唯一形式復(fù)雜的部分是剛度陣，它是由連續(xù)介質(zhì)力學(xué)或彈性線方法推導(dǎo)出的［15］。隨著ANCF 的廣泛應(yīng)用，該方法也可用于創(chuàng)建更精確的模型來(lái)分析復(fù)合結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性。張煒華等［16］對(duì)大變形復(fù)合材料薄板的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方法進(jìn)行了研究。游斌弟等［17］進(jìn)行了空間望遠(yuǎn)鏡層合材料鏡片展開(kāi)過(guò)程非線性動(dòng)力學(xué)行為分析。目前對(duì)于層合結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)，主要有兩種描述方法：等效單層（ESL）模型和分層模型［18］。在ESL 模型中，層合結(jié)構(gòu)的變形將被視為與單層結(jié)構(gòu)相同。不同層的運(yùn)動(dòng)和變形都使用相同的自由度，該自由度一般在多層結(jié)構(gòu)的中間軸上。這種建模方法的優(yōu)點(diǎn)是，沿厚度方向的位移場(chǎng)是平滑的，并且無(wú)需層與層之間的邊界條件，因此計(jì)算效率大為提高［19］。在分層模型中，位移場(chǎng)在每個(gè)層中都是平滑的，但在層的界面處不是平滑的。ESL 模型和分層模型的示意圖如圖1所示。使用分層模型得到的結(jié)果一般更準(zhǔn)確，但由于自由度過(guò)多，會(huì)影響計(jì)算效率。

圖1 層合結(jié)構(gòu)模型Fig.1 The model of laminated structures

基于ANCF 法的ESL 模型也可用于小變形或大變形的壓電層合結(jié)構(gòu)。Gilardi 等［20］基于ANCF法建立了壓電作動(dòng)器覆蓋的柔性梁模型，研究了其靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性，并優(yōu)化了高速旋轉(zhuǎn)下的振動(dòng)控制效果。Jiang 等［21］基于高階位移場(chǎng)，二次電勢(shì)場(chǎng)和線性溫度場(chǎng)建立了壓電層合板結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，并提供了數(shù)值模擬計(jì)算。Liu 等［22］提出了一種新的計(jì)算方法用于由層合板組成的大型剛?cè)岫囿w系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析。文獻(xiàn)［23-24］基于ANCF 法建立了多層壓電薄板單元模型，并分析了由壓電作動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的三層薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。將計(jì)算的數(shù)值結(jié)果與商業(yè)有限元軟件COMSOL 的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)論較為一致。但是文獻(xiàn)［23-24］在推導(dǎo)過(guò)程的彈性力項(xiàng)中忽略了拉伸項(xiàng)應(yīng)變，這使得該單元只能用于低張力板；同時(shí)，其建立的層合板離散模型使用的單元數(shù)量較少，有可能會(huì)在橫向變形更大的情況下達(dá)不到計(jì)算精度要求。易燦明等［25］基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法，通過(guò)變形協(xié)調(diào)條件，建立了以基層為薄板單元，壓電層為梁?jiǎn)卧牧喊羼詈夏Ｐ汀?/p>

本文采用ANCF 法，在文獻(xiàn)［23-24］的基礎(chǔ)上建立了一種考慮板的拉伸項(xiàng)應(yīng)變的壓電層合薄板單元，推導(dǎo)了該單元的動(dòng)力學(xué)方程，并進(jìn)行了幾組靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)仿真。結(jié)論指出，壓電層合薄板單元也可以很好地和線彈性單元耦合，即可以表達(dá)壓電材料覆蓋在層合薄板上任意位置的情況。

2 動(dòng)力學(xué)模型

2.1 縮減板單元

在絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法中，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)將定義在全局坐標(biāo)系中。對(duì)于層合薄板單元，全局坐標(biāo)將存在于三維空間中。如圖2所示，板單元中面上任意一點(diǎn)P的位置矢量r在全局坐標(biāo)中描述為：

