一種零耦合度及部分運(yùn)動(dòng)解耦的空間2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

湯 耀， 沈惠平， 曾博雄， 楊廷力

(常州大學(xué) 現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心, 江蘇 常州 213164)

具有轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)混合輸出的2T1R空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，因其驅(qū)動(dòng)元件少、制造容易等特點(diǎn)，在空間抓取、調(diào)整姿態(tài)等操作中，具有較廣泛的應(yīng)用價(jià)值[1-6]。

對(duì)一個(gè)有待研發(fā)的并聯(lián)機(jī)器人而言，建立一個(gè)精度高且響應(yīng)快的動(dòng)力學(xué)模型至關(guān)重要[7-9]。常用的動(dòng)力學(xué)建模方法主要有：Lagrange法、Newton-Euler法、虛功原理法等[10-12]。Lagrange法根據(jù)動(dòng)能和勢(shì)能推導(dǎo)出動(dòng)力力學(xué)模型，對(duì)于多桿件機(jī)構(gòu)，此方法計(jì)算量大，且無法求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)副處的支反力；Newton-Euler法通過對(duì)各桿件單獨(dú)分析求得各關(guān)節(jié)的約束力，再通過消除各桿件的相互作用力，來建立完整的動(dòng)力學(xué)模型，該方法建模思路清晰，但其推導(dǎo)過程復(fù)雜，計(jì)算量也大；虛功原理法根據(jù)系統(tǒng)的虛位移做功推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)模型，在計(jì)算過程中只需求解少數(shù)速度矩陣和作用力，因此，具有高效、方便的特點(diǎn)，但不能求得運(yùn)動(dòng)副反力。

進(jìn)一步，楊廷力[13]提出了用于動(dòng)力學(xué)建模的基于虛功原理的序單開鏈法，該方法的建模基本單元是子運(yùn)動(dòng)鏈(SKC)，不僅具有傳統(tǒng)虛功原理計(jì)算過程簡潔的優(yōu)點(diǎn)，而且能夠求出各SKC連接處的運(yùn)動(dòng)副支反力，這對(duì)機(jī)構(gòu)構(gòu)件的強(qiáng)度計(jì)算、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以及機(jī)械振動(dòng)研究等具有重要的作用。

在研究對(duì)象方面，對(duì)6-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)，丁華鋒等[14]基于虛功原理建立了一種新型6-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型；對(duì)5-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)，陳修龍等[15]基于虛功原理，對(duì)4-UPS-UPU機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析；張東勝等[16]還研究了5-DOF混聯(lián)機(jī)器人的逆動(dòng)力學(xué)；而4-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)方面，蔡善樂等[17]運(yùn)用虛功原理法，對(duì)2PRS-2UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析；3-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)方面，高征等[18]、陳子明等[19]，分別利用拉格朗日法和虛功原理，對(duì)三自由度旋轉(zhuǎn)臺(tái)、對(duì)稱兩轉(zhuǎn)一移3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析；賈曉輝等[20]采用虛功原理方法，推導(dǎo)出3-RRPR柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)逆解模型，并給出了系統(tǒng)固有頻率的求解表達(dá)式。尤晶晶等[21]針對(duì)一種具有解析位置正解的新型三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，求解了其逆向動(dòng)力學(xué)方程。

本課題組設(shè)計(jì)、提出的一種新型3-DOF空間2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)2P(Pa2R)2R-P(PaR)[22]，首先進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，求得該機(jī)構(gòu)每個(gè)構(gòu)件的速度、加速度，然后，使用基于虛功原理的序單開鏈法，建立其逆向動(dòng)力學(xué)模型，求解驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力和SKC連接處的支反力；并分析比較了不同廣義坐標(biāo)下的動(dòng)力學(xué)方程求解的時(shí)間。為該機(jī)構(gòu)的樣機(jī)設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)優(yōu)化提供了技術(shù)依據(jù)。

1 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)

