高考數(shù)學(xué)試題情境分析與教學(xué)建議
——以2020年高考數(shù)學(xué)全國卷II理科為例

●劉子麗，謝發(fā)超

素養(yǎng)的形成和情境有密不可分的聯(lián)系。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在復(fù)雜的、綜合化的情境中，通過個(gè)體與情境的有效互動(dòng)而生成的[1]。高考評(píng)價(jià)體系也指出，要通過課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境、生活實(shí)踐情境三類數(shù)學(xué)試題情境和情境活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)考查內(nèi)容和考查要求。因此，無論是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)，還是數(shù)學(xué)命題，情境都是至關(guān)重要的載體。以下擬對(duì)2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ理科試題從情境視角進(jìn)行分析，并提出教學(xué)實(shí)踐建議。

一、試題情境的命制關(guān)注了數(shù)學(xué)文化育人的價(jià)值

2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ理科在保持?jǐn)?shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境試題占一定比例的前提下，增加了探索創(chuàng)新情境與生活實(shí)踐情境的試題比例，更加關(guān)注試題情境的育人價(jià)值。具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

（一）發(fā)揮數(shù)學(xué)文化試題情境的育人功能，滲透德育

2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ，以落實(shí)立德樹人為根本任務(wù)，在培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視域下，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化試題情境的育人功能，滲透德育。

例1（第3題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓。為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作。已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）。

A.10名 B.18名 C.24名 D.32名

評(píng)注：本題屬于生活實(shí)踐情境，以新冠肺炎期間志愿者參加超市配貨為背景， 從基礎(chǔ)性和應(yīng)用性的層次上考查概率問題必備知識(shí)，以及運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力等關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)應(yīng)用等學(xué)科素養(yǎng)。試題設(shè)置的配貨情境，從數(shù)學(xué)角度對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的問題進(jìn)行再現(xiàn)，反映我國全民團(tuán)結(jié)一致、眾志成城，抗“疫”防控的決心，增強(qiáng)學(xué)生社會(huì)責(zé)任感和愛國主義情懷，體現(xiàn)了對(duì)德育的滲透和引導(dǎo)。

（二）發(fā)揮數(shù)學(xué)文化試題情境的美育功能，滲透美育

我國教育的目的是培養(yǎng)德、智、體、美、勞全面發(fā)展的社會(huì)主義接班人，美育能夠讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)美、感受美、鑒賞美和創(chuàng)造美。

例2（第4題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)， 環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）。

A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊

評(píng)注：本題屬于生活實(shí)踐情境，以計(jì)算北京天壇圜丘壇鋪設(shè)的石板數(shù)量為背景，從基礎(chǔ)性和應(yīng)用性的層次上考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式必備知識(shí)，以及運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力等關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)應(yīng)用等學(xué)科素養(yǎng)。試題設(shè)置的北京圜丘壇的情境貼近生活，反映了我國古代的文明成就，有利于激發(fā)學(xué)生對(duì)中華傳統(tǒng)建筑的熱愛，增強(qiáng)民族自豪感，同時(shí)感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、和諧美。

二、試題情境的命制突出了理性思維，考查關(guān)鍵能力

從試題中可看到，無論是課程學(xué)習(xí)情境試題還是探索創(chuàng)新情境和生活實(shí)踐情境試題，都突出了對(duì)學(xué)生理性思維和關(guān)鍵能力的考查。通過讓學(xué)生在具體的情境中對(duì)已有知識(shí)與方法的回憶、再現(xiàn)、關(guān)聯(lián)、應(yīng)用，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想與方法，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

例3（第12題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用。若序列a1a2…an…滿足ai∈{0,1}(i=1,2,…)，且存在正整數(shù)m，使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立，則稱其為0-1 周期序列，并稱滿足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期。對(duì)于周期為m的0-1 序列a1a2…an…，C(k)=是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5 的0-1 序列中，滿足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是（ ）。

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

評(píng)注：本題屬于數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境，以通信技術(shù)、周期序列為背景，從綜合性和應(yīng)用性的層次上要求判斷試題給出的4個(gè)周期序列是否滿足題設(shè)條件；從創(chuàng)新性的層次上考查學(xué)生對(duì)新概念的理解、試驗(yàn)探究能力， 創(chuàng)新能力和邏輯思維能力等關(guān)鍵能力，以及數(shù)學(xué)探究、理性思維等學(xué)科素養(yǎng)。

