基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的智能船舶循跡預(yù)測(cè)控制

徐海祥 李超逸 余文曌 韓素敏 魏躍峰 楊素軍

(1.武漢理工大學(xué) 高性能船舶技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430063；2.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，湖北 武漢 430063；3.中國(guó)船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院 噴水推進(jìn)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200011)

自20世紀(jì)90年代起，以信息技術(shù)為核心的高新產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展，經(jīng)濟(jì)全球化的格局逐漸形成。海上運(yùn)輸因其具有運(yùn)輸量大、成本低廉等優(yōu)勢(shì)，在國(guó)際貿(mào)易運(yùn)輸中占比達(dá)到66%，我國(guó)外貿(mào)海上運(yùn)輸占比更是高達(dá)90%[1]。為貫徹“綠色船舶”理念，智能船舶相關(guān)技術(shù)的研究受到了廣泛關(guān)注。

2020年我國(guó)發(fā)布了《智能船舶規(guī)范(2020)》，其中明確規(guī)定智能船舶需擁有在開闊水域、狹窄道口、進(jìn)出港口、靠離碼頭等不同場(chǎng)景下自主航行的能力，以及在復(fù)雜環(huán)境作用下的自適應(yīng)能力。同時(shí)規(guī)定智能船舶自主航行設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)以船舶航行安全為前提，優(yōu)先考慮船舶推進(jìn)和操舵能力，優(yōu)化船舶在轉(zhuǎn)向點(diǎn)處的航行狀態(tài)，使其與船舶推進(jìn)和操縱性能相匹配。因此，航跡控制作為智能船舶自主航行中最重要的工作模式之一，對(duì)控制技術(shù)提出了更高的要求，如何優(yōu)化船舶航行時(shí)的控制輸出以確保船舶自主航行時(shí)的安全以及如何保障船舶在海上復(fù)雜環(huán)境下的高精度航行成為了當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。

針對(duì)復(fù)雜環(huán)境擾動(dòng)補(bǔ)償問題，韓京清[2]最早提出自抗擾控制方法，該方法能有效估計(jì)補(bǔ)償系統(tǒng)內(nèi)部不確定擾動(dòng)和外部環(huán)境干擾。2011年，趙大威等[3]首次將自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control,ADRC)引入無人船狀態(tài)估計(jì)模塊中，設(shè)計(jì)了非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器。Li等[4]于2013年設(shè)計(jì)了一種將ADRC與滑?？刂品椒ㄏ嘟Y(jié)合的滑模自抗擾控制器來補(bǔ)償船舶循跡時(shí)的內(nèi)外部擾動(dòng)。Bidikli和Wondergem等[5- 6]考慮到實(shí)際工程中速度反饋不準(zhǔn)的問題，結(jié)合狀態(tài)觀測(cè)器與反饋控制律，估計(jì)船舶航行速度。2015年，F(xiàn)u等[7]利用ESO觀測(cè)器估計(jì)補(bǔ)償船舶模型不確定性和外部干擾構(gòu)成的復(fù)合擾動(dòng)。Cui等[8]于2017年運(yùn)用Lyapounv函數(shù)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，并與狀態(tài)觀測(cè)器相結(jié)合。2019年，沈智鵬等[9]同時(shí)引入動(dòng)態(tài)面控制和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)控制律,既消除“微分爆炸”問題，也較好補(bǔ)償了船舶受到的復(fù)合擾動(dòng)。但上述方法對(duì)控制輸出的優(yōu)化能力有限。

模型預(yù)測(cè)控制是當(dāng)前用來解決優(yōu)化問題最常用的控制方法。1999年，Wahl等[10]首次于船舶跟蹤控制中設(shè)計(jì)單個(gè)自由度的模型預(yù)測(cè)控制器。2014年，Liu等[11]將控制約束設(shè)計(jì)進(jìn)入非線性模型預(yù)測(cè)控制器中，實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)船舶運(yùn)動(dòng)控制。2015年，柳晨光等[12]考慮到船舶運(yùn)動(dòng)過程中受到的環(huán)境干擾、模型攝動(dòng)等問題，將MPC與ESO相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)路徑跟蹤控制精度的提升。2018年，錢小斌[13]使用反饋線性化方法，利用李導(dǎo)數(shù)將船舶非線性模型線性化。文獻(xiàn)[14- 15]采用廣義預(yù)測(cè)控制算法，提高控制精度，降低穩(wěn)態(tài)誤差。Liu等[16]提出了一種帶有擾動(dòng)觀測(cè)器的三階模型預(yù)測(cè)控制方法，有效估計(jì)補(bǔ)償環(huán)境擾動(dòng)的影響，并為后端執(zhí)行機(jī)構(gòu)提供了平滑的控制輸出。

