論流體能量守恒及壓力勢能與伯努利原理的應(yīng)用

張辰辰

（北京城建亞泰建設(shè)集團(tuán)有限公司，北京 100000）

1 論述壓力勢能做功的形式

我們都知道伯努利原理：

這個(gè)式子被稱為伯努利方程。式中，p為流體中某點(diǎn)的壓強(qiáng)，v為流體該點(diǎn)的流速，ρ為流體密度，g為重力加速度，h為該點(diǎn)所在高度，C是一個(gè)常量。

我們設(shè)△V為一圓柱形流體構(gòu)成的系統(tǒng),當(dāng)我們將公式（1）兩邊乘以一個(gè)體積元△V。

即p△V+ρ△Vgh+(1/2)ρ△Vv2=c△V。

如圖1：（一段在圓柱體內(nèi)的具有壓力的流體，先稱其為圓柱形流體）。

圖1 截面積為s圓柱形流體系統(tǒng)（移動距離a）

此時(shí)，我們將圓柱形流體看作一個(gè)系統(tǒng)，其移動距離a，及圓柱形流體作用在s面上的壓力做功W=Fa→E=Fa（2），F(xiàn)為作用在s面上的力，a為圓柱形流體的長度。

圓柱形流體的重量勢能E=mgh（3），m為圓柱形流體的質(zhì)量，g為重力加速度，h為圓柱形流體抵抗重力做功的距離。

圓柱形流體的動能E=(1/2)mv2（4），m為圓柱形流體的質(zhì)量，v為圓柱形流體的流速（v為圓柱形流體這個(gè)系統(tǒng)的速度≠其該點(diǎn)的流速）

壓力勢能+重力勢能+動能=常數(shù)（與上式一一對應(yīng)）

這樣看，壓力勢能是由于某質(zhì)元△m因處于壓力F的場中而具有的能量。需要注意的是，壓力勢能與重力勢能不同，是物體由于位形（不是位置）而具有的能量。

此式表示為壓力勢能與重力勢能及流體動能守恒。

因?yàn)榇髿鈮毫菽芗礊榇髿鈮毫撛谒龅墓Γ浯笮∨c相對真空的大氣壓強(qiáng)和真空的體積有關(guān)。任何形狀的真空體都可視為由若干微小的高度為h底面積之和為s的柱體構(gòu)成，高度h可視為大氣壓力做功時(shí)經(jīng)過的距離，面積之和s可視為大氣壓力的受力面。設(shè)大氣壓力勢能為E、大氣壓力所做的功為W、大氣壓力為F、大氣壓強(qiáng)為P、真空的體積為V。根據(jù)大氣壓力與大氣壓強(qiáng)的關(guān)系以及功與力的關(guān)系可得：E=PV（6）（壓力勢能是一種機(jī)械能，與重力勢能、動能、內(nèi)能在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換。）

由公式可知：大氣壓力勢能與相對于真空的大氣壓強(qiáng)和真空的體積有關(guān)。

液體壓力勢能也是如此：將一個(gè)真空的球體壓入水下（球體重量忽略不計(jì)），深度h,球體體積v，則球體浮力為ρvg,球體壓入水中所做的功：W=ρvgh=pv.→E=PV。

又根據(jù)克伯龍方程：PV=nRT（7），P表示壓強(qiáng)，V表示氣體體積，n表示物質(zhì)的量，T表示絕對溫度，R表示氣體常數(shù)。所有氣體R值均相同。如果壓強(qiáng)、溫度和體積都采用國際單位（SI），R=8.314帕·米3/摩爾·K。如果壓強(qiáng)為大氣壓，體積為升，則R=0.0814大氣壓·升/摩爾·K。R為常數(shù)。

理想氣體狀態(tài)方程：pV=nRT，

由式（4）、（6）得：流體壓力勢能E=pV=nRT（8），

由流體壓力勢能公式（8）、流體壓力勢能公式（5）、（6）得：nRT+mgh+(1/2)mv2=K（9），n表示物質(zhì)的量，T表示絕對溫度，R表示氣體常數(shù)，v為流體系統(tǒng)（文中流體系統(tǒng)表示為一段重力勢能、動能、內(nèi)能、壓力勢能總和不變的圓柱形流體如圖一）速度，m為流體系統(tǒng)質(zhì)量，g為重力加速度，h為圓柱形流體抵抗重力做功的距離，K是一個(gè)常數(shù)。