本文研究的一種新型3-DOF空間2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，為零耦合度、部分運(yùn)動(dòng)解耦，且具有符號(hào)式位置正解，它由靜平臺(tái)0、動(dòng)平臺(tái)1和2條混合支鏈組成[22]，如圖1所示。

圖1 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Structure diagram of the 2T1R PM

該機(jī)構(gòu)具有4個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①僅由移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副組成，有利于制造、安裝；②因機(jī)構(gòu)的耦合度k=0，具有正向位置符號(hào)解，有利于誤差分析、尺度綜合、剛度分析及動(dòng)力學(xué)研究等；③機(jī)構(gòu)沿Y軸方向的位置僅由驅(qū)動(dòng)副P1，P2決定，因此，該機(jī)構(gòu)具有部分輸入-輸出運(yùn)動(dòng)解耦性，有利于機(jī)構(gòu)的軌跡規(guī)劃及運(yùn)動(dòng)控制；④該機(jī)構(gòu)操作工作空間大，不僅適用于小范圍內(nèi)的兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(如抓取、噴涂)等精密操作(當(dāng)3個(gè)移動(dòng)副取不同的速度時(shí))，也能用于沿導(dǎo)軌方向大范圍內(nèi)的一維移動(dòng)(如工件搬運(yùn)、傳輸?shù)?運(yùn)動(dòng)輸出(當(dāng)3個(gè)移動(dòng)副取相同速度時(shí))，因此，具有潛在的應(yīng)用前景。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 位置分析

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖2所示，靜坐標(biāo)系O-XYZ的坐標(biāo)原點(diǎn)O為靜平臺(tái)0的幾何中心，Y軸方向平行于A1A2連線，Z軸平行于靜平臺(tái)0所在平面的法線方向，并指向動(dòng)平臺(tái)1；動(dòng)坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′的原點(diǎn)位于動(dòng)平臺(tái)1的幾何中心，X′軸、Y′軸分別重合、垂直于D2C3連線，而X軸、Z′軸方向均由右手定則確定。

圖2 2T1R機(jī)構(gòu)整體運(yùn)動(dòng)學(xué)建模Fig.2 Integral kinematics modeling of 2T1R PM

機(jī)構(gòu)的尺寸標(biāo)注為：A1B1=A2B2=A3B3=l1，混合支鏈Ⅰ上B1C1=B21C21=B22C22=l3，C21C22=l2，C1C21=l4，D1D2=l5?；旌现ф湤蛑?，B31C31=B32C32=l7，C31C32=l6。靜平臺(tái)0上兩導(dǎo)軌之間間距為2b；動(dòng)平臺(tái)1上D2C3=2d。B1C1與Y軸正向的夾角為γ；D1D2與X軸正向的夾角為α；D2C3與X軸正向夾角為動(dòng)平臺(tái)輸出姿態(tài)角β，以沿Y軸逆時(shí)針方向?yàn)檎较颉?/p>

在靜坐標(biāo)系O-XYZ下，由文獻(xiàn)[22]易知：A1=(b,yA1,0)；A2=(b,yA2,0)；A3=(-b,yA3,0)；B1=(b,yA1,l1)；B2=(b,yA2,l1)；B3=(-b,yA3,l1)；α=arccos[(2dcosβ-2b)/l5]。

設(shè)動(dòng)平臺(tái)P(y，z)及姿態(tài)角β，易求得：C1=(b,y+l4/2,z-dsinβ-l5sinα)；C2=(b,y-l4/2-l2/2,z-dsinβ-l5sinα)；C3=(-b,y,z+dsinβ)；D1=(b,yA1+l3cosγ-l4/2,l1+l3sinγ)。

由3個(gè)幾何約束條件，建立位置約束方程為

(1)

2.2 速度與加速度分析

2.2.1 子運(yùn)動(dòng)鏈Ⅱ中各桿件

1) 動(dòng)平臺(tái)