圖2 層合薄板單元模型Fig.2 The model of thin laminated plate

式中r1，r2和r3分別為全局位置矢量r的三個(gè)分量；S為單元的形函數(shù)，具體形式為：

其中：

式中l(wèi)和w分別代表未變形狀態(tài)下板單元的長(zhǎng)度和寬度；I3×3是一個(gè)大小為3×3 的單位矩陣。ξ=x/l，η=y/w。x和y分別代表板單元未變形時(shí)中面上任意一點(diǎn)P在板單元坐標(biāo)系下沿長(zhǎng)度方向和寬度方向的坐標(biāo)。

對(duì)于四節(jié)點(diǎn)縮減板單元，每個(gè)絕對(duì)坐標(biāo)應(yīng)包含9 個(gè)自由度，分別為：

這樣每個(gè)單元應(yīng)包含36 個(gè)自由度。

2.2 等效單層模型

在對(duì)層合單元的積分過(guò)程中，需要分成三個(gè)部分來(lái)逐層積分。假設(shè)板單元長(zhǎng)度為l，寬度為w，基層厚度為hp，壓電作動(dòng)器厚度為ha，壓電傳感器厚度為hs，則：

式中Vp，Va和Vs分別為板單元中基層、壓電作動(dòng)器和壓電傳感器的單元體積。

如果是單層板單元，則只需要公式（5）中的第一項(xiàng)，即：

2.3 壓電材料的本構(gòu)方程

在三維空間中，如果壓電材料僅在z軸方向產(chǎn)生極化效應(yīng)，那么壓電材料的本構(gòu)方程將表示為：

式中σ表示應(yīng)力矢量；ε表示應(yīng)變矢量；cE表示彈性矩陣；E表示電場(chǎng)強(qiáng)度；D表示電位移；e表示壓電常數(shù)矩陣；?表示介電常數(shù)矩陣。

各分量寫(xiě)成矩陣或向量形式為：

式中υ和cE分別代表壓電材料的泊松比和彈性模量。

對(duì)于基層的線彈性材料，可以將本構(gòu)方程中的壓電常數(shù)矩陣和介電常數(shù)矩陣均視為0 矩陣，則可退化為線彈性材料的本構(gòu)方程，即：

另外，需要注意的是，當(dāng)基層彎曲時(shí)，覆蓋在頂層的壓電傳感器中的電荷將在內(nèi)部移動(dòng)，從而導(dǎo)致壓電傳感器的上端和下端的電荷分布不均勻，傳感器將收集此電壓信號(hào)作為反饋。同時(shí)，如果對(duì)作動(dòng)器施加電壓則會(huì)導(dǎo)致基層彎曲。壓電層中的電壓和電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系為：

式中?s和?a分別代表傳感器和作動(dòng)器的電壓；Es和Ea分別表示傳感器和作動(dòng)器的電場(chǎng)強(qiáng)度。

2.4 廣義質(zhì)量陣

將公式（1）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可以得到：

層合板單元的動(dòng)能表示為：

其中，單元質(zhì)量陣可由動(dòng)能導(dǎo)出：

式中ρ為板單元的等效密度。

2.5 廣義彈性力

層合板單元的彈性勢(shì)能為：

將壓電材料的本構(gòu)方程代入公式（20）可得：

將公式（21）對(duì)廣義坐標(biāo)q求導(dǎo)后可得：

其中

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，應(yīng)變表示為：

其中，拉伸方向的應(yīng)變?chǔ)舖由拉格朗日應(yīng)變張量導(dǎo)出：

分別將εm對(duì)絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)求一次和二次偏導(dǎo)，可以得到下式：

彎曲方向的應(yīng)變由曲率的定義式導(dǎo)出，其中精確的曲率公式為：

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，曲率可以簡(jiǎn)化為以下形式，本文中稱之為一次簡(jiǎn)化公式：

