以九為法：《律呂新書》在律學史上的另一貢獻

摘 要：蔡元定《律呂新書》在闡述十八律理論以及校勘《史記·律書·律數(shù)》數(shù)據(jù)時，曾使用“以九為法”的律學算法，并受到朱載堉高度評價。這種算法的產(chǎn)生源自三分損益法自身的特點，除在求得十八律整數(shù)律數(shù)方面具有不可替代的價值外，還體現(xiàn)出蔡元定律學理論重視實踐特點?！耙跃艦榉ā迸c蔡元定發(fā)明的“小分算法”結(jié)合使用，代表著三分損益法前提下，古代律學運算的最高水平，具有很高的學術(shù)價值。

關(guān)鍵詞：《律呂新書》;以九為法;蔡元定

中圖分類號：J609 ? 文獻標識碼：A

文章編號：1004-2172（2022）01-0067-08

DOI：10.15929/j.cnki.1004 - 2172.2022.01.008

南宋理學家、樂律學家蔡元定所作《律呂新書》是中國古代音樂史上的經(jīng)典著作之一。目前對該書律學成就的研究多集中于“十八律”等課題，較少注意到蔡元定在律學運算方面所做出的貢獻。筆者曾在《〈律呂新書〉小分算法解析》①一文中對蔡元定的“小分算法”進行過闡述，認為這是理解蔡元定十八律理論的關(guān)鍵之一。

但除此之外，《律呂新書》中還有一種被朱載堉稱作“元定書中最緊要者”②的算法——“以九為法”值得重視。那么，何為“以九為法”？《律呂新書》云：

或曰：“徑圍之分以十為法，而相生之分、厘、毫、絲以九為法，何也？”曰：“以十為法者，天地之全數(shù)也;以九為法者，因三分損益而立也。全數(shù)者即十，而取九相生者，約十而為九，即十而取九者，體之所以立;約十而為九者，用之所以行。體者，所以定中聲;用者所以生十一律也”。③

“以九為法者，因三分損益而立也”，說明三分損益法的數(shù)理特點是“以九為法”的理論基礎。所謂“以九為法”，本質(zhì)上就是九進位制，即下一級計量單位逢九進位。具體而言，“九絲為毫，九毫為厘，九厘為分，九分為寸”④。本文從《律呂新書》文本出發(fā)，對“以九為法”的具體運用方法與學術(shù)價值進行闡述。

一、“以九為法”計算三分損益十二律整數(shù)律長

“約十而為九者，用之所以行”，說明“以九為法”的目的是解決十進位制與九進位制之間的沖突。三分損益法的核心運算公式3：2是一個無理數(shù)。因此，若要以整數(shù)律數(shù)精確地表達三分損益所求數(shù)據(jù)，必須以3的相應乘方數(shù)為最小起始律數(shù)才能滿足。也就是說，求五聲音階至少需要以34為起始律數(shù)，求七聲音階至少要以36為起始律數(shù)，求十二律則需要311為起始律數(shù)，以此類推。

例如，目前所見我國最早采用三分損益法求得五聲音階的文獻《管子·地員》載：“凡將起五音，必主一而三之，四開以合九九”。意為欲求五聲音階律數(shù)，必須先將3連乘4次，求得34，即以81作為起始運算數(shù)據(jù)，才能實現(xiàn)其后運算過程中連續(xù)4次除3所得均為整數(shù)。自起始律“宮”開始，4次三分損益除以分母3，依次可得徵、商、羽、角。《管子·地員》采用先益后損，求得的五聲律數(shù)分別為：宮81、徵108、商72、羽96、角64。如將宮設置為最低音，則需先損后益，先后求得的五聲律數(shù)分別為：宮81、徵54、商72、羽48、角64。

