高考試題中運(yùn)算求解關(guān)鍵能力的考查分析
——以2019-2021年高考全國(guó)卷中解析幾何試題為例

●原坤，吳智敏，謝發(fā)超，周先華

一、問(wèn)題提出

2020年1月，教育部考試中心發(fā)布的以“一核四層四翼”為基本內(nèi)涵的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》，成為核心素養(yǎng)價(jià)值導(dǎo)向下高考命題改革的根本遵循。根據(jù)高考評(píng)價(jià)體系對(duì)關(guān)鍵能力的創(chuàng)新認(rèn)識(shí)， 數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力可以分解為知識(shí)獲取能力群、實(shí)踐操作能力群和思維認(rèn)知能力群三個(gè)層次[1]。值得注意的是，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）提出的能力要求也較為明顯地體現(xiàn)了這種能力群的學(xué)科化要求。根據(jù)高考評(píng)價(jià)體系的整體框架，結(jié)合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的學(xué)科核心素養(yǎng)，高考數(shù)學(xué)學(xué)科提出5 項(xiàng)關(guān)鍵能力：邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力[2]。其中運(yùn)算求解能力是五大關(guān)鍵能力之一，它幾乎貫串于其他四大關(guān)鍵能力之中，是高考中考查比例最大的一種關(guān)鍵能力。章士藻教授認(rèn)為：“作為數(shù)學(xué)能力之一的運(yùn)算求解能力對(duì)培養(yǎng)其他的數(shù)學(xué)能力起到了基礎(chǔ)作用，如果不以運(yùn)算能力為基礎(chǔ)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，那將不利于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)?！盵3]本文選擇2019—2021年高考全國(guó)卷中的解析幾何試題為對(duì)象，分析運(yùn)算求解能力的考查特征，提出運(yùn)算求解能力提升的些許建議，供廣大數(shù)學(xué)教育工作者參考。

二、分析框架的取向

（一）運(yùn)算求解能力的內(nèi)涵

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求解運(yùn)算結(jié)果等。數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段；是演繹推理；是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)?！盵4]《高考評(píng)價(jià)體系解讀》指出：“運(yùn)算求解能力就是會(huì)根據(jù)概念、法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理；能根據(jù)問(wèn)題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑；根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算。”運(yùn)算求解能力是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的外顯，便于設(shè)置試題考查，而數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是運(yùn)算求解能力的內(nèi)隱，不便于設(shè)置試題考查[5]。

（二）運(yùn)算求解能力的水平劃分

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平其實(shí)指的是六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合表現(xiàn)，每一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)被劃分為三個(gè)水平，而每一個(gè)水平都是通過(guò)情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)和交流與反思這四個(gè)維度進(jìn)行表述的（如表1）。

表1 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中運(yùn)算素養(yǎng)表現(xiàn)的水平劃分表

情境與問(wèn)題這一維度中的情境主要是指現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，問(wèn)題指在具體的情境中提出的具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題； 知識(shí)和技能這一維度主要指能夠幫助學(xué)生形成相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的知識(shí)與技能； 思維與表達(dá)這一維度主要是指在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中所反映出來(lái)的學(xué)生的思維品質(zhì)、表述的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性； 交流與反思這一維度主要是指能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言直觀地解釋和交流數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、應(yīng)用和思想方法，并能進(jìn)行評(píng)價(jià)、總結(jié)與拓展。

（三）分析對(duì)象的選擇

將2019—2021年教育部考試中心命制的16 套數(shù)學(xué)試卷，包括文理科全國(guó)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷，及全國(guó)甲卷、乙卷納入分析對(duì)象。統(tǒng)計(jì)過(guò)程中，以題號(hào)為單位，若一道試題包含若干小題，按問(wèn)題數(shù)計(jì)數(shù)。

三、運(yùn)算求解能力的考查特征

（一）考查內(nèi)容的題號(hào)分布及特點(diǎn)

對(duì)2019-2021年高考全國(guó)I、II、III 卷文、理科數(shù)學(xué)試卷中的解析幾何試題進(jìn)行整理、分類和分析，整理結(jié)果如表2、表3、表4 所示。

表2 2019年解析幾何試題的題號(hào)分布情況表

表3 2020年解析幾何試題的題號(hào)分布情況表

表4 2021年解析幾何試題的題號(hào)分布情況表

從表2 至表4 可以看出，解析幾何的知識(shí)內(nèi)容基本上是以兩道客觀題（10 分）加上一道解答題（12分）的固定模式進(jìn)行考查，只有2020年全國(guó)I 理科和全國(guó)III 文科在客觀題上有所增加?？陀^題題目所處的位置變動(dòng)幅度比較大，不穩(wěn)定，考查基礎(chǔ)性的試題有15 道，占比42．86%，考查綜合性的試題有20道，占比57．14%?？陀^題不僅考查解析幾何在簡(jiǎn)單情境下的基本知識(shí)和基本技能， 而且要考查關(guān)聯(lián)和綜合情境問(wèn)題下學(xué)生對(duì)同一層面的知識(shí)、能力、素養(yǎng)的橫向融會(huì)貫通。但解答題題目所在的位置基本上變化不大，都處在20 和21 壓軸試題的位置，只有3套試題是放在19 題的位置，考查基礎(chǔ)性的試題只有3 道，占比18．75%，考查綜合性的試題有13 道，占比81．25%。所以解答題主要是考查綜合情境下學(xué)生對(duì)不同層面的知識(shí)、能力、素養(yǎng)縱向融會(huì)貫通的情況。