綜上所述，將控制器與狀態(tài)觀測(cè)器相結(jié)合，是目前研究船舶航跡控制方法的熱門趨勢(shì)，既提高了船舶在復(fù)雜環(huán)境下的自適應(yīng)能力，也保證了船舶航行時(shí)的安全性、穩(wěn)定性。

針對(duì)ADRC及MPC控制器的穩(wěn)定性已有學(xué)者進(jìn)行了理論分析。Guo等[17- 18]對(duì)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器及非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的無窮時(shí)域穩(wěn)定性進(jìn)行了證明，Mayne等[19]則對(duì)無窮時(shí)域下的模型預(yù)測(cè)控制穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。然而，針對(duì)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明無法直接通過各子系統(tǒng)單獨(dú)證明獲得。1998年，Elena等[20]提出了非線性分離式原理，為級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明提供了理論基礎(chǔ)。2017年，瞿洋[21]基于非線性分離式原理，證明了帶有無源觀測(cè)器的PID級(jí)聯(lián)控制器的穩(wěn)定性。

受上述工作的啟發(fā)，文中通過設(shè)計(jì)非線性ESO-MPC級(jí)聯(lián)控制器，對(duì)船舶循跡時(shí)受到的復(fù)雜時(shí)變多源干擾進(jìn)行補(bǔ)償，并考慮推進(jìn)器性能，進(jìn)行控制輸出的優(yōu)化；同時(shí)，基于非線性分離式原理，證明所設(shè)計(jì)級(jí)聯(lián)控制器的穩(wěn)定性；最終，通過與ADRC及MPC控制器進(jìn)行仿真對(duì)比，對(duì)該級(jí)聯(lián)控制器的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 船舶模型建立

為便于描述船舶水平面三自由度運(yùn)動(dòng)過程，建立如圖1所示的坐標(biāo)系。以點(diǎn)O0為北東坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立大地坐標(biāo)系X0O0Y0，以船舶重心位置G為原點(diǎn)，建立隨船坐標(biāo)系XbG0Yb，其中O0X0軸指向正北，O0Y0軸指向正東。

圖1 北東坐標(biāo)系和船體坐標(biāo)系Fig.1 North-east-down Coordinate & body-coordinate

船舶三自由度非線性運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型可以表示為[22]

(1)

2 ESO-MPC運(yùn)動(dòng)控制器設(shè)計(jì)

所設(shè)計(jì)的ESO-MPC循跡運(yùn)動(dòng)控制器整體控制流程如圖2所示。

圖2 ESO-MPC控制器控制流程圖Fig.2 Control flow of ESO-MPC controller

假設(shè)1 控制輸入η、v對(duì)自變量t連續(xù)可導(dǎo)有界。

假設(shè)2f*(t)滿足Rademacher定理，對(duì)自變量t連續(xù)可導(dǎo)，且有界。

(2)

(3)

(4)

假設(shè)4 模型預(yù)測(cè)控制器中的預(yù)測(cè)輸出與期望輸出對(duì)自變量t連續(xù)可導(dǎo)。

假設(shè)5 ESO觀測(cè)器、MPC控制律以及構(gòu)造的級(jí)聯(lián)函數(shù)連續(xù)，滿足Lipschitz條件，對(duì)自變量t、x1、x2可導(dǎo)。

2.1 ESO設(shè)計(jì)

結(jié)合式(1)，可將船舶三自由度非線性數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為式(5)所示的狀態(tài)空間表達(dá)形式。

(5)

J(ψ)M-1JT(ψ)b(t)-

J(ψ)M-1C(vr)vr-J(ψ)M-1D(vr)vr,

ESO觀測(cè)器可設(shè)計(jì)為

式中，?和δ*為恒正參數(shù)。

2.2 連續(xù)時(shí)間MPC運(yùn)動(dòng)控制器設(shè)計(jì)

(6)

Y(t)2(i+1)×1=y[i]=

(7)

其中，

根據(jù)式(7)各階表達(dá)式，θ時(shí)刻各階預(yù)測(cè)輸出y(t+θ)可近似表示為

y(t+θ)=Γ(θ)Y(t)

(8)

其中，Γ(θ)為關(guān)于時(shí)間的系數(shù)矩陣,可表示為

定義被控對(duì)象的期望控制輸出為W(t)=[w(t)Tw[1](t)T…w[3](t)T]T，其中w(t)T=[udψd]T。

同理將期望輸出泰勒展開可得

w(t+θ)=Γ(θ)W(t)

(9)

在預(yù)測(cè)時(shí)域T0內(nèi)，將各階預(yù)測(cè)輸出y(t+θ)與期望輸出w(t+θ)的差構(gòu)造為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),如式(10)所示：

w(t+θ)]dθ

(10)

結(jié)合式(8)與式(9)，式(10)可轉(zhuǎn)化為

(11)

