海上風電單樁基礎直線度測量最小二乘空間圓擬合法

吳 昊

(1.交通運輸部天津水運工程科學研究所，天津 300456；2.天津水運工程勘察設計院有限公司，天津 300456；3.天津市水運工程測繪技術(shù)企業(yè)重點實驗室，天津 300456)

風力發(fā)電是當今發(fā)展最快的綠色能源之一。中國海上風能資源豐富，可開發(fā)風能資源約7.5億kW，是陸上風能資源的3倍。與陸上風電場相比，海上風電場的優(yōu)點主要是不占用土地資源，基本不受地形地貌影響，風速更高，風能資源更豐富，風電機組單機容量更大(3～5 MW)，年利用小時數(shù)更高。就資源稟賦來看，我國經(jīng)濟重心在東南沿海地區(qū)，人口稠密、經(jīng)濟發(fā)達、電網(wǎng)結(jié)構(gòu)較強，但卻存在明顯的電力配給不足。而我國傳統(tǒng)的天然氣、煤炭、石化能源供應主要分布在西北內(nèi)陸，長距離的運輸無法有效緩解東部的電力短缺問題。海上風電的大力開發(fā)則有利于彌補這種能源供應與經(jīng)濟重心逆向分布不足。

海上風電基礎施工有重力式基礎、單樁基礎、導管架基礎、吸力桶基礎、漂浮式風機基礎等多種工藝。其中單樁基礎因為造價低廉、施工簡便，是目前基礎施工的主要類型。因為塔筒、風機、扇葉等上部組件均要安裝于單樁基礎之上，所以單樁基礎的安裝垂直度一般要求為3‰～5‰。受制造工藝、場地存放環(huán)境、海上運輸條件等因素影響，在海上打樁施工期間往往發(fā)現(xiàn)鋼管樁并非筆直，而是出現(xiàn)了撓度變化，導致打樁垂直度無法控制。因此，通常需要在建造場地，對出廠前鋼管樁的直線度進行復核，確保鋼管樁沒有撓度變化，或變化在限差范圍內(nèi)，才允許其投入現(xiàn)場作業(yè)。

1 測量方法

鋼管樁出廠時周身裸露，沒有標注任何標尺或刻度線，且一般都存在直徑較大的變徑問題，所以無法直接通過母線法進行直線度測量。而鋼管樁為圓形結(jié)構(gòu)，按照目前的海上風電單樁基礎設計標準，以及工廠鋼結(jié)構(gòu)建造工藝水平，鋼管樁的橫切截面為標準圓形，圓度差精度設計要求一般小于3 cm，相較于5 m直徑，尺度比小于6‰。所以，可以利用鋼管樁橫截面為圓形這一特性，測量其圓形截面的邊緣點，擬合出該橫截面的空間圓曲線，擬合計算圓曲線的圓度差和擬合圓平面的平整度，最后計算出擬合圓曲線的圓心坐標。如圖1所示，通過對鋼管樁不同分段的多個橫切截面的圓曲線擬合，獲得多組擬合圓心坐標，然后將各截面圓心點擬合為空間直線，最后計算出各擬合圓心點距擬合直線的距離和方向，即為該鋼管樁的直線度指標。

圖1 鋼管樁截面Fig.1 Section of steel pipe pile

按照目前的制造工藝，鋼管樁由各分段拼接而成。制造商首先將整塊方形鋼板用卷軋機卷制成圓形分段，然后再將分段拼合后焊接成鋼管樁。通過現(xiàn)場實地查看，卷制前的方形鋼板為標準矩形，且各分段的拼接焊縫平整而細致，是橫切截面圓形天然的觀測標志。因為出廠前鋼管樁均橫臥于建造場地，所以圍繞鋼管樁四周布設控制點，建立控制網(wǎng)。如圖2所示，采用支導線測量方式，將控制點引入鋼管樁內(nèi)部，作為設站點，以各分段拼接焊縫作為觀測點，即可在統(tǒng)一坐標系下測得各截面圓觀測點。然后擬合各截面圓心，再將各圓心擬合直線，繼而可以計算出整個鋼管樁的直線度變化。