同理，在西漢時期的《淮南子·天文訓》中為了求得十二律的整數(shù)律數(shù)，以311，即177147為起始律數(shù)進行運算。采用先損后益，自黃鐘律數(shù)177147出發(fā)，依次求得林鐘118089、太簇157467、南呂104972……仲呂131072，共十二律。由于運用三分損益法產(chǎn)生十二律不再需要使用更大的律數(shù)進行生律運算，因此177147這個數(shù)字在古籍中又稱“黃鐘大數(shù)”，演化為一種基本數(shù)據(jù)，為后世求律者沿襲。①從漢《史記·律書》、京房六十律，到南北朝何承天新律、錢樂之三百六十律，五代劉焯律、王樸律，南宋蔡元定十八律一直使用黃鐘大數(shù)為起始律數(shù)，直到明朱載堉“新法密率”才被棄用。

黃鐘大數(shù)177147雖然解決了整數(shù)律數(shù)的問題，但律數(shù)過大難以應用于音樂實踐，更為重要的是無法承擔產(chǎn)生度量衡標準器數(shù)據(jù)的任務?！渡袝び輹に吹洹吩疲骸皡f(xié)時月正日，同律度量衡”。②在我國歷史上，黃鐘律管數(shù)據(jù)自先秦時期開始與就與度量衡數(shù)據(jù)密切相關(guān)。最遲至漢代，黃鐘律長已經(jīng)開始對度量衡中的“度”起到?jīng)Q定作用。《淮南子·天文訓》載“古之為度量輕重，生于天道。黃鐘之律修九寸。”《漢書·律歷志》又云：“度者，分、寸、尺、丈、引也，所以度長短也，本起于黃鐘之長?！空?，龠、合、升、斗、斛也，所以量多少也，本起于黃鐘之龠。……權(quán)衡者，衡，平也;權(quán)，重也，……本起于黃鐘之重?！雹?，“五聲之本，生于黃鐘之律。九寸為宮，或損或益，以定商、角、徵、羽?！雹堋叭y(tǒng)者，天施，地化，人事之紀也。十一月，乾之初九，陽氣伏于地下，始著為一，萬物萌動，鐘于太陰，故黃鐘為天統(tǒng)，律長九寸”⑤漢代典籍中出現(xiàn)的黃鐘律長9寸，就實際操作而言是一個較為合理的數(shù)據(jù)，因此歷代律歷志均將黃鐘律管定為9寸。但是這一來又回到了最初的問題，9僅僅是3的2次方，無法實現(xiàn)黃鐘九寸之后，其余十二管皆為整數(shù)。從黃鐘9寸出發(fā)，在十進制下，以“寸、分、厘、毫、絲、忽”為計量單位三分損益計算如下：

1.黃鐘律管9寸，三分損一下生林鐘，得6寸;

2.三分益一上生太簇，得8寸;

3.三分損一下生南呂，得5寸3分3厘3毫3絲3忽有余;

4.三分益一上生姑冼，得7寸1分1厘1毫1絲1忽有余;

5.三分損一下生應鐘，得4寸7分4厘〇毫7絲4忽有余;

6.三分益一上生蕤賓，得6寸3分2厘〇毫9絲8忽有余;

7.三分益一重上生大呂，得8寸4分2厘7毫9絲8忽有余;

8.三分損一下生夷則，得5寸6分1厘8毫6絲5忽有余;

9.三分益一上生夾鐘，得7寸4分9厘1毫5絲4忽有余;

10.三分損一下生無射，得4寸9分9厘4毫3絲6忽有余;

11.三分益一上生仲呂，得6寸6分5厘9毫1絲4忽有余。

從第3次運算開始，所有律長都不能除盡。為了解決這一問題，蔡元定在《律呂新書》中提出了“以九為法”的新方案。

下面就其具體算法進行解析。

首先，在《律呂新書·黃鐘之實》中，蔡元定嘗試將十二律律數(shù)與律長運算單位融為一體：

子一 鐘之律;

丑三 為絲法;

寅九 為寸數(shù);

卯二十七 為毫法;

辰八十一 為分數(shù);

巳二百四十三 為厘法;

午七百二十九 為厘數(shù);

未二千一百八十七 為分法;

申六千五百六十一 為毫數(shù);

酉一萬九千六百八十三 為寸法;

戌五萬九千〇四十九 為絲數(shù);

