2021年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題評(píng)析

●程雪蓮，趙思林

根據(jù)《中國(guó)高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)報(bào)告》可以知道，2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷命題落實(shí)高考內(nèi)容改革總體要求，貫徹德智體美勞全面發(fā)展教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔功能和育人導(dǎo)向。概率與統(tǒng)計(jì)是高考考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的重要載體，也是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要部分。概率主要研究隨機(jī)現(xiàn)象，統(tǒng)計(jì)主要研究數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。概率與統(tǒng)計(jì)不僅是高中必修的內(nèi)容， 也是大學(xué)學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。在高考中， 概率與統(tǒng)計(jì)占有不可或缺的地位。本文對(duì)2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題進(jìn)行評(píng)析。

一、高考試卷考查“概率與統(tǒng)計(jì)”試題統(tǒng)計(jì)

2021年全國(guó)高考卷包括全國(guó)甲卷（原有的全國(guó)III卷）文理科各一套、全國(guó)乙卷（原有的全國(guó)I、II卷合并）文理科各一套、新高考I卷（新課標(biāo)I卷）、新高考II卷（新課標(biāo)II卷），其中全國(guó)甲、乙卷共計(jì)23題，必做22題；新高考I、II卷不分文理科，共計(jì)22題。每套試卷都對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)進(jìn)行了考查，現(xiàn)將6套試卷中考查概率、統(tǒng)計(jì)知識(shí)的試題按照題型、分值、考查內(nèi)容、交匯章節(jié)及難度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示。

表1 2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)各套試卷考查概率、統(tǒng)計(jì)知識(shí)的試題統(tǒng)計(jì)

由表1可知，全國(guó)甲卷和乙卷文、理科對(duì)概率、統(tǒng)計(jì)的考查題型有選擇題和解答題兩種，其分值分別為10分、12分，總分值為22分，占試卷總分的14.6%；乙卷文、理科對(duì)概率、統(tǒng)計(jì)的考查題型有選擇題和解答題兩種，其分值分別為5分、12分，總分值為17分，占試卷總分的11.3%；新高考I、II卷對(duì)概率、統(tǒng)計(jì)的考查題型有單選題、多選題和解答題三種，其分值分別為5分、5分、12分，總分值為22分，占試卷總分的14.6%。

通過(guò)對(duì)試卷考查內(nèi)容進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)6套試卷考查的概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)涉及幾何概型、古典概型、頻率分布直方圖、樣本估計(jì)總體、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征(平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差)、2×2列聯(lián)表、分層抽樣、計(jì)數(shù)原理、組合、獨(dú)立事件概率乘法公式、獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列，內(nèi)容多，覆蓋面廣。2021年的高考數(shù)學(xué)試題結(jié)構(gòu)穩(wěn)中出新，大題布局動(dòng)態(tài)調(diào)整。在概率與統(tǒng)計(jì)方面的考查體現(xiàn)為概率、統(tǒng)計(jì)題目位置提前至17題，考查數(shù)據(jù)分析及應(yīng)用，難度較往年有所降低，重在考查學(xué)生靈活應(yīng)變的能力和主動(dòng)調(diào)整適應(yīng)的能力[1]。

二、2021年高考考查概率與統(tǒng)計(jì)的試題與評(píng)析

（一）隨機(jī)事件的獨(dú)立性

隨機(jī)事件的獨(dú)立性需要在有限樣本空間中實(shí)現(xiàn)，是指對(duì)兩個(gè)隨機(jī)事件之間如果其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率不受另外一個(gè)事件發(fā)生與否的影響的關(guān)系的描述。

以新高考卷I第8題為例，該題以有放回的隨機(jī)取球事例為背景，考查獨(dú)立事件的定義。題目中對(duì)事件甲、乙、丙、丁的描述中，只有事件甲和事件丙互不影響其發(fā)生的可能性，且滿足P（甲丙）=P（甲）P（丙）的關(guān)系，故選A。

（二）幾何概型

幾何概型是幾何中長(zhǎng)度、面積或體積與概率形成的概率模型，即是指每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例的概率模型。幾何概型具有無(wú)限性和等可能性的特征。2021年高考數(shù)學(xué)對(duì)幾何概型與隨機(jī)事件的獨(dú)立性的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、簡(jiǎn)潔性、概括性的特點(diǎn)。

例1（全國(guó)乙卷理科第8題）在區(qū)間(0，1)與(1，2)中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ）。

