分形理論及修正鉆速方程預(yù)測石膏夾層巖石可鉆性

李嵬巖

（大慶鉆探工程公司地質(zhì)錄井一公司，黑龍江大慶163411）

伊拉克魯邁拉油田位于伊拉克南部巴士拉省與科威特交界處，構(gòu)造位置屬于中東波斯灣盆地美索不達(dá)米亞平原。油田由南北2個長軸背斜構(gòu)造構(gòu)成，中部以鞍狀構(gòu)造相連，北魯邁拉近南北方向展布，南魯邁拉以NNW向展布[1]。其RUS地層發(fā)育厚層硬石膏，夾薄層白云巖，地層軟硬交替，易造成機(jī)械鉆速過低、PDC鉆頭崩齒、定向工具面不穩(wěn)定等諸多不利情況發(fā)生。對該層巖石剖面的可鉆性研究，直接影響到鉆頭的優(yōu)選和參數(shù)的優(yōu)化。針對該區(qū)塊缺少鉆井取芯、室內(nèi)巖石力學(xué)分析等條件的不足，引入上返巖屑分布規(guī)律可確定巖石破碎難易程度的理論，結(jié)合修正鉆速方程，為鉆井施工中選擇合理的鉆井參數(shù)及鉆頭優(yōu)選提供了科學(xué)依據(jù)。

1 分形幾何理論

分形（Fractal）是由Harvard 大學(xué)Benoit B.Mondel?brot教授在1975年首次提出，其原意：“不規(guī)則的、分?jǐn)?shù)的、支離破碎的”的物體，可看作大小碎片聚集的狀態(tài)，是特征長度的圖形和構(gòu)造以及現(xiàn)象的總稱。分形幾何學(xué)在巖石力學(xué)方面得到了廣泛應(yīng)用：巖體爆破破碎分形、斷裂構(gòu)造分形、巖石分形強(qiáng)度理論、巖石斷裂、損傷分形等[2]。大量的研究發(fā)現(xiàn)破碎后的巖石顆粒具有自相似表面，顆粒表面積明顯非線性顆粒的平均半徑，顆粒的表面積與顆粒尺度的關(guān)系在統(tǒng)計意義下表現(xiàn)為分形[3]。

1.1 上返巖屑顆粒分布函數(shù)

在眾多顆粒分布規(guī)律函數(shù)中，Rosin-Rammler 和Gaudin-schuhmann 分布函數(shù)為最具代表性。通常認(rèn)為Rosin-Rammler 分布趨向粗粒端，Gaudin-schuh?mann分布趨向細(xì)粒端[2]。井筒上返巖屑粒度總體分布細(xì)粒端占較大比例，因此Gaudin-Schuhmann分布函數(shù)更適合鉆井現(xiàn)場上返巖屑塊度分布的分形描述，其函數(shù)表達(dá)式為：

式中：x——破碎產(chǎn)物的尺寸；

y——巖石破碎產(chǎn)物小于尺寸x的相對累積量；

xm——粒度特性系數(shù)，即巖屑的理論最大粒徑；

n——均勻性系數(shù)，表征粒度分布范圍。

1.2 上返巖屑塊狀粒度分形維數(shù)模型

上返巖屑塊狀粒度分布分形模型一般采用1 巖屑顆粒數(shù)量—尺寸關(guān)系、2 巖屑篩分質(zhì)量—尺寸關(guān)系來確定。由于上返巖屑顆粒尺度分布趨于細(xì)粒端，因而單純從顆粒數(shù)量統(tǒng)計角度出發(fā)來分析上返的巖屑顆粒分布特征是及其困難的。為了方便研究，選用質(zhì)量—尺寸關(guān)系確定分形維數(shù)。

使用不同孔徑r的“篩子”對上返巖屑顆粒篩選，其結(jié)果：粒徑小于r的碎屑顆粒漏下去，而粒徑大于r的碎屑顆粒則存留在篩面上。設(shè)巖屑顆粒的總數(shù)為N(r)，粒徑小于r的巖屑估計質(zhì)量為M(r)，巖屑總質(zhì)量為M，那么上返巖屑遵循式（1）中的G-S分布函數(shù)：