亥一十七萬七千一百四十七 黃鐘之實。

案，黃鐘九寸，以三分為損益故，以三歷十二辰得一十七萬七十一百四十七，為黃鐘之實。其十二辰所得之數(shù)，在子、寅、辰、午、申、戌六陽辰，為黃鐘寸、分、厘、毫、絲之數(shù)。子為黃鐘之律，寅為九寸，辰為八十一分，午為七百二十九厘，申為六千五百六十一毫，戌為五萬九千四十九絲。 在亥、酉、未、己、卯、丑六陰辰，為黃鐘寸、分、厘、毫、絲之法。亥為黃鐘之實，酉之一萬九千六百八十三為寸，未之二千一百八十七為分，巳之二百四十三為厘，卯之二十七為毫，丑之三為絲。①

這一方案以3為基數(shù)，不斷開方，至第11次方時，加上原來的基數(shù)，共計十二個數(shù)字，即“歷十二辰”。十二辰中，又以開方次數(shù)為準，奇數(shù)為陽，偶數(shù)為陰。陽為數(shù)，陰為法。具體算法非常巧妙：“九絲為毫，九毫為厘，九厘為分，九分為寸，為黃鐘。蓋黃鐘之實一十七萬七千一百四十七之數(shù)，以三約之，為絲者五萬九千四十九;以二十七約之，為毫者六千五百六十一;以二百四十三約之，為厘者七百二十九;以二千一百八十七約之，為分者八十一;以一萬九千六百八十三約之，為寸者九。由是三分損益以生十一律焉。”②這樣一來通過逆向拆解黃鐘大數(shù)177147，建立了一個以3的平方數(shù)為基準的長度計量單位體系。

其次，以黃鐘9寸為基準，按照三分損益生律順序，將十二律律數(shù)拆解為寸、分、厘、毫、絲、忽。

子，一分，一為九寸;

丑，三分二，一為三寸;

寅，九分八，一為一寸;

卯，二十七分十六，三為一寸，一為三分;

辰，八十一分六十四，九為一寸，一為一分;

巳，二百四十三分一百二十八，二十七為一寸，三為一分，一為三厘;

午，七百二十九分五百一十二，八十一為一寸，九為一分，一為一厘;

未，二千一百八十七分一千二十四，二百四十三為一寸，二十七為一分，三為一厘，一為三毫;

申，六千五百六十一分四千九十六，七百二十九為一寸，八十一為一分，九為一厘，一為一毫;

酉，一萬九千六百八十三分八千一百九十二，

二千一百八十七為一寸，二百四十三為一分，二十七為一厘，三為一毫，一為三絲;

戌，五萬九千四十九分三萬二千七百六十八，

六千五百六十一為一寸，七百二十九為一分，八十一為一厘，九為一毫，一為一絲;

亥，十七萬七千一百四十七分六萬五千五百三十六，一萬九千六百八十三為一寸，二千一百八十七為一分，二百四十三為一厘，二十七為一毫，三為一絲，一為三忽。①

這組數(shù)據(jù)仍自黃鐘9寸出發(fā)，但以分數(shù)形式正向表述“以九為法”下三分損益相生次序，與上一步驟中的逆向表述形式相呼應。自“卯”之后，所有不盡余數(shù)，均用上一步驟中“以九為法”求得的下一級單位表述。一寸為九分，一分為九厘，一厘為九毫，一毫為九絲。算法如下：

1.子，黃鐘律長為9寸。

2.丑，三分損一生林鐘，律長為黃鐘9寸的，得6寸;

3.寅，三分益一生太簇，律長為黃鐘9寸的，得8寸;

