均勻帶電平面折線在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)及其可視化*

莫云飛

(長沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長沙 410022)

周群益

(廣州理工學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 廣東 廣州 510540)

周麗麗

(贛南醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院 江西 贛州 341000)

侯兆陽

(長安大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系 陜西 西安 710064)

1 引言

有論文利用直線電荷產(chǎn)生的電勢(shì)和電勢(shì)疊加原理推導(dǎo)出帶電三角形和四邊形在空間的電勢(shì)公式，利用電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系推導(dǎo)了電場(chǎng)的分布公式[1～6]．不過，這些公式都比較復(fù)雜，不便于計(jì)算．這些論文也沒有用圖形表示電勢(shì)和電場(chǎng)．

本文根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)和電勢(shì)疊加原理推導(dǎo)了直線電荷在二維平面中產(chǎn)生的電勢(shì)的簡(jiǎn)要公式，從而推導(dǎo)了直線電荷在三維空間中產(chǎn)生的電勢(shì)公式，又根據(jù)電勢(shì)疊加原理求帶電折線產(chǎn)生的電勢(shì)．利用電場(chǎng)與電勢(shì)之間的關(guān)系推導(dǎo)了電場(chǎng)強(qiáng)度的公式．將公式無量綱化，利用MATLAB計(jì)算了場(chǎng)強(qiáng)的分量，用等勢(shì)面和電場(chǎng)線直觀地反映了電場(chǎng)的分布規(guī)律．

2 均勻帶電線段的電勢(shì)

設(shè)平面折線有n條邊，其電荷線密度為λ(默認(rèn)λ>0)，放置在xOy平面中．如圖1所示，在折線中取一條長為Li的邊，端點(diǎn)是Pi和Pi+1．在帶電線段上取一個(gè)線元，其電荷量dq=λdl，在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢(shì)為

圖1 帶電線段產(chǎn)生的電勢(shì)

(1)

其中，k是靜電力常數(shù)．在直角三角形PPiQ中，hi和li是常數(shù)，hi=risinθi，li=ricosθi，由于

hi=rsinθl=li-rcosθ

(2)

(3)

(4)

取無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，帶電線段在點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢(shì)為

(5)

其中，θi和θi+1分別是點(diǎn)P與點(diǎn)Pi和Pi+1連線與橫軸之間的夾角．ri和ri+1分別是點(diǎn)P相對(duì)于端點(diǎn)Pi和Pi+1的徑矢，設(shè)連接Pi和Pi+1的矢量為Li，利用矢量點(diǎn)積的公式，兩個(gè)夾角分別為

(6)

3 帶電折線的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)

如圖2所示，在三維空間中，端點(diǎn)Pi和Pi+1的矢徑為

圖2 帶電線段在三維空間中的電勢(shì)

ρi=xii+yijρi+1=xi+1i+yi+1j

(7)

帶電的有向線段為

Li=ρi+1-ρi=(xi+1-xi)i+(yi+1-yi)j

(8)

長度為

(9)

點(diǎn)P(x,y,z)相對(duì)于端點(diǎn)Pi和Pi+1的矢徑分別為

(10)

其大小為

(11)

式(5)中的電勢(shì)Ui是空間坐標(biāo)(x,y,z)的函數(shù).帶電線段Li產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為

(12)

(13)

式(12)有3個(gè)分量，每一個(gè)分量的公式都是比較復(fù)雜的．由于MATLAB的數(shù)值計(jì)算功能很強(qiáng)，不必將式(12)的右邊展開．

n條邊的帶電折線在三維空間中產(chǎn)生的總電勢(shì)為

(14)

當(dāng)U是常量時(shí)，式(14)就是等勢(shì)面方程．一般情況下，這是關(guān)于x，y和z的隱函數(shù)方程．

注意：n條邊的折線有n+1個(gè)端點(diǎn)，如果折線形成閉合多邊形，由于首尾相連，當(dāng)i=n時(shí)，下標(biāo)i+1就是1．

合場(chǎng)強(qiáng)為

(15)

場(chǎng)強(qiáng)的3個(gè)分量決定了電場(chǎng)線，不過，電場(chǎng)線的方程很難求得．

4 公式無量綱化

電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)公式是一種數(shù)學(xué)模型，根據(jù)模型設(shè)計(jì)程序，計(jì)算工作可用軟件MATLAB完成．不過，為了做純數(shù)值計(jì)算，需要將公式無量綱化．

取a為坐標(biāo)單位，則場(chǎng)點(diǎn)P的無量綱坐標(biāo)為

(16)

無量綱的線段矢量為

(17)

(18)

無量綱的矢徑大小分別為

(19)

取U0=kλ為電勢(shì)的單位，則線段產(chǎn)生的無量綱電勢(shì)為

(20)

無量綱的合電勢(shì)為

(21)

設(shè)

取E0為電場(chǎng)強(qiáng)度單位，則無量綱的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(22)

(23)

