基于巖屑分形維數(shù)的巖石脆性評價方法

常小龍 曹 旭 劉 銳 方少伯 孫志高 田澤華

（中國石油西部鉆探工程有限公司錄井工程分公司）

0 引言

巖石脆性指數(shù)是水平井壓裂施工設計的關鍵參數(shù)之一[1-2]?，F(xiàn)有脆性評價指標近20 種，包括基于強度、全過程應力-應變曲線、加卸載實驗、硬度測試、成分分析等評價指標[3]。目前常用彈性參數(shù)法和礦物組分法評價巖石脆性[4]。其中，彈性參數(shù)法是通過歸一化的楊氏模量和泊松比來評價巖石脆性[5]，但因楊氏模量最大值和最小值確定方法不統(tǒng)一，不同區(qū)域巖石脆性無法對比，且楊氏模量和泊松比在脆性評價中的權(quán)重不確定，巖石脆性評價存在不確定性。礦物組分法是通過分析石英、方解石和黏土等礦物含量來評價脆性[6-10]，該方法操作簡單，但受限于實驗選樣、制樣等因素影響，時效性差，單樣成本較高。此外，還有利用聲波、元素等測井資料評價巖石脆性[5]，這兩種方法雖經(jīng)濟方便，但仍難以滿足水平井對脆性指數(shù)的實時且精細評價需求。

近年來，國內(nèi)外學者引入分形概念[11-16]，認為巖屑顆粒分布函數(shù)可用Rosin-Rammler 和Gaudin-Schuhmann（G-S）分布函數(shù)表征[12]，前者分布函數(shù)趨向粗粒端，后者趨向細粒端，即G-S 函數(shù)更符合巖屑分布規(guī)律[15]，但基于巖屑分形維數(shù)計算巖石脆性指數(shù)鮮有研究。為此，筆者提出一種以巖屑分形維數(shù)快速獲取巖石脆性指數(shù)的方法，即通過研究巖屑分布規(guī)律并計算其分形維數(shù)，建立其與巖石脆性指數(shù)相關性模型，實現(xiàn)無需礦物組分或力學實驗測試，僅以巖屑分形維數(shù)計算巖石脆性指數(shù)。

1 巖屑分形規(guī)律及分形維數(shù)計算

1.1 巖屑分布規(guī)律

分形理論是對自然界極復雜且不規(guī)則的結(jié)構(gòu)、現(xiàn)象進行定量描述的方法，巖石經(jīng)鉆頭破壞后雖然形成形態(tài)各異的巖屑顆粒，但從統(tǒng)計中仍滿足自相似規(guī)律，現(xiàn)常用公式（1）Rosin-Rammler 函數(shù)和公式（2）Gaudin-Schuhmann函數(shù)描述巖屑顆粒分布規(guī)律[12]。

上式中：N為巖屑粒度小于γ的相對累積量，%；γ為巖屑顆粒尺寸，mm；γ0為粒度特性系數(shù)；n為均勻性系數(shù)；γm為巖屑粒度分布直線與N＝1直線交點的γ值。

將公式（1）按級數(shù)展開后，舍去第二項及后面多項，即可得到公式（2），表明當巖屑粒度較小時，兩個分布函數(shù)均可用于描述巖屑顆粒分布規(guī)律。研究認為，公式（1）適用于顆粒分布趨于粗粒端，公式（2）適用于顆粒分布趨于細粒端[15]。

1.2 巖屑樣品選取及標準化處理

在某研究區(qū)域選取5～8口井巖屑樣品，樣品經(jīng)清洗烘干后質(zhì)量為150～200 g 為宜。直井段取樣選取一定深度范圍，該范圍巖性應包括泥巖、砂巖以及地層其他巖性，保證巖性多樣性；水平段樣品為全水平段范圍內(nèi)取得，取樣間隔50～100 m，以保證樣品既能反映水平段不同位置巖性的非均質(zhì)性，也盡可能降低后續(xù)分析工作量。