三、試題情境的命制注重了數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)應(yīng)用

在2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ理科試題情境中，探索創(chuàng)新情境和生活實(shí)踐情境試題共計(jì)約有26%的題目重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)應(yīng)用學(xué)科素養(yǎng)。主要在綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的層次上考查已有知識(shí)與方法的遷移和拓展； 讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境中，利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)探索、發(fā)現(xiàn)素材中隱含的知識(shí)與方法的關(guān)聯(lián)， 通過對(duì)材料的分析， 對(duì)相關(guān)方法創(chuàng)造性的遷移和運(yùn)用， 提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識(shí)。

例4（第14題）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有 種。

評(píng)注：本題屬于生活實(shí)踐情境，以垃圾分類宣傳活動(dòng)為背景，設(shè)計(jì)了計(jì)數(shù)問題的情境，從綜合性和應(yīng)用性的層次上考查學(xué)生對(duì)排列組合計(jì)數(shù)原理、分組分配必備知識(shí)，以及邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力等關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)。試題設(shè)置的分配情境，要求學(xué)生能利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)向?qū)W生滲透關(guān)注環(huán)境保護(hù)、愛護(hù)大自然的意識(shí)。

例5（第18題）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加。為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊， 從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得=9000，=800。

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大。為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)， 請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由。

附：相關(guān)系數(shù)

評(píng)注：本題屬于數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境，以沙漠治理和動(dòng)物保護(hù)為背景， 從應(yīng)用性和創(chuàng)新性的層次上考查統(tǒng)計(jì)中平均數(shù)的估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及抽樣方法的選取必備知識(shí)， 考查學(xué)生分析和解決問題的能力、數(shù)據(jù)處理的能力，以及運(yùn)算求解、邏輯思維和創(chuàng)新關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)。試題設(shè)置的植物覆蓋面積與野生動(dòng)物數(shù)量關(guān)系的情境， 可讓學(xué)生在用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程中體會(huì)用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想， 體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際科研問題中的應(yīng)用， 同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生保護(hù)生態(tài)環(huán)境，體現(xiàn)了“立德樹人”的教育理念。

四、教學(xué)建議

2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ理科試題情境，以落實(shí)立德樹人為根本任務(wù)，緊密聯(lián)系社會(huì)實(shí)際，通過設(shè)置真實(shí)的問題情境，關(guān)注數(shù)學(xué)文化育人的價(jià)值；突出理性思維，考查關(guān)鍵能力；注重?cái)?shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)應(yīng)用，著重考查了高考數(shù)學(xué)的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在深化中學(xué)課程改革中的引導(dǎo)作用。在實(shí)際教學(xué)中，我們應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注以下幾點(diǎn)：

（一）注重“情境教學(xué)”的理論學(xué)習(xí)與教學(xué)實(shí)踐

情境試題和情境教學(xué)的功能一致，都能讓學(xué)生在利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的過程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在學(xué)生與情境、問題的有效互動(dòng)中得到提升的。在實(shí)際教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)注重情境教學(xué)的理論學(xué)習(xí)并結(jié)合教學(xué)的任務(wù)， 思考相應(yīng)素養(yǎng)在情境教學(xué)中的孕育點(diǎn)、生長點(diǎn)，設(shè)計(jì)貼近時(shí)代、貼近社會(huì)、貼近生活，切合學(xué)生實(shí)際的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，并用數(shù)學(xué)的思想和方法解決問題。

（二）注重“情境試題”的命制與練習(xí)

在命題中，選擇合適的問題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體，情境試題對(duì)測試學(xué)生核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)具有重要價(jià)值。

在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)注重“情境試題”的命制與練習(xí)。

情境試題的命制應(yīng)從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，突出理性思維、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用，設(shè)計(jì)自然、合理，重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)；情境試題的練習(xí)，應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)式閱讀，能從不同背景中提取有效的數(shù)學(xué)信息，建立數(shù)學(xué)模型，積累解決實(shí)際情境問題的經(jīng)驗(yàn)。

（三）關(guān)注數(shù)學(xué)文化在“情境教學(xué)”“情境試題”中的育人價(jià)值

數(shù)學(xué)是人類文明的重要組成部分，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在“情境教學(xué)”和“情境試題”中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；了解中國古代數(shù)學(xué)成就，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感；了解數(shù)學(xué)圖形的對(duì)稱美、符號(hào)的簡單美、邏輯的和諧美、思維的奇異美，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的科學(xué)精神和人文素養(yǎng)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的育人價(jià)值，真正做到素養(yǎng)立意，育人為本。