評(píng)析：以全國(guó)乙卷理科第8題和全國(guó)乙卷文科第7題（略）為例，這兩道題直接考查幾何概型，注重考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。其中全國(guó)乙卷理科第8題難度較大，此題可理解為求x+y>的概率，通過(guò)畫(huà)圖，利用線性規(guī)劃的知識(shí)求得兩數(shù)之和大于的概率為，故選B。全國(guó)乙卷文科第7題的解答關(guān)鍵在于明確事件A“取到數(shù)小于”對(duì)應(yīng)范圍，再利用幾何概型公式求得P（A）=，故選B。

（三）頻率分布直方圖

頻率分布直方圖是以圖表展示統(tǒng)計(jì)信息的一種統(tǒng)計(jì)方式，能夠直觀地表示出大量的數(shù)據(jù)信息，是一種常用、有效的統(tǒng)計(jì)模式。

以全國(guó)甲卷文、理科第2題為例，該題以我國(guó)脫貧攻堅(jiān)工作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景， 通過(guò)圖表給出了某地農(nóng)戶家庭收入情況的抽樣調(diào)查結(jié)果， 考查頻率分布直方圖的基礎(chǔ)知識(shí)和考生分析問(wèn)題和數(shù)據(jù)處理的能力， 體現(xiàn)了高考對(duì)社會(huì)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展的關(guān)注。解答該題需利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法判斷出A、B、D選項(xiàng)是正確的， 運(yùn)用平均數(shù)的算法得到平均值為7.68萬(wàn)元，超過(guò)了6.5萬(wàn)元，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故答案選C。

（四）數(shù)據(jù)的數(shù)字特征(平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差)

數(shù)據(jù)的數(shù)字特征是統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容，2021年高考注重對(duì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的考查。

例2（新高考卷I第9題多選題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c（i=1,2,…,n），c為非零常數(shù)，則（ ）。

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

評(píng)析：本題是一道考查數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的典型題，改變相對(duì)固化的試題形式以多選題的形式呈現(xiàn)，注重考查和發(fā)展學(xué)生的開(kāi)放性思維，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象。解答該題需要正確運(yùn)用4個(gè)數(shù)字特征(平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差)的基本概念和統(tǒng)計(jì)意義。利用yi與xi存在的關(guān)系yi=xi+c（i=1,2,…,n）可以知道兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)都不相同，故選項(xiàng)A、B 錯(cuò)誤；再利用標(biāo)準(zhǔn)差和極差的計(jì)算公式可以求得兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差和極差相同，故選項(xiàng)C、D 正確。

此外，全國(guó)乙卷文理科第17 題以芯片生產(chǎn)中的刻蝕速率為原型，考查平均數(shù)和方差在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中的運(yùn)用，同時(shí)考查考生理論聯(lián)系實(shí)際的能力。解答（1）問(wèn)關(guān)鍵是能夠運(yùn)用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算， 分別求得0.4；解答第（2）問(wèn)可以利用來(lái)判斷設(shè)備生成產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備沒(méi)有顯著提高。

（五）2×2列聯(lián)表、頻率、獨(dú)立性檢驗(yàn)

2×2列聯(lián)表、頻率和獨(dú)立性檢驗(yàn)是概率與統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容，將三者綜合考查體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的要求，也體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型、分析與處理數(shù)據(jù)、數(shù)學(xué)運(yùn)算等關(guān)鍵能力的考查，倡導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，學(xué)以致用。

例3（全國(guó)甲卷文、理科第17題）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量， 分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如表2所示。

表2

（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

附：K2=

表3

評(píng)析：本題以社會(huì)生產(chǎn)中的機(jī)床生產(chǎn)為背景設(shè)計(jì)問(wèn)題，綜合考查2×2 列聯(lián)表、頻率、獨(dú)立性檢驗(yàn)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，解答第（1）小問(wèn)需運(yùn)用頻率的計(jì)算公式求得甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是；解答第（2）小問(wèn)需要利用K2的計(jì)算公式求得K2≈10.265， 并與表格中的相應(yīng)數(shù)據(jù)作比較，得K2>k=6.635，從而得到結(jié)論：有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異。

（六）離散型隨機(jī)變量及其分布列、相互獨(dú)立事件概率乘法公式、期望

離散型隨機(jī)變量及其分布列可以一一列舉出隨機(jī)變量及其發(fā)生的概率，進(jìn)而得到概率分布列，有利于分析數(shù)據(jù)； 相互獨(dú)立事件概率乘法公式可以反映獨(dú)立事件發(fā)生的概率； 期望綜合了隨機(jī)變量的取值和取值范圍的概率，反映隨機(jī)變量的平均水平。