（二）考查內(nèi)容的水平劃分

根據(jù)表1 中對(duì)運(yùn)算能力的表現(xiàn)水平劃分以及各個(gè)水平的質(zhì)量描述，對(duì)客觀題和解答題整體考查情況進(jìn)行量化分析，其中對(duì)每道試題進(jìn)行水平劃分的時(shí)候，都是嚴(yán)格遵守四個(gè)維度下各水平的要求。量化后的詳細(xì)數(shù)據(jù)利用Excel 辦公軟件做成柱形圖（如圖1 至圖4 所示）。

由以上數(shù)據(jù)分析得出以下結(jié)論：

1．情境與問(wèn)題的特征包括直接性關(guān)聯(lián)（水平一）、一般化關(guān)聯(lián)（水平二）和綜合性關(guān)聯(lián)（水平三）。從圖1 中可以看出客觀題在水平一和水平二的試題數(shù)基本相同，而解答題在水平二的問(wèn)題數(shù)遠(yuǎn)超水平一。所以從情境與問(wèn)題維度來(lái)看，高考中解析幾何解答題更難以從情境中抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象，學(xué)生必須具備探索與創(chuàng)新精神才可以識(shí)別問(wèn)題。

圖1 解析幾何試題在情境與問(wèn)題維度下不同能力水平統(tǒng)計(jì)

2．知識(shí)與技能的特征包括基礎(chǔ)性理解（水平一）、關(guān)聯(lián)性理解（水平二）、綜合性理解（水平三）。從圖2 中看出客觀題與解答題在水平一和水平二的試題數(shù)和問(wèn)題數(shù)基本相同，只是水平二比水平一稍微多一些。所以從知識(shí)與技能維度來(lái)看，解析幾何試題的運(yùn)算求解能力不僅要利用概念、公式和運(yùn)算法則進(jìn)行正確的表示、計(jì)算和簡(jiǎn)單的應(yīng)用，而且要能夠從不同視角理解和解釋數(shù)學(xué)對(duì)象，建立不同知識(shí)之間的聯(lián)系，正確運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法探索、分析和解決問(wèn)題。知識(shí)上主要考查直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，還綜合考查向量、函數(shù)和不等式等知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用， 技能上主要是從幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化的角度出發(fā)，將復(fù)雜的幾何問(wèn)題用代數(shù)的思想處理，復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題用幾何思想處理。

圖2 解析幾何試題在知識(shí)與技能維度下不同能力水平統(tǒng)計(jì)

3．思維與表達(dá)的特征包括基礎(chǔ)性運(yùn)用（水平一）、關(guān)聯(lián)性運(yùn)用（水平二）、本質(zhì)性應(yīng)用（水平三）。從圖3 中看出客觀題與解答題在水平一和水平二的試題數(shù)和問(wèn)題數(shù)基本相同， 只是客觀題水平一多于水平二，而解答題水平二多于水平一。所以從思維與表達(dá)維度來(lái)看，解析幾何試題的運(yùn)算求解能力不僅要能夠運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)建簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型和解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，而且要能夠從不同視角運(yùn)用不同的思想方法推理和論證多種關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)關(guān)系，構(gòu)建復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型和解決較為復(fù)雜的問(wèn)題。思維主要涉及數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想、分類討論思想、整體代換思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想；表達(dá)上主要進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化， 將較為復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀容易理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

圖3 解析幾何試題在思維與表達(dá)維度下不同能力水平統(tǒng)計(jì)

4．交流與反思的特征包括基本性解釋（水平一）、一般化解釋（水平二）、綜合性解釋（水平三）。從圖4中看出客觀題側(cè)重考查水平一， 而解答題在水平一和水平二的問(wèn)題數(shù)基本相同。所以從交流與反思來(lái)看，客觀題的運(yùn)算求解能力主要是解釋基本的數(shù)學(xué)對(duì)象及其數(shù)學(xué)關(guān)系， 并能對(duì)其中的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行基本評(píng)價(jià)和總結(jié)， 而解答題的運(yùn)算求解能力還需要探討不同數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的一般化關(guān)系， 并能夠?qū)ζ渲幸话慊臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行評(píng)價(jià)和總結(jié)。在交流上可通過(guò)試題的探究來(lái)達(dá)成師生、生生對(duì)知識(shí)、方法和思想的交流；反思上可通過(guò)試題的歸類與總結(jié)，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)和方法體系。

圖4 解析幾何試題在交流與反思維度下不同能力水平統(tǒng)計(jì)