4.卯，三分損一生南呂，律長為黃鐘9寸的。9×=5。即得5寸，余寸。按1寸為9分，寸為3分。合計5寸3分。

5.辰，三分益一生姑冼，律長為黃鐘9寸的。9×=7。即得7寸，余寸。按1寸為9分，寸為1分。合計7寸1分。

6.巳，三分損一生應鐘，律長為黃鐘9寸的。9×=4。即得4寸，余寸。按1寸為9分，寸為6分，余分。按1分為9厘，分為6厘。合計4寸6分6厘。

7.午，三分益一生蕤賓，律長為黃鐘9寸的。9×=6。即6寸，余寸。按1寸為9分，寸為2分，余分。按1分為9厘，為8厘。合計6寸2分8厘。

8.未，三分損一生大呂，律長為黃鐘律長9寸的。9×=4。按清黃鐘為4.5寸，則此處所得為清大呂，已超出一個八度。按蕤賓重上生，應三分益一。三分益一生大呂，律長為黃鐘律長9寸的。9×=8。即8寸，余寸。按1寸為9分，寸為3分，余分。按1分為9厘，分為7厘，余厘。按1厘為9毫，厘為6毫。合計8寸3分7厘6毫。

9.申，三分損一生夷則，律長為黃鐘律長9寸的。9×=5。即5寸，余寸。按1寸為9分，寸為5分，余分。按1分為9厘，分為5厘，余厘。按1厘為9毫，厘為1毫。合計5寸5分5厘1毫。

10.酉，三分損一生夾鐘，律長為黃鐘律長9寸的。超出一個八度，同“未”。改作三分益一生夾鐘，律長為黃鐘律長9寸的。

9×=7。即7寸，余寸。按1寸為9分，寸為4分，余分。按1分為9厘，分為3厘，余厘。按1厘為9毫，厘為7毫，余毫。按1毫為9絲，毫為3絲。合計7寸4分3厘7毫3絲。

11.戌，三分損一生無射，律長為黃鐘律長9寸的。9×=4。即4寸，余寸。按1寸為9分，寸為8分，余分。按1分為9厘，分為8厘，余厘。按1厘為9毫，厘為4毫，余毫。按1毫為9絲，毫為8絲。合計4寸8分8厘4毫8絲。

12.亥，三分損一生仲呂，律長為黃鐘律長9寸的。為清仲呂，同“未”“酉”。改作三分益一生仲呂，律長為黃鐘律長9寸的。

9×=6。即6寸，余寸。按1寸為9分，寸為5分，余分。按1分為9厘，分為8厘，余厘。按1厘為9毫，厘為3毫，余毫。按1毫為9絲，毫為4絲，余絲。按1絲為9忽，絲為6忽。合計6寸5分8厘3毫4絲6忽。

文中未、酉、亥三則算式數(shù)據(jù)的校改，依據(jù)未下文所引《律呂新書》上卷第《黃鐘之實第四》。運算過程展示了黃鐘律長定為9寸后，如何在“以九為法”的條件下，實現(xiàn)十二律律長皆為整數(shù)，解決了十進位制下三分損益求律余數(shù)不盡的缺陷。

二、“以九為法”與蔡元定十八律

除運用“以九為法”求十二律律數(shù)與整數(shù)律長外，《律呂新書》還用其闡釋蔡元定十八律中的正律與半律的應用情況。

子，黃鐘，十七萬七千一百四十七，全九寸，半無;

丑，林鐘，十一萬八千〇九十八，全六寸，半三寸，不用;

寅，太簇，十五萬七千四百六十四，全八寸，半四寸;

卯，南呂，十萬四千九百七十六，全五寸三分，半二寸六分不用;

辰，姑洗，十三萬九千九百六十八，全七寸一分，半三寸五分;

已，應鐘，九萬三千三百一十二，全四寸六分六厘，半二寸三分三厘不用;

午，蕤賓，十二萬四千四百一十六，全六寸二分八厘，半三寸一分四厘;

未，大呂，十六萬五千八百八十八，全八寸三分七厘六毫，半四寸一分八厘三毫;

申，夷則，十一萬零五百九十二，全五寸五分五厘一毫，半二寸七分二厘五毫;

酉，夾鐘，十四萬七千四百五十六，全七寸四分三厘七毫三絲，半三寸六分六厘三毫六絲;

戌，無射，九萬八千三百零四，全四寸八分八厘四毫八絲，半二寸四分四厘二毫四絲;