例4（新高考卷I第18題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題。每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答， 無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束，A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分， 否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分。

已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6， 且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)。

（1）若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？ 并說(shuō)明理由。

評(píng)析：本題以“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽為背景，是一道具有閱讀理解型問(wèn)題特征的題目，綜合考查考生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)的理解與應(yīng)用、學(xué)生對(duì)信息的梳理能力、對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力。利用離散型隨機(jī)變量及其分布列的定義和計(jì)算方法可以得知X可取0、20、100，求得，P（X=100）=，再填入分布列表格即可求得第（1）小問(wèn)；要解答第（2）小問(wèn)，需要利用期望的計(jì)算公式，分別求得回答A類(lèi)問(wèn)題的期望和回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的期望，進(jìn)行比較后得到E（X）

例5（新高考II卷第21題）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)， 設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P（X=i）=pi（i=0,1,2,3）。

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）；

（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E（X）≤1 時(shí)，p=1，當(dāng)E（X）>1時(shí)，p<1；

（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義。

評(píng)析：本題以生物學(xué)科中微生物群體的繁殖存活率為背景考查概率知識(shí)的應(yīng)用以及對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)論實(shí)際意義的理解，還考查了一元三次方程，體現(xiàn)了學(xué)科與學(xué)科之間的交叉性，旨在培養(yǎng)和形成學(xué)生尊重事實(shí)的科學(xué)態(tài)度和質(zhì)疑求真的科學(xué)精神。解答第（1）小問(wèn)只需將數(shù)據(jù)代入期望的計(jì)算公式即可求得E（X）=1；解答第（2）小問(wèn)需將方程的求解轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)f（x）=p0+（p1－1）x+p2x2+p3x3的相關(guān)問(wèn)題，運(yùn)用求導(dǎo)和函數(shù)的單調(diào)性證明E(X)與p的關(guān)系。即當(dāng)x∈（0,1）時(shí)，f′（x）<0，則f（x）單調(diào)遞減，又因?yàn)閒（1）=0，所以當(dāng)x∈（0,1）時(shí)，f（x）>0，即當(dāng)E（X）≤1 時(shí)，X≤3，p=1；當(dāng)E（X）>1 時(shí)，X>3，p<1，得證。第（3）小問(wèn)的解答需要根據(jù)第（2）問(wèn)的信息，當(dāng)E（X）≤1 時(shí)，X≤3，p=1；當(dāng)E（X）>1 時(shí)，X>3，p<1， 從而得到該種微生物繁殖三代以上后開(kāi)始臨近滅絕。

（七）排列組合、古典概型

例6（全國(guó)甲卷理科第10題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）。

評(píng)析：本題是考查排列組合，問(wèn)題描述簡(jiǎn)潔統(tǒng)一，具有高度的嚴(yán)謹(jǐn)性，重在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力和運(yùn)算能力，要求學(xué)生把握數(shù)學(xué)語(yǔ)言，理解數(shù)學(xué)。解答時(shí)需先把位置依次標(biāo)號(hào)為1-6，先計(jì)算總共的排法，有15種，再計(jì)算符合條件的排法有10種，故算得2個(gè)0不相鄰的概率為，故選C。全國(guó)甲卷文科第10題與此題是同一類(lèi)型，其解答思路與此題一致，可算得共有10種排法，符合題意的有6種，所以所求概率為0.6，故選C。

例7（全國(guó)乙卷理科第6題）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）。

A.60種 B.120種 C.240種 D.480種

評(píng)析：本題以北京冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)為試題背景，弘揚(yáng)體育精神，關(guān)注志愿者勞動(dòng)。本題主要考查排列組合、學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，強(qiáng)化學(xué)生的理性思維。解答該題時(shí)可“先選再排”，共有=240種，故選C。

2021年高考試題注重考查概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，試題的情境真實(shí)、設(shè)問(wèn)靈活、難度適中，注重考查隨機(jī)思想和統(tǒng)計(jì)方法等數(shù)據(jù)分析和處理素養(yǎng)。

概率與統(tǒng)計(jì)是實(shí)施情境教學(xué)的好素材。概率、統(tǒng)計(jì)教學(xué)極易設(shè)置“學(xué)科數(shù)學(xué)育人”的好情境?！皩W(xué)科數(shù)學(xué)育人”情境的設(shè)置容易滲透中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、“五育”并舉教育目標(biāo)、新時(shí)代的中國(guó)精神，以幫助學(xué)生形成正確的“三觀”。