二維空間中一類Boussinesq方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性

石金誠(chéng)，肖勝中

(1. 廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 511300；2.廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 科研處，廣東 廣州 510507)

近年來，許多學(xué)者開始研究偏微分方程的解對(duì)系數(shù)的收斂性或連續(xù)相依性問題，這類問題稱為偏微分方程解的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。傳統(tǒng)的穩(wěn)定性主要是研究解對(duì)初始數(shù)據(jù)變化的連續(xù)依賴性。然而，越來越多的學(xué)者認(rèn)為連續(xù)依賴性的研究不能只局限于初值條件，還應(yīng)該包含系數(shù)、模型本身的邊界條件等，這也是我們討論的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。因?yàn)槲覀兿胫?，方程的一個(gè)小改變或者系數(shù)的微小變化是否會(huì)對(duì)方程的解造成巨大影響。在AMES和STRAUGHAN[1]的專著中系統(tǒng)地研究了這種結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。在實(shí)際中，無論是數(shù)據(jù)測(cè)量還是建立模型的過程中都不可避免地存在誤差，一個(gè)微小的誤差是否會(huì)導(dǎo)致解的急劇變化，這對(duì)后續(xù)研究至關(guān)重要，所以研究解的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是有意義的。

多孔介質(zhì)中流體方程組的解的性態(tài)研究已經(jīng)成為數(shù)學(xué)與力學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題?，F(xiàn)有的研究主要集中在Brinkman、Darcy和Forchheimer方程組的模型上。NIELD和BEJIAN[2]、STRAUGHAN[3]的書中廣泛地討論了多孔介質(zhì)中的這些模型, 得到多孔介質(zhì)流體方程組在不同條件下的解的性態(tài)。部分學(xué)者研究了多孔介質(zhì)中的Brinkman、Darcy、Forchheimer方程以及其他多孔介質(zhì)方程的Saint-Venant原則，例如文獻(xiàn)[4]得到了多孔介質(zhì)中的流體方程組的空間衰減估計(jì)結(jié)果。更多的文獻(xiàn)研究了多孔介質(zhì)中的流體方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性, 得到了一些連續(xù)依賴性與收斂性的結(jié)果(見[5-12])。特別地,文獻(xiàn)[13-20]取得了一些新的結(jié)果。這些文獻(xiàn)集中研究了Brinkman、Forchheimer、Darcy類方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，對(duì)其他類別的非線性方程組，由于非線性項(xiàng)的處理難度大，使得研究它們的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性較少，特別是含有Boussinesq非線性項(xiàng)流體方程組。

在文獻(xiàn)[16]中, 作者研究了三維空間中的一類雙擴(kuò)散的流體方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。該方程組由動(dòng)量守恒方程、能量守恒方程以及溶解度守恒方程組成。在構(gòu)建動(dòng)量守恒方程的過程中采用了Boussinesq逼近。本文繼續(xù)研究該方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，討論二維空間中的方程組

(1)

其中：ui表示速度，p表示壓強(qiáng)，T表示溫度以及C表示溶解度。gi(x)和hi(x)表示引力函數(shù),為了計(jì)算方便，假設(shè)gi(x)滿足|g|≤1以及hi(x)滿足|h|≤1。f(x)是連續(xù)可微的函數(shù)，Lf(T)為化學(xué)平衡項(xiàng)，Δ為拉普拉斯算子,λ、L和k均是大于零的常數(shù)，λ是Boussinesq系數(shù)，L為化學(xué)平衡系數(shù)，k為化學(xué)反應(yīng)率。在文獻(xiàn)[2-3，21]中均有該方程組的詳細(xì)介紹。方程組(1)在Ω×[0,τ]區(qū)域內(nèi)成立，其中Ω是R2中有界單連通的星形區(qū)域,τ是給定的常數(shù)且0≤τ<∞。

給定的邊界條件為

(2)

其中，k1、k2是大于零的常數(shù)。此外，初始條件為

ui(x,0)=ui0(x),T(x,0)=T0(x),

C(x,0)=C0(x),x∈Ω

(3)

1 先驗(yàn)估計(jì)

在本節(jié)中將推導(dǎo)出一些有用的引理。

引理1對(duì)于速度的梯度，有如下估計(jì)：

(4)

其中：TM、CM是大于零的常數(shù)，n1(t)是單調(diào)遞增且大于零的函數(shù), |Ω|是Ω的體積。

證明在方程組(1)的第1個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以u(píng)i,并且在Ω上積分，由散度定理和式(2)，可得

(5)

對(duì)于式(5)，由Schwarz不等式，可得

(6)

運(yùn)用[22]中的式(4)、(5)和(18)的結(jié)果，可知

(7)

(8)

(9)

其中：TM、CM是大于零的常數(shù)，n1(t)是單調(diào)遞增且大于零的函數(shù)。

聯(lián)合式(6)～(9),可得

引理2對(duì)于速度ui，有如下估計(jì)：

(10)

其中：

證明由方程組(1)的第1個(gè)方程，可得

(11)

由文獻(xiàn)[22]中的式(20)，有如下的二維Sobolev不等式成立：

(12)

其中，r為大于零的常數(shù)。式(12)中取H=ui,t，有

(13)

聯(lián)合式(11)和(13),可得

(14)

聯(lián)合式(4)和(14)，可得

引理3對(duì)于溫度和溶解度，有如下估計(jì)：

(15)

(16)

證明由散度定理和方程組(1)的第4個(gè)方程，可得

(17)

由于T有界，且f∈C1,則

f′(T)≤d2

(18)

其中，d2是大于零的常數(shù)。對(duì)于式(17)，由H?lder不等式、式(2)和(18)，可得

(19)

同理，可得

(20)

引理4對(duì)于能量函數(shù)，有如下估計(jì)：

(21)

其中

證明定義能量函數(shù)F(t)如下：

聯(lián)合式(10)、(15)和(16),可得

(22)

其中

式(22)可寫為

(23)

(24)

求解式(24)，可得

(25)

則有

F(t)≤n3(t)

將式(21)代入式(4)，可得到如下結(jié)果:

引理5對(duì)于速度的梯度，有如下估計(jì):

(26)

2 解對(duì)Boussinesq系數(shù)的連續(xù)依賴性

(27)

邊界條件為

(x,t)∈?Ω×[0,τ]

(28)

此外，初始條件為

ωi(x,0)=0,θ(x,0)=0,S(x,0)=0,x∈Ω

(29)

將得到以下主要結(jié)果：

(30)

證明在方程組(27)第1個(gè)方程的兩邊同時(shí)乘以ωi，并在Ω上積分，由式(12)和H?lder不等式，可得

‖θ‖·‖ω‖+‖S‖·‖ω‖

(31)

其中，ε1、ε2是大于零的任意常數(shù)。

式(31)取ε1=2,ε2=2，由H?lder不等式、式(9)和(26)，可得

(32)

在方程組(27)第3個(gè)方程的兩邊同時(shí)乘以2θ，并在Ω上積分，由散度定理和式(28)，可得

(33)

由Lagrange 中值定理，可得

f(T)-f(T*)=θf′(ξ),ξ∈(T*,T)

(34)

同理，在方程組(27)第4個(gè)方程的兩邊同時(shí)乘以2S，并在Ω上積分，由散度定理、式(18)、(28)和(34)，可得

(35)

聯(lián)合式(32)、(33)和(35)，可得

(36)

求解式(36)，可得

(37)

3 結(jié)論