設(shè)P點(diǎn)的輸出速度為v1=[y′z′β′]T，驅(qū)動(dòng)移動(dòng)速度為v2=[y′A1y′A2y′A3]T，對(duì)式(1)兩邊關(guān)于t求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，可得：

Jpv1=Jqv2

(2)

Jpv′1-Jqv′2+K=0

(3)

f12=zC1-zB1，f13=(-dcosβ-2dsinβcotα)(zC1-zB1)，f21=u22=yC2-yB2，f22=zC2-zB2，f23=

(-dcosβ-2dsinβcotα)(zC2-zB2)，f31=u33=yC3-yB3，f32=zC3-zB3，f33=dcosβ(zC3-zB3)，K1=

機(jī)構(gòu)非奇異時(shí)，Jp可逆，由式(2)、式(3)可得：

(4)

(5)

式(4)、式(5)為動(dòng)平臺(tái)1上P點(diǎn)的輸出速度、輸出加速度。

為了便于后續(xù)計(jì)算，現(xiàn)將動(dòng)平臺(tái)1的速度矩陣分解為平動(dòng)矩陣和轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，即：

(6)

(7)

同理，可求出點(diǎn)D2、點(diǎn)C3的速度和加速度矩陣分別為：

(8)

(9)

(10)

(11)

2) 驅(qū)動(dòng)滑塊A3B3

滑塊A3B3質(zhì)心的速度、加速度分別為：

vs3=Jv s3v2

(12)

as3=Jv s3v′2

(13)

3) 桿件B3C3

將B31C31，B32C32桿件的運(yùn)動(dòng)等效為桿件B3C3進(jìn)行分析。易知，C3點(diǎn)的速度為

vC3=vs3+ωu3×e3·l7=Jv C3v2

(14)

式中：ωu3為桿件B3C3的角速度；e3為桿件B3C3的單位矢量。

對(duì)式(14)兩邊同時(shí)叉乘e3，整理得ωu3

(15)

桿件B3C3質(zhì)心的速度矩陣表示為

(16)

進(jìn)一步，對(duì)式(14)求導(dǎo)，得C3點(diǎn)的加速度為

aC3=as3+εu3×e3·l7+ωu3×(ωu3×e3)·l7

(17)

對(duì)式(17)兩邊同時(shí)叉乘e3，可得桿件B3C3的角加速度為

(18)

將式(16)求導(dǎo)，得桿件B3C3的質(zhì)心加速度為

au3=as3+εu3×e3·l7/2+ωu3×(ωu3×e3)·l7/2=(as3+aC3)/2

(19)

4) 桿件C31C32

桿件C31C32質(zhì)心的速度、加速度分別為：

vs5=vC3=Jv s5v2

(20)

as5=aC3

(21)

5) 桿件D1D2

設(shè)D1點(diǎn)的輸出速度為v3=[y′D1z′D10]T，驅(qū)動(dòng)移動(dòng)速度為v2=[y′A1y′A2y′A3]T，對(duì)滿足桿長C1B1，C2B2的約束位置方程求導(dǎo)，一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)可表示為：

Jmv3=Jnv2

(22)

Jmv′3-Jnv′2+L=0

(23)

機(jī)構(gòu)非奇異時(shí)，Jm可逆，由式(22)、式(23)得：

(24)

(25)

D1點(diǎn)的速度、加速度分別為：

(26)

aD1=G3v′3

(27)

易知，D2點(diǎn)的速度為

vD2=vD1+ωu4×e4·l5

式中：ωu4為桿件D1D2的角速度；e4為桿件D1D2的單位矢量。

得桿件D1D2的角速度、質(zhì)心的速度分別為：

(28)

(29)

進(jìn)一步，D2點(diǎn)的加速度為

aD2=aD1+εu4×e4·l5+ωu4×(ωu4×e4)·l5

桿件D1D2的角加速度、質(zhì)心加速度分別為：

2.2.2 子運(yùn)動(dòng)鏈Ⅰ中各桿件

1) 桿件C1C22

桿件C1C22質(zhì)心的速度、加速度分別為：

vs4=vD1=Jv s4v2

(30)

as4=aD1

(31)