由nRT+mgh+(1/2)mv2=K，

重力（亦或是其他力F=mg），得：nRT=K-Fh-(1/2)mv2（10），及當(dāng)圓柱形流體系統(tǒng)動能增大，或系統(tǒng)重力勢能增大（對外做功）時(shí)，溫度減小。用此式可以解釋渦流管分離冷氣與熱氣的現(xiàn)象。

渦流管：壓縮氣流通過收斂型的噴嘴膨脹加速，以音速沿切線方向進(jìn)入圓形管內(nèi)腔，并沿同口徑的管道擴(kuò)散，形成高速旋轉(zhuǎn)的渦流，從管道的截面看，此時(shí)雖然都叫氣流，但是中心的氣流角速度大，由公式（10）可知，速度增大溫度T減小，靠近壁管的氣流發(fā)生摩擦角速度比較低，公式（10）可寫為nRT=K-(1/2)mv2隨著速度增大溫度減小。

實(shí)際就是內(nèi)圈高速旋轉(zhuǎn)的渦流靠摩擦力帶動外圈的渦流低速旋轉(zhuǎn)，因此，內(nèi)圈的氣流不斷帶動外圈旋轉(zhuǎn)，結(jié)果就是內(nèi)圈渦流的氣體內(nèi)能不斷轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)動能，公式（10）可寫為nRT=K-Fh。由于內(nèi)圈旋渦的氣體不斷對外圈氣體做功，所有溫度降低，相應(yīng)的外圈氣體不斷因摩擦獲得動能維持旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，氣體內(nèi)能也不斷增加，導(dǎo)致溫度升高。其實(shí)不止渦流管，旋轉(zhuǎn)的流體都會出現(xiàn)這種現(xiàn)象，只是速度太小導(dǎo)致溫度變化小，不易察覺。

如此一來，內(nèi)圈的低溫渦流和外圈的高溫渦流，同時(shí)，向右錐形塞的出口擴(kuò)散，而冷氣口由于氣體的附壁效應(yīng)將角速度小的中心氣體帶出，形成冷空氣。渦流管如圖2。

圖2 渦流管示意圖

由圖1得當(dāng)圓柱形流體系統(tǒng)移動距離a，及壓力對外做功（流體勢能對外做功）W=Fa，由公式（5）、公式（6）、公式（7）得E=Fa=PV=nRT→T=W/nR，圓柱形流體系統(tǒng)內(nèi)能降低溫度減小。及圓柱形流體系統(tǒng)溫度與系統(tǒng)對外做的功成反比。

此處引用理想氣體方程，對于其他流體可代入dp/dT=L/(TΔv)，其中L是相變潛熱，Δv是比體積或摩爾體積的變化。易得出對外做功與溫度的變化。

2 論述流速與壓強(qiáng)的關(guān)系

旋轉(zhuǎn)的半徑為r的圓盤上放置一個(gè)質(zhì)量為m的物體，此時(shí)，由于摩擦力提供向心力，物體保持與圓盤同步旋轉(zhuǎn)，物體受到的向心力為F=mv2/r，m為物體質(zhì)量，v為物體速度，r為物體至圓心的距離。

將流體分子設(shè)為一質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)流體放置在半徑為r的圓盤上旋轉(zhuǎn)，流體總質(zhì)量為M,此時(shí)，分子與圓盤摩擦力提供向心力，單個(gè)分子受到的向心力為F=mv2/r。

圓柱形流體分子組成的質(zhì)量為M的總流體，考慮總流體可以看作在r/2半徑上的一圈質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的圓環(huán)，則質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的圓環(huán)受到的向心力為F=Mv2/2r.→F=nmv2/2r（11）。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)向心力F=mv2/2r。而nm/2r可以表述為在半徑r上可以排列分子的數(shù)量。