因為鋼管樁長度一般為100～150 m，則在此小范圍內(nèi)控制點測量精度可以達到毫米量級，滿足工程精度要求。

圖2 鋼管樁內(nèi)部圓截面觀測Fig.2 Observation of inner circular section of steel pipe pile

2 算法公式

目前常用的空間圓形擬合方法多是基于球體數(shù)學模型和平面方程的空間幾何關(guān)系。在參考文獻[1-2]中，利用平面圓擬合的簡易性，首先將空間三維坐標轉(zhuǎn)移至平面，擬合得出圓心坐標和半徑后，再將擬合得出的圓心和半徑反向轉(zhuǎn)移至空間原坐標系，從而得到空間圓的圓心坐標和半徑。此種方法數(shù)學原理復雜，空間關(guān)系繁瑣，計算難度大，不易實現(xiàn)，并且難免加入人為誤差，降低了空間圓擬合的精度。在參考文獻[3-4]中，將空間圓形認為是空間球體和空間平面相交而形成的一個大圓，即為平面切開球體所得到的切割線，雖然空間關(guān)系簡單，但計算步驟繁瑣，沒有充分利用空間圓的基本特性，方法不夠直接有效。

在平面圓上，任意兩點連線的中垂線都會通過圓心，則不同弦長中垂線的交點有且只有一個，即是圓心。同理，對于空間圓，任意兩點連線對應的中垂面都會通過圓心，則不同弦長對應的中垂面交點也有且只有一個，即是圓心。所以，可以利用此空間幾何原理進行空間圓的擬合。首先，理論上所有測量點都應位于同一個平面內(nèi)，需要先進行空間平面擬合；其次，空間圓上任意兩個點連線可以得到一條弦邊，通過這條弦邊的直線方程可以計算出對應的中垂面方程，則N(N>3)個測量點，可以得到N-1條線性不相關(guān)的弦邊，從而得到N-1個線性不相關(guān)的中垂面方程；然后，根據(jù)空間圓的幾何特性，擬合平面與所有中垂面相交有且只有一個交點，這個交點即為擬合圓的圓心；最后，將擬合的空間平面作為限制條件，中垂面作為觀測方程，利用帶有限制條件的間接平差作為基本函數(shù)模型，推導出空間圓曲線的圓心計算方程，再根據(jù)觀測點到圓心的代數(shù)距離計算出圓的半徑。

因為常規(guī)單樁的直徑通常為5～10 m，橫臥于建造場地，所以在樁筒內(nèi)較難搭設爬梯或利用升降機械，對整個圓截面進行觀測，只能在有棱鏡布設和無棱鏡反射的有效范圍內(nèi)測量盡量多的截面點。因為不同的弦長交會出的圓心精度不同，理論上來講兩點連線越長，測量誤差的影響也就越小，則對擬合圓心的精度影響也就越小。所以首先，對觀測點按照對向距離遠的原則交叉組合，形成直線方程，從而推導出中垂面方程；其次，因為圓心應位于圓截面觀測點所在的平面，可以以此特性作為限制條件；最后，根據(jù)所有中垂面相交于圓心的特性，以中垂面作為觀測方程，以觀測點平面作為限制條件，根據(jù)帶有限制條件的間接平差函數(shù)模型[5]擬合計算出圓心坐標和半徑[6]。

圖3 觀測點對向交叉組成弦長Fig.3 The chord length is formed by intersecting the observation points in opposite directions

(XA1-XAn，YA1-YAn，ZA1-ZAn)·((XA1+XAn)/2-Xc，(YA1+YAn)/2-Yc，(ZA1+ZAn)/2-Zc)=0

(1)

展開有

模型中，i和t分別表示不同省份和年份；C1、C2、C4分別表示投資、技術(shù)創(chuàng)新和人口對產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)升級的作用效應；C3表示非老齡人口比例對產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)升級的影響，當C3＞0時，表示老齡化程度越高，越不利于產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)升級；C5表示分配給勞動人口的資源比例對產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)升級的影響，當C5＜0時，表示分配給老齡人口的資源越多，越能促進產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)升級。

(XA1-XAn)×Xc+(YA1-YAn)×Yc+(ZA1-ZAn)×Zc-(XA1×XA1
+YA1×YA1+ZA1×ZA1-XAn×XAn-YAn×YAn-ZAn×ZAn)/2=0

(2)

n個觀測點坐標大約可以列出n-1個線性無關(guān)的中垂面方程，可得誤差方程

V=B·X-L

(3)

B為對向交叉點坐標對應差值矩陣

(4)

L為對向交叉點點坐標平方和之差的半值矩陣

(5)

X為圓心坐標

(6)

得到第一個條件方程如下[9]

B·X-L=0

(7)

下面進一步擬合出觀測點所在的平面方程：

aX+bY+cZ+d=0

(8)

改寫為誤差方程為

A·X′-L′=0

(9)

其中，A為圓截面觀測點坐標矩陣

(10)

X′為平面方程法向量：X′=(a,b,c)T，L′為平面方程常數(shù)向量：L′=(d1，d2，…，dn)T。因為平面方程a、b、c、d四個參數(shù)具有比例關(guān)系，所以需要固定d值，然后根據(jù)最小二乘法VT·P·V=min，即可求得[11]