2) 驅(qū)動(dòng)滑塊AjBj(j=1，2)

滑塊AjBj(j=1，2)質(zhì)心的速度、加速度分別為：

vsj=Jv sjv2

(32)

asj=Jv sjv′2

(33)

3) 桿件B1C1

易知，C1點(diǎn)的速度為

vC1=vs1+ωu1×e1·l3=Jv s4v2

(34)

式中：ωu1為桿件B1C1的角速度；e1為桿件B1C1的單位矢量。

對(duì)式(34)兩邊同時(shí)叉乘e1，整理得

(35)

桿件B1C1質(zhì)心的速度的矩陣表示為

(36)

進(jìn)一步，對(duì)式(34)求導(dǎo)，得C1點(diǎn)的加速度為

aC1=as1+εu1×e1·l3+ωu1×(ωu1×e1)·l3

(37)

對(duì)式(37)兩邊同時(shí)叉乘e1，可得桿件B1C1的角加速度為

(38)

進(jìn)一步，將式(36)求導(dǎo)，得桿件B1C1的質(zhì)心加速度為

au1=as1+εu1×e1·l3/2+ωu1×(ωu1×e1)·l3/2=(as1+aC1)/2

(39)

4) 桿件B2C2

將B21C21，B22C22桿的運(yùn)動(dòng)，等效為桿件B2C2進(jìn)行分析。

同理，采用與桿件B1C1速度、加速度相同的求法，得到桿件B2C2的角速度、質(zhì)心的速度分別為：

(40)

(41)

式中：ωu2為桿件B2C2的角速度；e2為桿件B2C2的單位矢量。

進(jìn)一步，C2點(diǎn)的加速度為

aC2=as2+εu2×e2·l3+ωu2×(ωu2×e2)·l3

而桿件B2C2的角加速度、質(zhì)心加速度分別為：

3 動(dòng)力學(xué)分析

易知，桿件B21B22，A2B2及桿件B31B32，A3B3分別為同一個(gè)構(gòu)件。

3.1 基于虛功原理的序單開鏈法基本原理

按上述結(jié)構(gòu)分解的逆序，對(duì)各單開鏈進(jìn)行動(dòng)力分析，由單開鏈之間的約束關(guān)系和虛功原理，在理想約束下，外力(矩)和慣性力(矩)在機(jī)械系統(tǒng)的任何虛位移上的元功之和等于零，即可建立各SKC的動(dòng)力學(xué)分析方程，其維度恰為機(jī)構(gòu)耦合度k，在求出這k個(gè)未知支反力后，相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力(矩)可方便地直接求出[13]。

3.2 動(dòng)力學(xué)建模與方程的生成

將移動(dòng)副在驅(qū)動(dòng)力作用下產(chǎn)生的位移定義為廣義坐標(biāo)，即q1=(yA1,yA2,yA3)T，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的虛位移為δq1=(δyA1,δyA2,δyA3)T。

由式(6)～式(7)、式(12)～式(20)、式(28)～式(41)可建立各桿件的虛位移與驅(qū)動(dòng)副的虛位移之間的關(guān)系式為：δXp=Jvp1δq1，δθp=Jwp1δq1，δXui=Jv uiδq1，δXsj=Jv sjδq1，δθui=Jw uiδq1(i=1～4，j=1～5)。

3.2.1 子運(yùn)動(dòng)鏈Ⅱ內(nèi)各構(gòu)件受力分析

1) 動(dòng)平臺(tái)