或者簡(jiǎn)化為曲率和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)之間的線性關(guān)系，本文中稱之為線性簡(jiǎn)化公式：

接下來(lái)以精確的曲率公式為例進(jìn)行推導(dǎo)，其他的形式同理。在公式（29）中，有：

以及

其中

將n對(duì)絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)求一次和二次偏導(dǎo)，可得：

將對(duì)絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)求一次和二次偏導(dǎo)，可得：

曲率κ對(duì)絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)求一次偏導(dǎo)為：

將公式（26）～（39）代入（23）和（24）可以得到：

其中，公式（41）還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

推導(dǎo)過(guò)程中一些與結(jié)構(gòu)橫截面幾何形狀有關(guān)的常數(shù)如下：

式中 下標(biāo)p，a和s分別代表基層，作動(dòng)器層和傳感器層。

2.6 廣義壓電力

在壓電層合單元中，電勢(shì)能為：

將本構(gòu)方程代入公式（45）可得：

將電勢(shì)能分別對(duì)傳感器層電壓?s和作動(dòng)器層電壓?a求導(dǎo)，可以得到廣義壓電力：

如果不考慮外界在作動(dòng)器上輸入的電壓，則有QDse=0 以及QDae=0，這樣即可對(duì)公式（47）和（48）求解，得出由結(jié)構(gòu)變形引起的壓電材料上下端的電勢(shì)差。

2.7 動(dòng)力學(xué)方程

在求得單元內(nèi)的上述各項(xiàng)之后，需要對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行組裝。

式中Be表示薄板單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)向量對(duì)應(yīng)總體絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列陣中的布爾定位矩陣；M表示整體質(zhì)量矩陣；QE表示板的整體廣義彈性力向量；QF表示整體廣義外力向量；QDs表示傳感器層的整體廣義壓電力；QDa表示作動(dòng)器層的整體廣義壓電力。

組裝后則得到整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程如下：

如果求解靜力學(xué)問(wèn)題，則動(dòng)力學(xué)方程中將不包含這一項(xiàng)。

3 仿真算例

3.1 不同曲率計(jì)算形式的收斂性分析

在進(jìn)行壓電層合結(jié)構(gòu)的相關(guān)仿真之前，有必要先明確在大變形范圍內(nèi)三種不同的曲率表達(dá)形式的適用性。如圖3所示層合懸臂板，長(zhǎng)度l=0.5 m，寬度w=0.15 m，厚度分別為中層0.4 mm，上下層各0.3 mm。所有層均為相同的線彈性材料，彈性模量E=207 GPa，泊松比為0.3。板的兩個(gè)端部分別受到兩個(gè)大小為F=15 N 的集中力外載荷。分別取單元數(shù)為1～48 個(gè)的情況，求解出集中力施加位置處薄板的橫向位移，研究三種不同的曲率表達(dá)形式下各自的收斂性，其結(jié)果如圖4所示。同時(shí)與商業(yè)有限元軟件ABAQUS 的結(jié)論進(jìn)行對(duì)比，ABAQUS 仿真中網(wǎng)格尺寸劃分大小為0.005 m，仿真結(jié)果顯示板的末端橫向位移為?0.2868 m，結(jié)果如圖5所示。

圖3 三層線彈性板模型Fig.3 Model of three-layer linear elastic laminated plate

圖4 三種曲率計(jì)算公式在大變形狀態(tài)下各自的收斂性Fig.4 Convergence using three different forms of curvature in large deformation

圖5 ABAQUS 中的薄板位形圖Fig.5 The configuration of the plate in ABAQUS

從圖4中可以看出，使用精確的曲率公式和分母簡(jiǎn)化為一次項(xiàng)的公式得出了一致的結(jié)果，而且都可以很好的收斂，并且該結(jié)論與ABAQUS 得到的結(jié)論幾乎相同，相對(duì)誤差為1.3%。在單元數(shù)量為48 個(gè)的情況下，使用精確的曲率公式仿真用時(shí)為67.54 s，使用分母簡(jiǎn)化為一次項(xiàng)的公式仿真用時(shí)為65.23 s，在相同的計(jì)算結(jié)果下計(jì)算效率有小幅度的提升。使用線性簡(jiǎn)化形式的曲率公式，雖然結(jié)果可以收斂，但產(chǎn)生的橫向變形相比于真實(shí)值明顯偏大。由此可見(jiàn)，線性簡(jiǎn)化公式是難以在大變形的條件下使用的。

