橢圓周長的近似計算公式

●劉國新

一、引言

計算橢圓的周長，需要用第二類橢圓積分或者展開成無窮級數(shù)計算，計算量比較大，而且橢圓積分不能表示為初等函數(shù)，因此橢圓的周長不可能有準確的計算公式。有學者進行了橢圓周長計算公式推導的嘗試。

花向東[3]提出的公式

這個需要開根號，雖然計算較為簡單，但是精確度并不是太高。

賈青慧[4]提出了一種精確度較高一點的公式：

但對于中學生計算橢圓周長來說計算量較大。陳曉彥、劉植[1]介紹并推導了橢圓周長的三個經(jīng)典公式及相應誤差估計，誤差雖然較小，但計算方式不適合中學橢圓周長的推導。

本文結(jié)合現(xiàn)有公式和MATLAB 軟件給出了計算橢圓周長的一種近似計算公式，計算量較小，而且比中學常用的橢圓周長計算公式精確度更高， 十分適合用于中學的橢圓周長計算。

在平面上，令兩個定點F1、F2為焦點，線段F1F2=2c，c 為半焦距，焦距的中點O 為焦心。令線段F1、F2兩側(cè)對稱的M（N）為特殊的動點（能縱向橫向移動，起點終點都在同一直線上）， 線段MN=2a，a 為半長軸（動點與焦心間的最大距離為半長軸a，最小距離為短半軸b）。令離心率

半焦距長c 與半長軸長a 的比值越小，橢圓周長越大，形狀越近似于圓，反之，周長越小，形狀越扁平。

二、用橢圓的代數(shù)量近似計算橢圓的周長

（一）以F1、F2 為定點，焦距2c 為定值，半焦距c為常數(shù)，M（N）為動點，半長軸長a 為變量

用不同的動點、選擇不同的e，畫出長度不同的橢圓曲線，如圖1。

圖1 圓、橢圓c 為常數(shù)的組合圖

令橢圓周長為LC，有＞LC≥4c。

（二）M（N）仍為動點，線段MN=2a 為定值，半長軸a 為常數(shù)

移動F1、F2的點位，使半焦距c 為變量，由c=a·e，c 與e為正比關系，e 越小，c 越小，F(xiàn)1、F2越接近焦心。當趨近于零，F(xiàn)1、F2無限接近焦心，橢圓趨近于圓。周長最大值為LM=2πa。當e 趨近于1，F(xiàn)1、F2無限接近于M、N，橢圓曲線最短，理論值為LM≥4a。

用不同的焦距，選擇不同的e，畫出長度不同、起點終點相同的曲線，如圖2。

圖2 圓、橢圓a 為常數(shù)的組合圖

令La為橢圓周長，有2πa≥La≥4a。

兩類表述中，橢圓短半軸b 均為變量。

兩相比較，a 為常數(shù)時曲線在有限空間內(nèi)變化，最大值2πa 為定值。c 為常數(shù)時，曲線變化空間無限，最大值為不確定因素，不便處置。所以用半長軸a 為常數(shù)繼續(xù)進行研討。

三、近似橢圓周長

推證：La與e、c、a、π 的函數(shù)關系式

因為橢圓有焦點、動點、半焦距、半長軸幾個因素，各種因素成對出現(xiàn)，又與圓關系密切（兩者都離不開無理數(shù)π，與雙曲線拋物線不同），所以橢圓周長應由兩部分組成：

第一部分是2πa，表示以半長軸a 為半徑的大圓的周長，即為周長的最大值。

第二部分是表示以半焦距c 為半徑的可變的小圓的周長，但不是周長的最小值。但兩部分不能相加，不能乘除，因為有最大值和量綱（單位）的制約。

所以：La=2πa-2πa·e …… ①

當e 趨近于1，La趨近于0，與前面結(jié)論Lm≥4a明顯矛盾。因2πa 為常數(shù)，只能調(diào)整可變的第二部分。暫用c1替換，和L1=Lm=4a 代替La進入①。

有4a=2πa-c1，得c1=2a（π-2）

注：“2a（π-2）”為e 趨近于1 時，半長軸a 為常數(shù)、半焦距c 為半徑的小圓周長，即e=1 時的小圓周長。

令各節(jié)點的小圓周長為2a（π-2）ex

所以：La=2πa-2a（π-2）ex

=2{π-（π-2）ex}a …… ②

此式表明，半長軸為常數(shù)的橢圓周長只與ex有關。

四、對比、排除深入研討ex

為確保e 趨近于1，Lm≥4a，恒定的特殊條件，ex不能有e 加（減）x，e 乘（除）x 和e 的自然數(shù)。

因e 越小，La就越大，曲線長度越大，橢圓趨近于圓，必有又因La的變化量遠大于e 的變化量，ex的變化率越小越好。

根據(jù)橢圓的幾何特征和ex的綜合作用，ex=此式成立的唯一條件是x=2。再因e2可遠小于e。

將ex的假想值代入公式用計算數(shù)據(jù)進行類比，最終優(yōu)選出

代入②得到周長

注：（1）③④為橢圓周長的兩個公式。兩個公式對任意一條曲線皆適用，關鍵是e 的確認，若e=1/3，當c=10，必有a=30，又若a=40，必有c=13.3…（如組合圖1 所示）

（2）“2-e”為公式的微調(diào)部分，若用“2.1-1.1e”、“2.2-1.2e”…橢圓周長則微小增大。又若“1.9-0.9e”、“1.8-0.8e”…橢圓周長則微微減小。

（3）公式還適用以長軸為界的半橢圓長度的計算。

五、近似計算橢圓周長結(jié)果的比較

為了檢驗本文所推導的公式的精確度，將之與以下公式進行比較：

表1 精確度比較

公式1 為中學數(shù)學計算橢圓周長最常用的方法，公式2 為計算橢圓周長計算量較小、較為常用的方法之一，公式3 為橢圓周長的級數(shù)展開計算方法，精確度是目前最高的，可以近似為橢圓周長真值。

下面進行公式1、公式2、公式4 與公式3 之間的誤差分析。

由誤差表2 可以看出，中學數(shù)學最常用的公式隨著e 的增大誤差隨之增大；公式2 在e 值較小時比較逼近近似真值，但隨著e 值增大，誤差變得越來越大。本文所推導的公式4 是三個近似公式里誤差最小的，由此可見，本文所推導公式符合橢圓周長的計算本質(zhì)，并且本文所推導公式計算量較小，適合于中學數(shù)學的橢圓周長計算。

表2 誤差比較