動(dòng)平臺(tái)在靜坐標(biāo)系{O}下的重力、慣性力、慣性力矩分別為：

動(dòng)平臺(tái)在工作時(shí)產(chǎn)生的力和力矩為：

2) 移動(dòng)滑塊A3B3

該滑塊在靜坐標(biāo)系{O}下的重力、慣性力分別為：

oGs3=ms3og；ofs3=-ms3oas3

3) 移動(dòng)桿C31C32

移動(dòng)桿在靜坐標(biāo)系{O}下的重力、慣性力分別為：

oGs5=ms5og；ofs5=-ms5oas5

4) 轉(zhuǎn)動(dòng)桿(B3C3，D1D2)

轉(zhuǎn)動(dòng)桿在靜坐標(biāo)系{O}下的重力、慣性力、慣性力矩(i=3，4)分別為：

oGui=muiog；ofui=-muioaui；onui=-oIuioεui-oωui×(oIuioωui)

3.2.2 子運(yùn)動(dòng)鏈Ⅰ內(nèi)各構(gòu)件受力分析

1) 移動(dòng)滑塊(A1B1，A2B2)

移動(dòng)滑塊在靜坐標(biāo)系{O}下的重力、慣性力(j=1，2)分別為：

oGsj=msjog；ofsj=-msjoasj

2) 移動(dòng)桿C1C22

移動(dòng)桿在靜坐標(biāo)系{O}下的重力、慣性力分別為：

oGs4=ms4og；ofs4=-ms4oas4

3) 轉(zhuǎn)動(dòng)桿(B1C1，B2C2)

轉(zhuǎn)動(dòng)桿在靜坐標(biāo)系{O}下的重力、慣性力、慣性力矩(i=1，2)分別為：

oGui=muiog；ofui=-muioaui；onui=-oIuioεui-oωui×(oIuioωui)

為簡化動(dòng)力學(xué)方程的計(jì)算，在靜坐標(biāo)系{O}下，將機(jī)構(gòu)構(gòu)件所受的外力(矩)，化簡為各桿件質(zhì)心位置的六維合力矢量。

動(dòng)平臺(tái)的六維合力矢量

(42)

移動(dòng)桿(滑塊)的六維合力矢量

(43)

轉(zhuǎn)動(dòng)桿的六維合力矢量

(44)

3.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的生成

解除聯(lián)接2個(gè)SKC的運(yùn)動(dòng)副D1處的約束，則得到2個(gè)子系統(tǒng)，于是，支反力F4轉(zhuǎn)化為作用在該2個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)件上的未知外力。由于2個(gè)SKC的耦合度均為0，其廣義坐標(biāo)與原系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)相同，根據(jù)虛功原理可得，子運(yùn)動(dòng)鏈Ⅱ的動(dòng)力學(xué)方程為

(45)

而子運(yùn)動(dòng)鏈Ⅰ的動(dòng)力學(xué)方程為

(46)

式中F=(F1,F2,F3)T。

將式(6)～式(7)、式(12)～式(20)、式(28)～式(44)代入式(45)～式(46)，即可求出驅(qū)動(dòng)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3以及運(yùn)動(dòng)副D1處的支反力F4。

3.3 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析實(shí)例

設(shè)機(jī)構(gòu)的構(gòu)件質(zhì)量為：mp=0.031 7kg，ms1=0.022 1kg，ms2=0.036 7kg，ms3=0.039 7kg，ms4=0.023 7kg，ms5=0.014 8kg，mu1=0.056 0kg，mu2=0.112 1kg，mu3=0.127 4kg，mu4=0.041 5kg。

構(gòu)件桿長與文獻(xiàn)[22]一致，為：a=295mm，b=125mm，d=80mm，l1=20mm，l2=80mm，l3=230mm，l4=90mm，l5=170mm，l6=100mm，l7=280mm。

構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)，見表1。

表1 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)

3.3.1 驅(qū)動(dòng)力求解

1) 兩種廣義坐標(biāo)下的計(jì)算

采用與文獻(xiàn)[22]相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(單位為mm): yA1=162.132 6+50sint，yA2=-168.926 4+50sint，yA3=98.430 0-50sint。