圓柱形流體在半徑r/2圓柱面上產(chǎn)生的壓強(qiáng)：

P=(Mv2/2r)/πrh=Mv2/2πr2h=Mv2/2V=ρv2/2（12），(V半徑r高為h圓柱體積）。與圓柱半徑無關(guān)，與圓柱體積內(nèi)流體密度成正比，與流體速度平方成正比。壓強(qiáng)的方向由圓心指向切點(diǎn)方向。

單個(gè)運(yùn)動軌跡為半徑r/2質(zhì)點(diǎn)在圓柱面上產(chǎn)生的壓強(qiáng)P’=(mv2/2r)/πrh=mv2/2πr2h=mv2/2V=ρ’v2/2，P’單 個(gè)質(zhì)點(diǎn)為壓強(qiáng)貢獻(xiàn)值。ρ’為質(zhì)點(diǎn)m在圓柱體積V內(nèi)占的比重。P’與圓柱半徑無關(guān)，與體積有關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量有關(guān)，即質(zhì)點(diǎn)移動速度v，該質(zhì)點(diǎn)則產(chǎn)生P’的壓強(qiáng)，壓強(qiáng)的方向由圓心指向切點(diǎn)方向。

可以算出單個(gè)水分子在1立方米體積上的比重為：ρ’=m/V=水分子質(zhì)量m/體積=2.99×10(-26)/1=2.99×10(-26)kg/m3。

當(dāng)單個(gè)水分子速度為1m/s時(shí)，為壓強(qiáng)貢獻(xiàn)值為：P’=ρ’v2/2=2.99×10(-26)×12/2=1.49510(-26)kg/ms2，此單位表示，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量（kg）與其經(jīng)過的路徑（m）與時(shí)間（s）的平方乘積成正比。kg/ms2分子分母同時(shí)乘以m,可得出壓強(qiáng)單位kgm/m2s2→N/m2，由動能公式E=mv2/2。流體在半徑r/2圓柱面上產(chǎn)生的壓強(qiáng)P=ρv2/2=Mv2/2V（13）。得P=E/V，同體積下，動能與正曲率方向（由圓心指向質(zhì)點(diǎn)方向）上的壓強(qiáng)成正比。動能不變的情況下，系統(tǒng)體積與正曲率方向（由圓心指向質(zhì)點(diǎn)方向）上的壓強(qiáng)成反比。

由動能公式E=mv2/2。單個(gè)流線質(zhì)點(diǎn)（運(yùn)動軌跡有曲率的質(zhì)點(diǎn)）壓強(qiáng)貢獻(xiàn)值公式P’=ρ’v2/2=mv2/2V。得P’=E/V，同體積下，單質(zhì)點(diǎn)動能與正曲率方向（由圓心指向質(zhì)點(diǎn)方向）上的壓強(qiáng)成正比。動能不變的情況下，系統(tǒng)體積與正曲率方向（由圓心指向質(zhì)點(diǎn)方向）上的壓強(qiáng)成反比。

流體在物體表面流動時(shí)，由于流體的黏性，在物體表面會產(chǎn)生速度梯度，即：τ=ηdv/dx=ηD（牛頓公式）其中η與材料性質(zhì)有關(guān)，我們稱為“黏度”。當(dāng)速度梯度不為線性時(shí)及速度v/x不為常數(shù)時(shí)（如圖3），我們可以理解為此處流體（物體表面上流動的流體）產(chǎn)生了壓強(qiáng)，單個(gè)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生壓強(qiáng)的大小為P’=E/V。則此處產(chǎn)生的壓強(qiáng)P=ρv2/2。方向?yàn)檎史较?，如圖3。

圖3

當(dāng)速度梯度為弧形時(shí)，即板受到F運(yùn)動時(shí)，則流體因黏度η的存在，靠近板的流體被帶走，上層的流體來補(bǔ)充，產(chǎn)生了沿弧形梯度流動的流體，由公式（12）知圓柱形流體產(chǎn)生的壓強(qiáng)P與圓柱半徑無關(guān)，與圓柱體積內(nèi)流體密度成正比，與流體速度平方成正比。壓強(qiáng)的方向?yàn)檎史较颉?/p>