3.2 薄板在集中力作用下產(chǎn)生大變形

算例2 驗(yàn)證了壓電層合薄板模型在不同大小的外力作用下的正確性。如圖6所示的三層懸臂板，長(zhǎng)度l=0.6 m，寬度w=0.4 m，上下兩層完整鋪設(shè)厚度為0.5 mm 的壓電材料，中間層為1 mm 厚的線彈性材料。線彈性材料的彈性模量為73 GPa，泊松比為0.3；壓電材料的彈性模量為107 GPa，泊松比為0.3，壓電常數(shù)為?6.5 C/m2，介電常數(shù)為3.01×10?8F/m。離散單元為沿長(zhǎng)度方向6 個(gè)單元，沿寬度方向4 個(gè)單元，共24 個(gè)單元。本文所有算例中的單元編號(hào)規(guī)則均與圖6中所示相同。在懸臂板末端一角施加一個(gè)沿z方向的集中力，其大小與該點(diǎn)橫向位移的關(guān)系如圖7所示。

圖6 全覆蓋的壓電層合板模型Fig.6 Laminated plate with fully covered piezoelectric patches

從圖7中可以看出，使用線性簡(jiǎn)化的曲率公式得到的位移也是線性變化的。在不超過(guò)30 N 的范圍內(nèi)，使用線性簡(jiǎn)化的曲率可以和精確曲率的方法得出近乎一致的結(jié)果，且相對(duì)誤差不會(huì)超過(guò)1%。但隨著集中力的增大，使用線性簡(jiǎn)化的曲率計(jì)算出的結(jié)果會(huì)逐漸偏離理論值。

3.3 薄板在作動(dòng)器施加電壓情況下產(chǎn)生變形

算例3 驗(yàn)證了壓電層合薄板模型在外電壓作用下的正確性，同時(shí)探索了部分覆蓋壓電材料的情況下該單元與普通線彈性材料單元耦合的可行性?；鶎影宓某叽绾退憷? 中相同，僅第6，7 個(gè)單元是壓電層合單元，其余均為單層線彈性材料。材料參數(shù)與算例2 相同。在兩個(gè)覆蓋壓電材料的單元的作動(dòng)器上施加逐漸增大的電壓，計(jì)算板上節(jié)點(diǎn)13 和35 的橫向位移（如圖8所示），其對(duì)比結(jié)果如表1和表2所示。

圖8 部分覆蓋的壓電層合板模型Fig.8 Laminated plate with partly covered piezoelectric patches

表1 不同電壓下節(jié)點(diǎn)13 的橫向位移Tab.1 Displacement of the 13th node in different voltages

表2 不同電壓下節(jié)點(diǎn)35 的橫向位移Tab.2 Displacement of the 35th node in different voltages

接下來(lái)討論壓電層合單元在上下兩側(cè)均覆蓋作動(dòng)器的情況，基層和壓電材料厚度均為1 mm。層合薄板結(jié)構(gòu)在沿長(zhǎng)度方向的0.1～0.3 m，沿寬度方向的0～0.4 m 處覆蓋壓電材料?；鶎泳€彈性材料的彈性模量E=0.49 GPa，泊松比為0.33；壓電材料的彈性模量E=39.6 GPa，泊松比為0.33，壓電常數(shù)為?6.948 C/m2，介電常數(shù)為3.01×10?8F/m?？紤]到壓電作動(dòng)的情況下隨著變形量數(shù)量級(jí)的增大，需要更多的單元數(shù)量才能接近收斂值，此處離散單元數(shù)量為沿長(zhǎng)度方向24 個(gè)，沿寬度方向12 個(gè)，共288 個(gè)單元。在作動(dòng)器施加0～1000 V 逐漸增大的電壓，求解出薄板自由端角落位置（即圖9中A 位置）的橫向位移如圖10所示。可以看到，在施加電壓的情況下，變形趨勢(shì)也與施加集中力的情況相同，呈現(xiàn)一種非線性趨勢(shì)。