將公式無量綱化即可設(shè)計(jì)MATLAB程序，做純數(shù)值計(jì)算并畫圖．

5 電場(chǎng)的可視化

利用MATLAB的計(jì)算功能和循環(huán)結(jié)構(gòu)可以計(jì)算三維電勢(shì)，利用函數(shù)gradient可以計(jì)算電勢(shì)梯度即電場(chǎng)強(qiáng)度的3個(gè)分量，利用isosurface指令可以畫三維等勢(shì)面，利用流線指令streamline可以繪制三維電場(chǎng)線[7]．

(1)等腰折線的坐標(biāo)為(a,0)，(0,a) 和(-a,0)，帶電折線的等勢(shì)面和電場(chǎng)線如圖3所示，等勢(shì)面本來是上下對(duì)稱的封閉曲面，這里只取下半部分；電勢(shì)從外到內(nèi)依次是2U0，3U0，…，10U0，當(dāng)電勢(shì)比較小時(shí)，等勢(shì)面分布在外面；隨著電勢(shì)的增加，等勢(shì)面向內(nèi)移，前面的曲面向內(nèi)彎曲；當(dāng)電勢(shì)很高時(shí)，等勢(shì)面就包圍了帶電線段．電場(chǎng)線從帶電線段出發(fā)，垂直穿過等勢(shì)面，呈現(xiàn)排斥的形狀延伸到無窮遠(yuǎn)處．在電荷附近，等勢(shì)面和電場(chǎng)線都比較密集，離電荷越遠(yuǎn)，等勢(shì)面和電場(chǎng)線就越稀疏．等勢(shì)面和電場(chǎng)線是上下左右對(duì)稱的，這是因?yàn)閮啥坞姾勺笥覍?duì)稱地分布在水平面上．

圖3 帶電等腰折線的三維等勢(shì)面和電場(chǎng)線

(2)如圖4所示，等腰三角形的坐標(biāo)為 (a,0)，(0,a) 和(-a,0)，第3點(diǎn)與第1點(diǎn)封閉起來，電勢(shì)從外到內(nèi)依次是3U0，4U0，…，10U0，當(dāng)電勢(shì)比較低時(shí)，等勢(shì)面在外包圍整個(gè)三角形，如同層層相套的“碗”；當(dāng)電勢(shì)比較高時(shí)，三角形的內(nèi)部也出現(xiàn)等勢(shì)面；當(dāng)電勢(shì)很高時(shí)，等勢(shì)面如筒狀包圍三角形．電場(chǎng)線從帶電三角形上發(fā)出，在中間出現(xiàn)排斥的形狀，延伸到無窮遠(yuǎn)處．電場(chǎng)線垂直穿過等勢(shì)面，上下左右對(duì)稱分布．

圖4 帶電等腰三角形的三維等勢(shì)面和電場(chǎng)線

(3)正四邊形的坐標(biāo)為(a,a)，(-a,a)，(-a,-a)和(-a,a)，帶電正四邊的等勢(shì)面和電場(chǎng)線如圖5所示，等勢(shì)面接近于方形的“碗”， 從外到內(nèi)的電勢(shì)依次是5U0，6U0，…，10U0；電場(chǎng)線上下，左右和前后都是對(duì)稱的．將坐標(biāo)改為(a,b)，(-a,b)，(-a,-b)和(-a,b)，如果取b= 0.9a，則可形成帶電矩形的類似等勢(shì)面和電場(chǎng)線(圖略)．如果取b=1.2a，則等勢(shì)面和電場(chǎng)線也類似(圖略)．

圖5 帶電正四邊形的三維等勢(shì)面和電場(chǎng)線

圖6 帶電棱形的三維等勢(shì)面和電場(chǎng)線

(5)帶電正6邊形的等勢(shì)面和電場(chǎng)線如圖7所示．用相同的方法也可以繪制其他正多邊形的等勢(shì)面和電場(chǎng)線(圖略)．

圖7 帶電正六邊形的三維等勢(shì)面和電場(chǎng)線

(6)帶電正24邊形的等勢(shì)面和電場(chǎng)線如圖8所示，等勢(shì)面接近于半球面．24邊形與圓比較接近，其等勢(shì)面和電場(chǎng)線接近于圓的等勢(shì)面和電場(chǎng)線．

圖8 帶電正24邊形的三維等勢(shì)面和電場(chǎng)線

由此可見,利用MATLAB可以畫出帶電折線和任意多邊形的等勢(shì)面和電場(chǎng)線．

6 結(jié)束語

平面折線和多邊形只是坐標(biāo)有所不同．在三維空間中，帶電線段電勢(shì)的公式比較簡(jiǎn)單，電場(chǎng)強(qiáng)度的公式卻十分復(fù)雜，折線和多邊形的電場(chǎng)強(qiáng)度公式更加復(fù)雜．只要建立了數(shù)學(xué)模型，不論公式多么復(fù)雜，都能用MATLAB精確計(jì)算，還能繪制等勢(shì)面和電場(chǎng)線的圖形．由此可見,掌握了MATLAB的指令和程序設(shè)計(jì)方法，可以全面解決這類問題．這種方法還可以解決平面任意多邊形電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)的計(jì)算和可視化問題．