亥，仲呂，十三萬一千零七十二，全六寸五分八厘三毫四絲六忽（余二算），半三寸二分八厘六毫二絲三忽。①黃鐘律數(shù)設為177147，律長九寸。按“以九為法”，連續(xù)除以9，可得1寸為19683，1分為2187，1厘為243，1毫為27，1絲為3，1忽為，即。十二律律數(shù)約以（即除以）寸法，得其寸數(shù);不盡之數(shù)再約以分法，得其分數(shù);仍不盡之數(shù)再約以厘法，得其厘數(shù);仍不盡之數(shù)約以毫法，得其毫數(shù);不盡之數(shù)又約以忽法，得其忽數(shù)。

需要特別說明的是原文括號內(nèi)的“余二算”。至最后一次生律“亥”時，絲數(shù)不能盡除，余2。以“忽法”約之，按1忽為，以余數(shù)2除之，得6忽。如此，在計算十二正律律長之后，蔡元定還算出各正律之半（即高八度）的律長。下面將上文十二律及其半律律長求法、用法逐一解析：

1.黃鐘

黃鐘律數(shù)設為177147，長9寸。得每寸為19683，每分為2187，每厘為243，每毫為27，每絲為3，每忽為。，十八律中沒有黃鐘半律，清黃鐘應由仲呂三分損益而得，屬于變律，因此此處為“半無”，而非“不用”。

2.林鐘

三分損一得林鐘律數(shù)為118098，約以寸法，得6寸。除半，得清林鐘律數(shù)59049，約以寸法，得3寸，不用?！安挥谩币鉃榇寺煽缮?，但不被十八律實際采用。

3.太簇

三分益一得太簇律數(shù)157464，約以寸法，得8寸。除半，得清太簇律數(shù)78732，律長4寸。

4.南呂

三分損一得南呂律數(shù)104976，約以寸法，得5寸，余6561。余數(shù)約以分法，得3分。合計5寸3分。除半，得清南呂律數(shù)52488，約以寸法，得2寸，余13122。余數(shù)約以分法，得6分。合計2寸6分，不用。

5.姑冼

三分益一得姑冼律數(shù)為139968，約以寸法，得7寸，余2187，得一分。合計7寸1分。除半，得清姑冼律數(shù)69984，以寸法約之，得3寸，余10953。余數(shù)約以分法得5分，合計3寸5分。

6.應鐘

三分損一得應鐘律數(shù)為93312，約以寸法，得4寸，余14580。余數(shù)約以分法，得6分，余1458。余數(shù)約以厘法，得6厘。合計4寸6分6厘。除半，得清應鐘律數(shù)46656，約以寸法，得2寸，余7290。余數(shù)約以分法，得3分，余729。余數(shù)約以厘法，得3厘。合計2寸3分3厘，不用。

7.蕤賓

三分益一得蕤賓律數(shù)為124416，約以寸法，得6寸，余6318。余數(shù)約以分法，得2分，余1044。余數(shù)約以厘法，得8厘。至此，得蕤賓律長為6寸2分8厘。除半，得清蕤賓律數(shù)62208，以寸法約之，得3寸，余3159。余數(shù)約以分法，得1分，余972。余數(shù)約以厘法，得4厘。合計3寸1分4厘。

8.大呂

三分損一得大呂律數(shù)165888，約以寸法，得8寸，余8424。余數(shù)約以分法，得3分，余1863。余數(shù)約以厘法，得7厘，余162。余數(shù)約以毫法，得6毫。合計8寸3分7厘6毫。除半，得清大呂律數(shù)82944，約以寸法，得4寸，余4212。余數(shù)約以分法，得1分，余2025。余數(shù)約以厘法，得8厘，余81。余數(shù)約以毫法，得3毫。合計4寸1分8厘3毫。

9.夷則

大呂律數(shù)三分益一得夷則律數(shù)110592，約以寸法，得5寸，余12177。余數(shù)約以分法，得五分，余1242。余數(shù)再約以厘法，得5厘，余27。約以毫法，得1毫。合計5寸5分5厘1毫。除半，得清夷則律數(shù)55296，約以寸法，得2寸，余10930。余數(shù)約以分法，得7分，余621。約以厘法，得2厘，余135。約以毫法，得5毫。合計2寸7分2厘5毫。