圖9 雙側(cè)部分覆蓋的壓電層合板模型Fig.9 Laminated plate with segmented piezoelectric patches on two sides

圖10 不同電壓下薄板末端的橫向位移Fig.10 The tip displacement in different voltages

最后計(jì)算一組分段貼片的情況。層合薄板結(jié)構(gòu)在沿長(zhǎng)度方向的0.1～0.2 m，以及0.4～0.5 m 處分別覆蓋一組壓電材料，一側(cè)為傳感器層，一側(cè)為作動(dòng)器層，施加電壓為500 V，模型如圖11所示。基層線彈性材料的彈性模量E=0.49 GPa，泊松比為0.33；壓電材料的彈性模量E=3.96 GPa，泊松比為0.33，壓電常數(shù)為?6.948 C/m2，介電常數(shù)為3.01×10?8F/m。離散單元同樣取288 個(gè)。變形后基層線彈性材料薄板部分的三維位形圖如圖12所示。

圖11 分段覆蓋的壓電層合板模型Fig.11 Laminated plate with multiple piezoelectric patches

圖12 施加500 V 電壓下層合板的位形圖Fig.12 The configuration of laminated plate under 500 V

從圖12中可以看出，層合薄板在受到電壓驅(qū)動(dòng)的狀態(tài)下，變形方式并非簡(jiǎn)單地圍繞y軸方向進(jìn)行卷曲，而是朝向類似球形的趨勢(shì)產(chǎn)生變形，導(dǎo)致矩形的薄板在電壓作用下遠(yuǎn)端的角落處變形比中間處更大，而在薄板中心位置有一處明顯的凹陷。

3.4 壓電層合板動(dòng)力學(xué)仿真

對(duì)算例4 進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。壓電層合薄板的壓電材料為全覆蓋，線彈性材料和壓電材料參數(shù)與算例1 相同。離散單元數(shù)量為沿x軸12 個(gè)，沿y軸8個(gè)，共96 個(gè)單元。仿真時(shí)間為1 s，求解出仿真時(shí)間內(nèi)集中力處的橫向位移隨時(shí)間的變化如圖13所示。第1 單元，第44 單元和第96 單元的電壓隨時(shí)間的變化如圖14所示。

圖13 壓電層合板在集中力作用下的位移隨時(shí)間變化情況Fig.13 The displacement of piezoelectric laminated plates varies with time under the concentrated force

通過(guò)圖13和14 可以看出，在越靠近約束端的位置，集中力作用下產(chǎn)生的電壓越大，而在施加集中力的自由端電壓值反而較小。電壓的增減趨勢(shì)與橫向位移的變化具有大致相同的周期。

4 結(jié) 論

本文基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法建立了一個(gè)壓電層合薄板單元，并通過(guò)幾組算例驗(yàn)證了單元的正確性，以及使用不同形式的曲率計(jì)算公式下的收斂性。在大變形范圍內(nèi)，線性的曲率計(jì)算方法將不再適用，其計(jì)算結(jié)果相比于真實(shí)值偏大。當(dāng)電壓施加到壓電板單元中的作動(dòng)器時(shí)，層合薄板將彎曲，其值與ABAQUS 有限元軟件提供結(jié)果基本一致，這表明本模型描述壓電耦合效應(yīng)時(shí)具有很好的實(shí)用性，且在壓電材料全覆蓋或是部分、分段覆蓋的情況下皆可適用。