① 將3個(gè)驅(qū)動(dòng)滑塊產(chǎn)生的位移定義為廣義坐標(biāo)，即q1=(yA1,yA2,yA3)T；利用Matlab數(shù)值計(jì)算得到機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)空載(即oFp=0，oMp=0)的驅(qū)動(dòng)力變化曲線(運(yùn)算步數(shù)為1 000步)，如圖3所示。

圖3 Matlab計(jì)算得到驅(qū)動(dòng)力變化曲線Fig.3 Driving force curve is calculated by Matlab

進(jìn)一步，記錄10次Matlab數(shù)值計(jì)算所用的時(shí)間，見表2中t1列所示。

表2 用Matlab計(jì)算時(shí)間t1和t2(對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo)q1和q2)

② 再將動(dòng)平臺(tái)1在驅(qū)動(dòng)滑塊下產(chǎn)生的位移定義為廣義坐標(biāo)，即q2=(y,z,β)T，由于建模過程與選取q1為廣義坐標(biāo)相似，這里僅給出利用Matlab計(jì)算得到的機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)空載(即oFp=0，oMp=0)的驅(qū)動(dòng)力變化曲線(運(yùn)算步數(shù)為1 000步)，如圖3所示，同樣記錄10次Matlab數(shù)值計(jì)算所用的時(shí)間，見表2中t2列。

2) 廣義坐標(biāo)的優(yōu)選分析

由圖3可知，基于虛功原理的序單開鏈法，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律一致的前提下，選用不同的廣義坐標(biāo)，由Matlab計(jì)算得到的驅(qū)動(dòng)力理論變化曲線是一致的。

由表2可知，選取q1作為廣義坐標(biāo)時(shí)的Matlab理論計(jì)算所用時(shí)間，比取q2作為廣義坐標(biāo)時(shí)的Matlab理論計(jì)算所用時(shí)間更短，響應(yīng)更快。這是因?yàn)?，盡管兩種計(jì)算過程中，所給機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間一致且步長相同，但機(jī)構(gòu)各構(gòu)件速度與動(dòng)平臺(tái)速度點(diǎn)之間的關(guān)系矩陣，比建立各構(gòu)件運(yùn)動(dòng)速度與驅(qū)動(dòng)速度之間的關(guān)系矩陣更為復(fù)雜。

因此，可根據(jù)工作需求，選取合適的廣義坐標(biāo)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。建議：通過3個(gè)移動(dòng)副取相同速度沿著導(dǎo)軌大范圍移動(dòng)整個(gè)機(jī)構(gòu)到固定地點(diǎn)時(shí)，宜選取q1作為廣義坐標(biāo)，響應(yīng)更快；而當(dāng)控制動(dòng)平臺(tái)的精確工作軌跡時(shí)，宜選取q2作為廣義坐標(biāo)，這樣計(jì)算過程更簡便，動(dòng)平臺(tái)可獲得更高的精度。

3) 動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算

進(jìn)一步，將虛擬樣機(jī)導(dǎo)入到Adams中，設(shè)定好機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副類型、驅(qū)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)軌跡，施加沿Z軸反方向的重力，并選取仿真步長為0.01 s，仿真時(shí)間為10 s，對(duì)該2T1R虛擬樣機(jī)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，得到的驅(qū)動(dòng)力仿真變化曲線如圖4中仿真值所示。由圖4可知，運(yùn)用Matlab計(jì)算的理論驅(qū)動(dòng)力曲線與Adams虛擬仿真驅(qū)動(dòng)力結(jié)果吻合，證明了理論運(yùn)算的正確性。

圖4 驅(qū)動(dòng)力變化曲線中的理論值與仿真值Fig.4 Theoretical value and simulation value in driving force variation curve