10.夾鐘

三分損一得夾鐘律數(shù)147456，約以寸法，得7寸，余9675。約以分法，得4分，余927。約以厘法，得3厘，余198。約以毫法，得7毫，余9。約以絲法，得3絲。合計7寸4分3厘7毫3絲。除半，得清夾鐘律數(shù)73728。約以寸法，得3寸，余14679。約以分法，得6分，余1557。約以厘法，得6厘，余99。約以毫法，得3毫，余18。約以絲法，得6絲。合計3寸6分6厘3毫6絲。

11.無射

三分損一得無射律數(shù)98304。約以寸法，得4寸，余19572。約以分法，得8分，余2076。約以厘法，得8厘，余132。約以毫法，得4毫，余24。約以絲法，得8絲。合計4寸8分8厘4毫8絲。除半，得清無射律數(shù)49152，約以寸法得2寸，余9786。約以分法，得4分，余1038。約以厘法，得4厘，余66。約以毫法，得2毫，余12。得4絲。合計2寸4分4厘2毫4絲。

12.仲呂

三分益一得仲呂律數(shù)131072。約以寸法，得6寸，余12974。約以分法，得5分，余2039。約以厘法，得8厘，余95。約以毫法，得3毫，余14。約以絲法，為4絲，余2。約以忽法，得6忽。合計6寸5分8厘3毫4絲6忽。除半，得清仲呂65536。約以寸法，得3寸，余6487。約以分法，得2分，余2113。約以厘法，得8厘，余169。約以毫法，得6毫，余7。約以絲法，得2絲，余1。約以忽法，得3忽。合計3寸2分8厘6毫2絲3忽。

至此，蔡元定十八律中前十二律的全部律數(shù)與律長均按“以九為法”求得整數(shù)數(shù)值。但是十八律的核心創(chuàng)造是“變律”。上卷《變律第五》中，蔡元定繼續(xù)使用“以九為法”對六變律的數(shù)據(jù)進行運算，并對不可整除的余數(shù)用“小分”表達。這部分內(nèi)容在拙文《〈律呂新書〉小分算法解

析》①中已經(jīng)有較為詳細的闡釋，在此不做贅述。

三、“以九為法”?？薄妒酚洝ぢ蓵?/p>

司馬遷《史記·律書·律數(shù)》載：

黃鐘長八寸七分一，宮。大呂長七寸五分三分一。太蔟長七寸七分二，角。夾鐘長六寸一分三分一。姑洗長六寸七分四，羽。仲呂長五寸九分三分二，徵。蕤賓長五寸六分三分一。林鐘長五寸七分四，角。夷則長五寸四分三分二，商。南呂長四寸七分八，徵。無射長四寸四分三分二。應鐘長四寸二分三分二，羽。②

按黃鐘律長“黃鐘八寸七分一”，即8寸，則三分損一得林鐘律長為，即 ?。與原文“林鐘長五寸七分四”不合。更重要的是無法解釋《史記》前文反復強調(diào)“黃鐘九寸”，此處為何出現(xiàn)“黃鐘八寸七分一”？

司馬貞《史記》索隱：“上文云‘律九八十一以為宮’，故云‘長八寸十分一宮’。而《漢書》云黃鐘長九寸者，九分之寸也。劉歆、鄭玄等皆以為長九寸即十分之寸，不依此法也。云宮者，黃鐘為律之首，宮為五音之長，十一月以黃鐘為宮，則聲得其正。舊本多作‘七分’，蓋誤也”。③

所謂“黃鐘長九寸者，九分寸也”，即指1寸為9分，則9寸為81分。必須將上文中“八寸七分一”校作“八寸十分一”，才可保證其后數(shù)據(jù)在三分損益原理下運行正常。對這一原理最早進行系統(tǒng)闡述的是《律呂新書》下卷《律長短圍徑之數(shù)第二》。