巖屑樣品是從井底破碎后通過鉆井液攜帶至地面的，在井筒中經(jīng)長時間浸泡、沖刷，使得部分泥巖軟化分散，此外還有諸多工程因素影響巖屑顆粒的分布規(guī)律，因此需對其進行標準化處理[17]。處理方法為：將巖屑樣品放入顎式破碎儀二次破碎處理，設備轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為100～1000 r/min，進、出料粒度分別為≤45 mm 和≤0.5 mm，然后再進行巖屑粒度分布分析和分形維數(shù)計算。

1.3 巖屑分形維數(shù)計算

將標準化處理后的巖屑通過不同方形孔篩網(wǎng)篩選，孔徑記為γ（ii為不同孔徑），篩子孔徑選取至少5種以上，以獲得足夠的數(shù)據(jù)量用于回歸分析。以篩選粒徑小于γi的巖屑樣品被篩選漏下去的顆粒質(zhì)量記為M下（γi），對應的留在篩網(wǎng)上的記為M（γi），顆?？倲?shù)記為N（γi）。稱重天平量程為0～250 g，精度為0.001 g。

巖屑樣品二次破碎后粒度分布遵循質(zhì)量與頻率分布關系：

對公式（3）兩邊求導有：

將巖屑破碎后定義為一種破碎體分形：

考慮破碎體質(zhì)量、尺寸、數(shù)量間關系[18]：

由公式（5）和公式（6）可知巖屑質(zhì)量和顆粒粒徑關系為：

由公式（4）和公式（7）可知：

因此，由公式（8）可得到分形維數(shù)D的表達式為：

上式中：γmax為巖屑最大粒徑，mm；M為巖屑樣品總質(zhì)量，g；C為常數(shù)；D為分形維數(shù)，無量綱；V為巖屑顆粒體積，mm3。

在直角坐標系上繪制散點圖，散點橫坐標X值為lnγi，縱坐標Y值為ln（100M（γi）/M），并進行直線回歸，測定回歸直線斜率即為均勻性系數(shù)n，可計算得到巖屑分形維數(shù)D。

取研究區(qū)X 井區(qū)5 口水平井：J 1 井井深2820、2 870 m，J 2井井深3100、3200、3300 m，J 3井井深1680、1730 m，J4 井井深2960、3060 m 及J 5井井深2110、2 210、2310 m處共取得12組巖屑樣品，每組樣品清洗烘干后質(zhì)量為150 g左右，再對每組樣品用2至80目篩網(wǎng)篩選，獲得不同粒徑的巖屑質(zhì)量，結(jié)果見表1。

表1 上返巖屑篩分質(zhì)量累計百分比

利用巖屑樣品的粒度分布關系繪制相應的分形曲線（圖1），通過線性回歸分析計算得到分形維數(shù)D，結(jié)果見表2，相關性系數(shù)r2平均大于0.89，證明巖屑具有很好的分形特征。

表2 12組巖屑樣品分形維數(shù)計算結(jié)果

圖1 12組巖屑樣品分形曲線

2 基于礦物組分法的巖石脆性指數(shù)計算

基于礦物組分計算巖石脆性方法較多，多以脆性礦物與總礦物含量之比作為脆性指數(shù)，見公式（10）。各計算公式僅在脆性礦物種類選取方面存在差別，這種脆性礦物計算思路雖被行業(yè)普遍接受，但均未考慮巖石自身物理性狀，且近似認為每種礦物對巖石脆性貢獻權(quán)重相同，這顯然不符合實際情況。

巖石脆性反映巖石綜合的力學特性，應既考慮巖石礦物組成，也不可忽略巖石物理屬性，因此以礦物力學參數(shù)修正，見公式（11），即：

因楊氏模量表征巖石的抗壓物理屬性，楊氏模量越大，越難發(fā)生形變，其反映巖石受破壞后裂縫張開的能力。泊松比是巖石受力橫向變形能力，因此可用楊氏模量和泊松比作為巖石脆性修正系數(shù)，即：