式中，

預(yù)測(cè)時(shí)域T0為調(diào)節(jié)MPC控制器收斂速度的恒正參數(shù)。在合理參數(shù)取值范圍內(nèi)，其值越小，收斂速度越快。

令輸入偏差矩陣Me=[Me0Me1Me2Me3]T，可表示為

Me=Lf[i]h(x)-w[i](t)

(12)

其中，i=0,1,…,3。

將式(7)代入式(12)得

(13)

(14)

式中，K為控制參數(shù)矩陣，取其前兩行參數(shù)，S(x,t)為控制輸入矩陣，可表示為

又令

A=-(LgLfh(x))-1K=[A1A2A3A4]T，

[B1B2B3B4]T。

取S(x,t)、A、B矩陣中與縱向速度相關(guān)的第二行及與艏向相關(guān)的第三行數(shù)值，式(14)可轉(zhuǎn)換為

綜上，ESO-MPC級(jí)聯(lián)控制器總控制律為

2.3 穩(wěn)定性分析

將式(5)與式(6)所示的系統(tǒng)相結(jié)合，構(gòu)造如式(15)所示的級(jí)聯(lián)控制系統(tǒng)。

(15)

為避免系統(tǒng)F2(t,x2)的輸入x2成為奇異矩陣，在矩陣末端設(shè)計(jì)一個(gè)經(jīng)過系統(tǒng)F2(t,x2)不發(fā)生變化且不產(chǎn)生作用的虛擬輸入狀態(tài)量，其值為單位矩陣I；另，級(jí)聯(lián)函數(shù)G(t,x1,x2)矩陣末端為0，與系統(tǒng)F2(t,x2)的輸入x2相乘為零矩陣，故系統(tǒng)F*(t,x1,x2)不受該虛擬狀態(tài)量影響。

定理1 若滿足假設(shè)1-4，t≥0時(shí)，F(xiàn)1(t,x1)、F2(t,x2)具有一致全局漸近穩(wěn)定性，且f1(t,x1)滿足如下條件：

證明

(1)F2(t,x2)具有一致全局漸近穩(wěn)定性

定義恒正控制參數(shù)矩陣K=[k0k1]T，將控制律(式(14))代入式(7)得：

(16)

結(jié)合輸入偏差矩陣Me，式(16)轉(zhuǎn)化為偏差方程形式為

Me2+k1Me1+k0Me0=0

(17)

由于式(17)為2階Hurwitz多項(xiàng)式，結(jié)合非線性廣義預(yù)測(cè)控制穩(wěn)定性表[23]，系統(tǒng)F2(t,x2)具有一致全局漸近穩(wěn)定性。

(2)F1(t,x1)具有一致全局漸近穩(wěn)定性

(18)

式中，β1、β2、β3為正增益系數(shù)矩陣。

由式(18)可得系數(shù)矩陣

令P為滿足Lyapunov方程PE+ETP=-I的正定矩陣，定義函數(shù)V(ζ)=ζTPζ，W(ζ)=ζTζ，其中I為單位矩陣。

(19)

對(duì)函數(shù)V(ζ)求導(dǎo)可得

(20)

綜上所述，系統(tǒng)F1(t,x1)具有一致全局漸近穩(wěn)定性且E為Hurwitz矩陣，定理1證畢。

0<‖G(t,x1,x2)‖≤βx1‖x2‖+

(21)

結(jié)合定理1，級(jí)聯(lián)系統(tǒng)(式(15))中的x1、x2有界，故βx1可取恒正常數(shù)，βx2=0，式(21)可轉(zhuǎn)化為

‖G(t,x1,x2)‖≤βx1‖x2‖

(22)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真條件設(shè)定

文中選取武漢理工大學(xué)智能船舶模型WHUT-iship[24]作為研究對(duì)象。在風(fēng)、浪、流和傳感器測(cè)量噪聲等時(shí)變多源干擾下，進(jìn)行ESO-MPC級(jí)聯(lián)控制方法與ADRC、MPC控制方法的仿真對(duì)比，以驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性。循跡過程所使用的ILOS引導(dǎo)律見文獻(xiàn)[25]，3種控制方法的引導(dǎo)參數(shù)設(shè)定一致。

ADRC控制形式如下：

連續(xù)時(shí)間MPC控制形式如下：

3.2 仿真參數(shù)設(shè)定

仿真環(huán)境如表1所示，3種控制器參數(shù)如表2所示。

表1 仿真環(huán)境參數(shù)Table 1 Simulation parameters

ESO-MPC中的參數(shù)?1、?2、δ*、β1、β2、β3與T0表2中設(shè)定一致。

表2 控制器參數(shù)Table 2 Controller parameters

3.3 仿真結(jié)果與分析

3種控制方法的航行軌跡對(duì)比如圖3所示。由圖3可知，3種控制方法都能沿預(yù)設(shè)Dubins軌跡附

圖3 3種控制方法的航行軌跡圖Fig.3 Path following results of three control methods

近航行。其中，ESO-MPC與ADRC控制方法的軌跡較平滑，MPC控制方法則有軌跡振蕩現(xiàn)象，抵抗外界時(shí)變多源干擾能力弱。

圖4為3種控制方法的橫向偏差對(duì)比結(jié)果。為進(jìn)一步量化比較，計(jì)算3種控制方法橫向偏差的均方誤差(Mean Squared Error,MSE)，如表3所示。