X′=(a,b,c)T=(AT·A)-1·(AT·L′)

(11)

解算出平面方程后，再進一步求解圓心，過程如下：

因為圓心必定位于觀測點擬合平面上，根據(jù)平面方程則有：aXc+bYc+cZc+d=0，將方程改寫為

C·X-Wx=0

(12)

其中：C=(a,b,c)，X=(Xc，Yc，Zc)T，Wx=-d。則按照附有限制條件的間接平差，聯(lián)合式(7)，可組成方程

(13)

式中：Ks為限制條件的聯(lián)系數(shù)向量，公式變換形式為

(14)

即可求出圓心坐標X=(Xc，Yc，Zc)，然后再根據(jù)圓截面觀測點至圓心的距離求均值，即為圓心半徑[12]

(15)

各觀測點至圓心的距離與擬合半徑之差為圓度差[13]

(16)

各觀測點至擬合平面的距離為平整度[14]

(17)

至此，每一個截面的圓心擬合完成后，將各圓心連線形成空間直線(折線)，即可檢驗鋼樁的直線度，必要時還可以繼續(xù)采用最小二乘法擬合出空間直線，整體描述鋼樁的撓度變化。

表1 擬合圓心比對Tab.1 Fit center of circle comparison

3 工程實例

在廣東揭陽某風電場項目中，對出廠前的單樁基礎采用本文算法進行了實地測量擬合計算。

首先驗證本文算法的可靠性。選取加工廠內(nèi)正在建造但尚未拼接的鋼管樁一個分段的邊沿圓截面觀測數(shù)據(jù)作為算例，按照0.5 m間距測量邊沿點的精確X、Y、Z三維坐標。然后，分別使用本文空間圓擬合算法，與MATLAB數(shù)學分析計算軟件中的空間幾何工具包中的圓擬合算法[15]，進行擬合計算，最后將計算結(jié)果進行了比對。由下述表1和表2可見，本文算法的計算結(jié)果與MATLAB軟件內(nèi)置工具包的計算結(jié)果非常接近，計算精度的數(shù)量等級基本一致。

表2 觀測點圓度差和平整度比對Tab.2 Comparison of roundness difference and flatness of observation points

表3 各分段直線度Tab.3 Straightness of each segment

然后對整根單樁基礎進行實地測量計算。選取廠區(qū)內(nèi)已經(jīng)拼接完好的某根單樁基礎，按照文中上述的局部坐標系建立方法布設局部測量控制網(wǎng)，然后對已觀測平面和高程控制網(wǎng)數(shù)據(jù)進行平差計算，獲取各控制點的精確平面坐標和高程[16]。根據(jù)單樁基礎的變徑情況，按一定間距選取特征截面，進行截面圓觀測擬合測量，共測得14個擬合圓截面。在鋼結(jié)構(gòu)三維設計軟件中，將各截面圓觀測點和擬合計算得到的空間圓曲線，進行三維空間顯示和直線度計算，分段計算得到直線度如表3所示。

鋼結(jié)構(gòu)三維顯示軟件中的觀測點顯示，以及直線度的擬合顯示，如圖4所示。

圖4 直線度擬合顯示Fig.4 Display of straightness

因為鋼管樁長約100 m，自重約1 500 t，當其橫臥于墊塊之上時，受自身重力作用，鋼結(jié)構(gòu)會出現(xiàn)彈性延展撓度變化，且存放場地并非絕對平整或水平，這些因素都會造成自身彎曲干擾，影響測量數(shù)據(jù)和計算結(jié)果的準確性。所以施工方對鋼管樁直線度的技術(shù)要求為：(1)管節(jié)軸線彎曲矢高不大于1‰管節(jié)長；(2)樁總軸線彎曲矢高不大于1‰樁長，多管節(jié)拼接時以整根質(zhì)量要求為準。由表3可見，14個截面擬合半徑與設計半徑差值，直線度數(shù)值均滿足施工方要求。

4 結(jié)論

本文根據(jù)平面圓弦長中垂線相交于圓心的特性，引申出空間圓弦長中垂面相交于圓心的特性，又根據(jù)圓心必定位于擬合平面上的特點，作為限制條件，利用附有限制條件的間接平差方法，結(jié)合最小二乘法原理，提出了一種空間圓擬合的新方法。本方法摒棄了常用方法空間邏輯繁瑣、公式計算復雜等缺點，通過簡單的幾何關(guān)系，推導出便于計算的公式，方便計算機編程實現(xiàn)。本算法成功應用于工程實際，得到了有效的檢驗，并可延伸應用于傾斜樁測量、隧道測量、管渠測量等多個領(lǐng)域。