水平井儲層的常見礦物中石英和黃鐵礦脆性最強，方解石次之，但其含量偏低，而長石和黏土最差，因此巖屑脆性指數(shù)可表示為：

上式中：BI為脆性指數(shù)，無量綱；Wbrit為脆性礦物含量，%；Wtotal為總礦物含量，%；αj為脆性指數(shù)修正系數(shù)（分別為石英、長石、黃鐵礦、黏土等礦物對應的脆性指數(shù)修正系數(shù)），無量綱；Yj為第j種礦物楊氏模量，GPa；Pj為第j種礦物泊松比，無量綱；W石英為石英礦物含量，%；W黃鐵礦為黃鐵礦礦物含量，%；W長石為長石（碳酸巖）礦物含量，%；W黏土為黏土礦物含量，%。

對研究區(qū)X井區(qū)5口井12組巖屑樣品的礦物含量分析統(tǒng)計可知（表3），巖屑成分以石英為主，占40.3%～47.9%，平均值為45.2%，長石和黏土礦物次之，分別為27.5%～36.3% 和16.1%～31.6%，平均值分別為32.6%和21.8%，黃鐵礦含量最少，僅為0～0.7%。

表3 5口井12組巖屑樣品礦物含量統(tǒng)計

3 巖屑分形維數(shù)與脆性指數(shù)相關性建模

在研究區(qū)5 口井12 組巖屑樣品中，取樣品2、樣品5、樣品6、樣品8、樣品9、樣品10 和樣品11 的巖屑礦物計算巖石脆性指數(shù)與巖屑分形維數(shù)做相關性分析（圖2），相關性模型為：

圖2 巖屑分形維數(shù)與脆性指數(shù)相關性分析

取樣品1、樣品3、樣品4、樣品7 和樣品12 進行誤差分析（圖3）。

圖3 巖屑分形維數(shù)與脆性指數(shù)相關性模型驗證

通過模型計算得到樣品1、樣品3、樣品4、樣品7和樣品12的脆性指數(shù)BI分別為0.726、0.728、0.733、0.731 和0.732，對照礦物組分計算結(jié)果誤差分別為0.25%、0.09%、0.01%、0.30%和0.07%，表明誤差較低，可以滿足現(xiàn)場分析需求。

4 實例分析

取研究區(qū)X井區(qū)的正鉆井J 8井井深2220、2270、2320、2370 m 處和正鉆井J 10 井井深3060、3160、3260 m 處共7組巖屑樣品，清洗烘干再經(jīng)二次破碎后每組樣品質(zhì)量為150 g 左右，再用2 至80 目篩網(wǎng)篩選，獲得不同粒徑的巖屑質(zhì)量，利用巖屑樣品的粒度分布關系，線性回歸分析計算得到分形維數(shù)D（表4）。

表4 J 8和J 10井水平段不同井深的脆性指數(shù)計算結(jié)果

對研究區(qū)X 井區(qū)J 8 井、J 10 井的7 組巖屑樣品礦物組分進行分析，并計算出脆性指數(shù)，再以研究區(qū)已建立的巖屑分形維數(shù)與脆性指數(shù)相關性模型（BI＝0.0384D+0.6397）計算脆性指數(shù)對比，結(jié)果顯示兩者絕對誤差小于4%，即該模型可以用于該區(qū)塊水平段巖石脆性指數(shù)的計算。

5 結(jié)論

（1）水平段巖屑分形規(guī)律符合G-S 分布函數(shù)，分形維數(shù)相關性系數(shù)r2平均大于0.89，具有明顯的分形特征，巖屑分形維數(shù)與礦物組分法計算的巖石脆性指數(shù)相關性系數(shù)r2為0.95，即可用巖屑分形維數(shù)計算巖石脆性指數(shù)。

（2）鄰井應用巖屑分形維數(shù)與脆性指數(shù)相關性模型計算結(jié)果顯示，該方法與礦物組分法計算結(jié)果的絕對誤差小于4%，可以為水平段壓裂施工參數(shù)優(yōu)化提供一定指導。但其他如巖屑分形維數(shù)與儲層可壓性以及裂縫擴展情況等有待進一步研究。

（3）基于巖屑分形維數(shù)計算巖石脆性指數(shù)是一種低成本和高時效性的現(xiàn)場應用方法，為錄井行業(yè)深度挖掘巖屑信息并指導鉆井工程施工提供了一種新的思路。