團(tuán)數(shù)為5的零因子圖對(duì)應(yīng)的有限交換局部環(huán)

劉 瓊, 吳明光

(上海電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 上海 200090)

零因子圖是近年來一個(gè)新的研究領(lǐng)域,主要研究環(huán)與半群的代數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與其零因子圖的圖結(jié)構(gòu)、圖性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。零因子圖的概念首先是由BECK I[1]在1988年提出的,后來又有許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)這一概念進(jìn)行了研究和推廣[2-8]。本文主要是利用零因子圖的團(tuán)數(shù)來研究相應(yīng)的有限交換局部環(huán)(以下簡稱“有限局部環(huán)”)的代數(shù)結(jié)構(gòu)與性質(zhì)。

本文中所用到的關(guān)于代數(shù)、圖論的符號(hào)和語言參考文獻(xiàn)[9-10]。

1 引理介紹

假設(shè)k≥6,可知a2=b2=c2=ac=ab=bc=0。由(a+c)u=0,可知a+c≠b。 同理可證:a+b≠c,b+c≠a。

2 主要結(jié)論

c=(b+d)2=b2+2bd+d2=

b2+d2+2bd=2c+2bd

(1)

下面分情況考慮α12和α22的值。

情況1 若α12=α22,由上面的分析可知,α12和α22不能同時(shí)為0。

若α13=α23=c,則b2=(α12)2=α14=cα1=0。這與前面討論中b2=c相矛盾,故αi3不可能同時(shí)為c(i=1,2)。

若α13=α23=a,則b2=(bα1)α2=α13α2=aα2=0。根據(jù)類似上述的討論可知,假設(shè)不成立,故αi3不可能同時(shí)為a。 同理可證,αi3不可能同時(shí)為a+c。

② 若α12=α22=a,下面考慮α1α2的值。

若α1α2=c,則c=aα1=α22α1=α2c=0。這與c不為0相矛盾,故α1α2≠c。同理可證α1α2≠0。

若α1α2=b,則bα1=(α1α2)α1=aα2=0,c=b2=b(α1α2)=0。這與c不為0相矛盾,故α1α2≠b。同理可證,α1α2≠b+c,a+b,a+b+c。

根據(jù)上述情況1的討論可知,情況1的前提假設(shè)不成立,故α12≠α22。

① 若α1α2=0,則bα2=α12α2=α1(α1α2)=0,(b+α2)2=b2+2bα2+α22=0。

又因?yàn)閍(b+α2)=0,這與(1)中的證明相矛盾,故α1α2≠0。同理可證,α1α2≠c。

② 若α1α2=a,則bα2=α1(α1α2)=aα1=c,(b+α2)2=b2+2bα2+α22=c+2c+c=0。與上面的討論類似,可得出相矛盾。

③ 若α1α2=b, 則bα2=(α1α2)α2=α1α22=α1c=0。與上述的討論類似,可知假設(shè)不成立。由上面的分析可知,α22≠c。同理可證,α22≠0。

3 結(jié) 語