圖4 3種控制方法的橫向偏差對(duì)比Fig.4 Cross-error results of three control methods

由表3可知，ESO-MPC整體橫向偏差最小，MPC整體橫向偏差最大。在航行過程中ESO-MPC與ADRC橫向偏差結(jié)果相近，但在航行起始處，ADRC的收斂速度慢于ESO-MPC，其起始階段的橫向偏差較大，且在航行末端具有明顯的偏差振蕩現(xiàn)象。因此，ESO-MPC級(jí)聯(lián)控制器的魯棒性最優(yōu)。

表3 3種控制方法的橫向偏差均方誤差Table 3 MSE of cross-track error of three control methods

3種控制方法下航行速度及控制力的對(duì)比結(jié)果如圖5、圖6所示。由圖5可知，在測(cè)量噪聲干擾下，MPC控制方法下的縱向速度和艏向角速度劇烈抖振，導(dǎo)致其輸出的縱向控制力及艏向控制力矩也出現(xiàn)劇烈振蕩現(xiàn)象，不利于船舶安全航行且所需航行時(shí)間最長(zhǎng)，效率最低。采用ESO-MPC與ADRC控制方法速度更平滑，但ESO-MPC控制方法下的縱向速度更平穩(wěn)且在后續(xù)航行過程中始終穩(wěn)定收斂于期望縱向速度，其航行所需時(shí)間最短，效率最高。在艏向角速度圖中，采用ADRC方法時(shí)，于800 s后出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，而采用ESO-MPC控制方法則始終保持平穩(wěn)。由圖6艏向控制力矩圖可知，ADRC控制方法在航行轉(zhuǎn)艏處存在控制力矩瞬時(shí)突變現(xiàn)象，而經(jīng)過MPC優(yōu)化的ESO-MPC控制方法的控制力矩更平滑。由艏向控制力矩子圖可知，ESO-MPC控制方法消除了轉(zhuǎn)艏處的瞬時(shí)突變，更有利于船舶安全航行作業(yè)。

圖5 3種控制方法的航行速度對(duì)比Fig.5 Speed results of three control methods

圖6 3種控制方法的控制力對(duì)比Fig.6 Control force results of three control methods

ESO-MPC控制方法的姿態(tài)估計(jì)結(jié)果及總擾動(dòng)估計(jì)結(jié)果如圖7、圖8所示。

由圖7、圖8可知，ESO觀測(cè)器能準(zhǔn)確為控制輸入端提供低頻位置、速度信息，同時(shí)能夠有效補(bǔ)償時(shí)變多源干擾，為控制器的優(yōu)化輸出提供了保障。綜上所述，所設(shè)計(jì)的ESO-MPC級(jí)聯(lián)控制器考慮了后端執(zhí)行機(jī)構(gòu)的性能要求，優(yōu)化了船舶航行所需控制輸出，并在時(shí)變多源干擾下具有較強(qiáng)的魯棒性和優(yōu)越性。

圖7 ESO-MPC控制方法的姿態(tài)估計(jì)Fig.7 Attitude estimation results of ESO-MPC control method

圖8 ESO-MPC控制方法的擾動(dòng)估計(jì)Fig.8 Disturbance estimation results of ESO-MPC control method

4 結(jié)論

文中針對(duì)時(shí)變多源干擾下的船舶循跡優(yōu)化控制進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了一種ESO-MPC級(jí)聯(lián)控制器。首先，設(shè)計(jì)了ESO觀測(cè)器，有效估計(jì)補(bǔ)償時(shí)變多源干擾；其次，以航行控制力為優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)計(jì)了MPC控制器以平緩艏向控制力矩中存在的瞬時(shí)突變現(xiàn)象，并減小了船舶在時(shí)變多源干擾下的航行速度跟蹤誤差；最終，基于非線性分離式原理證明了該級(jí)聯(lián)控制器的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的ESO-MPC級(jí)聯(lián)控制器平緩了船舶航行轉(zhuǎn)艏處的控制突變現(xiàn)象，并在復(fù)雜時(shí)變干擾中具有較小的橫向偏差；通過與ADRC及MPC方法的仿真對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證了ESO-MPC級(jí)聯(lián)控制器的有效性與優(yōu)越性。