對式（2）兩邊取對數(shù)：

對式（3）兩邊求導(dǎo)數(shù)：

由分形的概念得：

考慮到 dM∝r3dN，有：

由式（4）、（5）、（6）可知分形維數(shù)D：

由式（3）可知，均勻性系數(shù)n可由做一元線性擬合求解斜率。

1.3 巖屑樣品采集

由于研究區(qū)在區(qū)域地質(zhì)沉積變化不大，所選井基本上可以代表區(qū)域整體情況。本次實(shí)驗(yàn)對象選擇R-X井，上返巖屑采集井段為：670.00～830.00m，層位：RUS，主要巖性為：厚層硬石膏夾薄層白云巖。樣品采集密度為10m/次，取樣地點(diǎn)為振動篩處，每個樣本重量為約300g，自然干燥后裝袋并標(biāo)注井深。

將采集的巖屑樣品選用不同孔徑的篩子篩分稱重，篩孔為方形，孔徑分級為0.5mm、1.0mm、1.6mm、2.0mm、5.0mm、10.0mm，不同孔徑條件下篩分的巖屑質(zhì)量累計百分比結(jié)果見表1。

表1 上返巖屑篩分百分比

對巖石可鉆性級值與分形維數(shù)擬合可得：

從表2數(shù)據(jù)中可以看出：在縱向上巖屑樣本具有較好的分形結(jié)構(gòu)，相關(guān)系數(shù)均在0.80以上，分形維數(shù)集中在2.01～2.3 之間。其中，巖屑顆粒直徑越小所占的質(zhì)量分?jǐn)?shù)越大，分形維數(shù)越高；反之，則相反。

2 鉆速方程逆推求解巖石可鉆性

在鉆具組合、泥漿性能、地層壓力等各種條件恒定的前提下，結(jié)合巖石可鉆性因素，鉆速方程可以表達(dá)為[4-6]:

式中：ROP——機(jī)械鉆速，m/h；

RPM——鉆頭每小時總轉(zhuǎn)數(shù)，r/h；

W——鉆壓，kN；

Kd——巖石可鉆性等級。

實(shí)際上鉆壓與鉆速之間并不是呈現(xiàn)指數(shù)關(guān)系，使用對數(shù)關(guān)系擬合更符合實(shí)際，即：鉆壓增加，機(jī)械鉆速隨著增加；但是當(dāng)鉆壓增加到某一數(shù)值后，機(jī)械鉆速的增幅逐漸減小趨于平穩(wěn)。因此。可將（9）式修正為：

表2 各樣本粒度分形維數(shù)統(tǒng)計

由式（10）得到巖石可鉆性級值Kd：

式（11）中b和c可以根據(jù)不同巖性條件下各鉆井參數(shù)的錄井?dāng)?shù)據(jù)擬合回歸求得，例如純泥巖巖性條件下的可鉆性級值表達(dá)式為：

3 粒度分形維數(shù)與鉆速方程逆推法預(yù)測結(jié)果分析對比與實(shí)際使用情況

在R-Y 井于井段530～1950m 地層中對采用上述兩種預(yù)測方法進(jìn)行計算處理(圖1)，兩種巖石可鉆性結(jié)果相似度極高，相關(guān)系數(shù)高達(dá)95%以上，說明預(yù)測結(jié)果符合實(shí)際，均可以用于該區(qū)域可鉆性預(yù)測。在軟硬交替石膏地層中，根據(jù)巖石可鉆性預(yù)測，在9口井中優(yōu)選KM533X復(fù)合鉆頭，累計總鉆井進(jìn)尺7059m，平均機(jī)械鉆速為6.67m/h,比單只PDC機(jī)械鉆速提高29.90%，比3A鉆頭機(jī)械鉆速提高31.92%。

圖1 巖屑粒度分形維數(shù)與修正鉆速逆推法預(yù)測結(jié)果對比圖