按，《律書》此章所記分寸之法與他記不同，以難曉故，多誤。

蓋取黃鐘之律九寸，一寸九分，凡八十一分。而又以十約之為寸，故云八寸十分一。本作“七分一”者，誤也。今以相生次序，列而正之。其應鐘以下則有小分，小分以三為法，如歷家太少余分強弱耳。其法未密也。今以二千一百八十七為全分，七百二十九為三分一，一千四百五十八為三分二，余分之多者為強，少者為弱，列于諸律之下。其誤字悉正之。①

在勘正《律數(shù)》的基礎上，蔡元定還使用小分算法進一步精確了上述數(shù)據(jù)。雖然勘誤方法最早由司馬貞提出，但具體運算原理闡釋，以及全部數(shù)據(jù)?？保瑒t是蔡元定完成的。

四、“以九為法”的學術(shù)價值

《律呂新書》中“以九為法”的應用非常廣泛。上卷《律呂本原》中，《黃鐘之實第二》《黃鐘生十一律第三》《十二律之實第四》《變律第五》均采用此法闡述十八律理論。下卷《律呂證辨》中，《律長短圍徑之數(shù)第二》《黃鐘之實第三》《三分損益上下相生第四》均采用此法辨析《史記·律書》中《律數(shù)》《生鐘分》相關(guān)數(shù)據(jù)的校勘問題。可見，朱載堉認為“以九為法”是《律呂新書》“最緊要者”并不過分。下面結(jié)合上文解析，對其學術(shù)價值進行總結(jié)。

首先，對于理解十八律的具體應用方式具有極為重要的意義。“以九為法”的運用既清晰地表達了三分損益法的缺陷，又巧妙地利用了三分損益法的特點求出十二律律長的精確數(shù)據(jù)。雖然三分損益法在以黃鐘大數(shù)為起始律數(shù)的前提下，能夠?qū)崿F(xiàn)十二律律數(shù)均為整數(shù)，但卻無法同樣應用于黃鐘9寸的律長數(shù)據(jù)，而律長數(shù)據(jù)正是蔡元定十八律最為重要的數(shù)據(jù)。十八律的目的正是保存三分損益的前提下進入應用層面，只有在律長的語境下，十八律中的“半無”“不用”才有其存在價值。

其次，“以九為法”與“小分算法”代表著保留三分損益法的前提下古代律學運算的最高水平之一。在精密度上，蔡元定運用上述兩種算法求得完全整除的律數(shù)、律長，勝過京房、錢樂之。而何承天、王樸、朱載堉則已經(jīng)突破了三分損益，與蔡元定不在同一條跑道。實際上，蔡元定十八律之后，恪守三分損益法的一派律學家已經(jīng)沒有能力在此基礎上進一步前進了。從這個角度上看，蔡元定運用“以九為法”與“小分算法”，在“舊法”前提下求得的十八律，與朱載堉以“新法”表達的“密率”有著同樣的價值。即便在《樂律全書》刊行后，研究十八律的清代律學家遠遠多于研究新法密率者，說明至少在復古派眼中，蔡元定不比朱載堉差。

第三，“以九為法”所凝視的律長運算，體現(xiàn)出蔡元定對于律學理論實用價值的追求。律數(shù)為虛，律長為實。所謂“協(xié)時月正日，同律度量衡”②，黃鐘律長對于度量衡標準的意義，客觀上要求其計算必須符合實踐需要。蔡元定使用“以九為法”表達其十八律理論，是對古代律學“經(jīng)世致用”傳統(tǒng)的致敬。“以九為法”的運用，使得蔡元定一舉解決前代樂律學文獻中的多個難題。

因此，朱載堉在《律呂精義》中給出這樣的評價“朱熹、蔡元定始能表章九分為寸之法，有功律學亦多”③。

本篇責任編輯 何蓮子

收稿日期：2021-11-29

基金項目：2020年度教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目“南宋蔡元定音樂著述整理與研究”（20YJA760054）階段性研究成果。

作者簡介：呂暢（1981— ），男，博士，碩士生導師，四川音樂學院音樂學系副教授（四川成都 610021）。