3.3.2 運(yùn)動(dòng)副D1處的支反力求解

運(yùn)用Matlab計(jì)算得到2個(gè)SKC聯(lián)接處D1點(diǎn)的理論支反力變化曲線，如圖5中理論值所示；而用Adams仿真得到D1點(diǎn)的仿真支反力變化曲線，如圖5中仿真值所示。由圖5可知，基于虛功原理的序單開鏈法，運(yùn)用Matlab計(jì)算D1點(diǎn)的理論支反力曲線，與Adams得到的D1點(diǎn)的仿真支反力曲線一致，說明了理論運(yùn)算的正確性。

圖5 D1點(diǎn)處支反力變化曲線Fig.5 The change curve of D1 reaction force

由于D1點(diǎn)僅能在YOZ平面內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，因此，D1在X方向的支反力不能利用基于虛功原理的序單開鏈法求出，但可用基于Newton-Euler的序單開鏈法[13]求得。

3.4 與傳統(tǒng)虛功原理法的比較分析

由虛功原理可得

(47)

式中F=(F1,F2,F3)T。其他參數(shù)與式(45)～式(46)一致，進(jìn)一步簡化式(47)得

(48)

因式(48)上虛位移δq1各元素可以獨(dú)立選取，因此，可得驅(qū)動(dòng)力方程

(49)

采用3.3節(jié)中相同的參數(shù)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，且把q1=(yA1,yA2,yA3)T作為廣義坐標(biāo)，由式(48)利用Matlab計(jì)算得到機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)空載(即oFp=0，oMp=0)的理論驅(qū)動(dòng)力變化曲線，與圖3中以q1為廣義坐標(biāo)的曲線一致，故不單獨(dú)列出。

可見，傳統(tǒng)的虛功原理法，在建模過程中不分建模單元的先后順序，且在動(dòng)力學(xué)方程中沒有體現(xiàn)求解任何運(yùn)動(dòng)副處的支反力。而基于虛功原理的序單開鏈法，不僅可以求出各個(gè)SKC連接處運(yùn)動(dòng)副的支反力(這有助于求解各SKC內(nèi)其他運(yùn)動(dòng)副的受力情況)，而且通過SKC揭示了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

4 結(jié) 論

分析了一種新型的兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)中各個(gè)桿件速度與驅(qū)動(dòng)副速度之間的關(guān)系矩陣；采用基于虛功原理的序單開鏈法，建立該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并求解了機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力及2個(gè)SKC連接處運(yùn)動(dòng)副的支反力并進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證。

選取不同的廣義坐標(biāo)進(jìn)行空間機(jī)構(gòu)的逆向動(dòng)力學(xué)建模與求解，其計(jì)算量不同。因此，在實(shí)際情況中需要根據(jù)工作情況，選取合適的廣義坐標(biāo)。移動(dòng)整個(gè)機(jī)構(gòu)到固定地點(diǎn)時(shí)，宜選取驅(qū)動(dòng)副位移作為廣義坐標(biāo)，這樣響應(yīng)更快；而當(dāng)控制動(dòng)平臺(tái)的精確工作軌跡時(shí)，宜選取動(dòng)平臺(tái)位移作為廣義坐標(biāo)，這樣計(jì)算過程更簡便，動(dòng)平臺(tái)可獲得更高的精度。

基于虛功原理的序單開鏈法的優(yōu)勢(shì)之處在于，對(duì)含2個(gè)(以上)SKC的機(jī)構(gòu)，既能求解驅(qū)動(dòng)力，又能求出SKC連接處運(yùn)動(dòng)副處的支反力；當(dāng)機(jī)構(gòu)只有1個(gè)SKC，應(yīng)選取桿、副為單元，將全部的運(yùn)動(dòng)副約束解除時(shí)，由Newton-Euler原理與虛功原理導(dǎo)出的2種動(dòng)力學(xué)分析方程一致，因此，對(duì)含2個(gè)(以上)SKC的機(jī)構(gòu)，選取SKC為單元，兼有Newton-Euler法和虛功原理法的優(yōu)點(diǎn)。研究結(jié)果為該機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。