基于響應(yīng)面法的減速器行星架多目標優(yōu)化研究*

李志遠,裴 幫,李學飛,陳 卓,黃曉丹

(鄭州機械研究所有限公司,河南 鄭州 450001)

0 引 言

作為行星齒輪減速器中的主要構(gòu)件之一,行星架是行星齒輪傳動系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)和受力都比較復雜的零件。作為動力的輸出構(gòu)件,行星架承受的外力矩最大,同時其質(zhì)量和尺寸也是傳動系統(tǒng)中最大的[1]。行星架的強度在行星減速器中起著關(guān)鍵的作用,所以對行星架進行強度分析很有必要。

在有限元分析過程中,不同的邊界條件會造成不同情況的應(yīng)力分布狀況,所以探討、分析合適的邊界條件是重要的。姜振波、楊瑞鋒等人[2]在對采煤機的行星架進行有限元分析過程中,對行星架不同的邊界條件方案進行了對比研究。陳器[3]在對盾構(gòu)機的行星減速器行星架進行仿真分析及優(yōu)化過程中,將行星架與行星軸裝配在一起,使等效應(yīng)力出現(xiàn)在退刀槽內(nèi);通過采取增加圓角的方式減小了其應(yīng)力集中。

響應(yīng)面法采用多元多項式或非多項式模型(如Kriging模型)來描述系統(tǒng)自變量和響應(yīng)特征之間的復雜關(guān)系,替代有限元仿真和其他復雜模型。因此,在工程中,采用響應(yīng)面法可以進行更為有效的設(shè)計或計算工作。同時,選擇合適的實驗設(shè)計方法和高精度的響應(yīng)面模型可以大大縮減優(yōu)化設(shè)計的時間[4]。

要保證響應(yīng)面模型的精度,對實驗設(shè)計方法的選取很重要。張令彌、費慶國等人[5]在用于確定性計算仿真的響應(yīng)面法及其試驗設(shè)計研究過程中,對常用實驗設(shè)計方法進行了詳細介紹。逯振國、楊素等人[6]采用有限元方法對采煤機行星架質(zhì)量進行優(yōu)化分析時,利用響應(yīng)面分析法,以行星架中的行星軸孔為優(yōu)化參數(shù),對其質(zhì)量進行了優(yōu)化。常濤等人[7]分析了制造加工的過程中的不確定參數(shù)對行星架強度的影響,并且對其可靠性也進行了驗證。殷國富、陳箭等人[8]基于變密度法插值模型,對行星架進行了結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化;在優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上,重新設(shè)計了新的行星架,并對其可用性進行了驗證。

在動力學方面,MCINERNY S A和PARKER R G等人在研究三維斜齒行星齒輪的模態(tài)特性時,分析了行星架的振動對失效的影響[9,10]。KELLER J A等人[11]在對行星架進行振動監(jiān)測進行研究時,對改進的特殊工況下的行星齒輪箱進行了標準參數(shù)化診斷分析。BLUNT D M等人[12]用模態(tài)分析方法,對行星齒輪傳動行星架的疲勞破壞狀況進行了研究分析。

在靜力學方面,前人的研究過程中,并沒有考慮軸承對行星軸的約束,因此,筆者將軸承對行星軸的約束近似為剛性約束,通過寬度與軸承一致剛性支架模擬軸承對行星軸的約束;對比剛?cè)狁詈夏Ｐ秃蛡鹘y(tǒng)分析方案,選擇合理的方案分析,通過建立響應(yīng)面模型,以便能更高效率地進行多目標優(yōu)化設(shè)計。

1 有限元模型建立

筆者采用2k-h型行星輪系作為研究對象。此型號行星輪系的外齒圈固定不動,通過太陽輪與行星輪的嚙合,使行星架輸出轉(zhuǎn)矩。

由于參數(shù)化建?？墒购笃趦?yōu)化設(shè)計變得極其方便,筆者利用SolidWorks進行參數(shù)化建模。

參數(shù)化模型如圖1所示。

圖1 參數(shù)化模型

筆者采用Workbench對行星架進行有限元分析,將已經(jīng)完成的三維模型直接導入Workbench中的Static Structural模塊(Geometry)中,并利用Workbench中自帶的三維軟件Design Model打開,以將行星架中的參數(shù)化信息導入Workbench中。

在劃分網(wǎng)格前,需要對模型進行預處理。由于圓角的存在會導致劃分的網(wǎng)格數(shù)量過于龐大,因網(wǎng)格梯度過大而導致計算結(jié)果不符合實際。此處,筆者將行星架中非關(guān)鍵部位的圓角刪除。

行星架的材料機械性能如表1所示。

表1 材料機械性能

2 方案分析

為分析比較不同的邊界條件對行星架的應(yīng)力與位移的影響,筆者采用兩種不同的邊界條件對行星架進行有限元分析,并選擇其中與實際情況比較接近的情況進行優(yōu)化設(shè)計。

2.1 行星架受力分析

2K-H型行星架傳動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示。

圖2 傳動結(jié)構(gòu)簡圖

根據(jù)該行星輪系的設(shè)計參數(shù),輸出功率約為P=3 728.11 kW,輸出轉(zhuǎn)速為114.95 r/min,則其輸出轉(zhuǎn)矩為:

(1)

2.2 方案一仿真分析

方案一。采用直接對行星架進行加載的方式,通過行星架的輸出扭矩計算出行星軸中心軸所在圓的扭矩。

行星架受力分析如圖3所示。

圖3 行星架受力圖

由于已知輸出轉(zhuǎn)矩309 730 N·m,根據(jù)力矩平衡可得:

(2)

由F2可知，每個行星軸孔的受力為：

(3)

筆者使用Workbench中的軸承力功能來模擬軸承對軸承孔的加載效果,并對每個孔建立獨立的局部坐標系以控制方向(方向為軸承孔所在圓的切線方向),邊界條件加載后對其進行求解,最后得到應(yīng)力云圖如圖4所示。

圖4 應(yīng)力云圖

得到位移云圖如圖5所示。

圖5 位移云圖

2.3 方案二仿真分析

方案二。采用更加貼合實際的加載情況,用剛?cè)狁詈夏Ｐ蛯π行羌苓M行分析。

之所以采用剛?cè)狁詈夏Ｐ?是因為筆者關(guān)注的應(yīng)力是行星架,而非剛性支架,故將其設(shè)置為剛性體,使其只傳遞力的作用而不受力。這在一定程度上減少了網(wǎng)格的劃分數(shù)量,提高了計算的效率;

此外,由于軸承的內(nèi)齒圈與行星軸為過盈配合,筆者將行星軸與軸承內(nèi)圈的配合視為剛性約束,且忽略齒輪嚙合剛度。在此前提下,將齒輪傳動簡化為一個剛性支架。

筆者將剛性支架、行星軸與行星架裝配在一起,得到行星架裝配圖,如圖6所示。

圖6 行星架裝配圖

筆者將其導入Workbench中進行預處理,并進行邊界條件的施加。首先,將支架設(shè)定為剛體,其與行星軸、行星軸與行星架的之間的接觸按照全部實際的接觸狀態(tài),即有摩擦接觸處理。在接觸的設(shè)置中,由于存在剛體,剛體只能作為目標面設(shè)定;

此外,由于Workbench中的剛體無法施加固定約束,為達到固定的目的,筆者對剛性支架施加遠程位移約束,并將遠程位移6個方向的自由度全部設(shè)置為0,以達到固定約束的效果;

最后,在行星架的輸出端施加扭矩。

在涉及摩擦的有限元分析中,為保證精度,筆者將Workbench自適應(yīng)網(wǎng)格功能關(guān)閉。在該模型中,將全局平均的尺寸控制在15 mm,在需要關(guān)注的部位,即行星軸與行星架的接觸部位進行局部細化網(wǎng)格,并將網(wǎng)格增長率設(shè)定為1.1,使網(wǎng)格梯度盡量減小。

由于筆者已將支架設(shè)定為剛體,在有限元分析中,對剛體劃分網(wǎng)格僅僅限于接觸部位。

方案二最后得到的位移云圖如圖7所示。

圖7 位移云圖

最后得到的應(yīng)力云圖如圖8所示。

圖8 應(yīng)力云圖

2.4 方案對比分析

方案一與方案二的最大應(yīng)力柱狀圖和最大變形柱狀圖對比結(jié)果,如圖9所示。

圖9 方案對比圖

方案一的最大應(yīng)力值小于方案二的最大應(yīng)力值,原因是由于方案一將3根行星軸所受的力均勻地分配到6個行星軸孔上,沒有產(chǎn)生行星軸與行星軸孔的接觸導致的應(yīng)力集中現(xiàn)象,故其最大應(yīng)力值小于方案二;

方案二的最大變形值小于方案一,原因在于:(1)方案一每個軸孔受力均勻,而輸入端又缺少約束,導致方案一的輸入端的變形過大;(2)方案二用來模擬軸承約束的剛性支架對行星軸有一定的約束作用。在實際情況中,軸承內(nèi)圈對行星軸的約束使其阻擋了行星架的轉(zhuǎn)動,因而也就沒有輸出轉(zhuǎn)矩;(3)方案二的負載大多集中在輸出端,且受到行星軸的反作用力。

3 多目標優(yōu)化

3.1 數(shù)學模型建立

為了提高行星架的靜力學性能,筆者采用多目標優(yōu)化的方法對行星架的關(guān)鍵參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計,以提高計算效率。

多目標優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型[13]為:

FindX=[X1,X2,X3…Xn]∈Rn

Minf(X)=f(x1,x2,x3…xn)

(4)

式中：FindX—求解的最優(yōu)解；X—設(shè)計變量；xn—第n個設(shè)計變量元素；Rn—設(shè)計變量的可行域；f(x)—目標函數(shù)；S.T—約束函數(shù)；σi(X)—第i個不等式約束；τl(X)—第l個不等式約束。

3.2 響應(yīng)面模型建立

響應(yīng)曲面分析設(shè)計方法是一種利用合理的實驗設(shè)計方法,通過實驗得到相應(yīng)的數(shù)據(jù),運用多元二次回歸方法擬合因素與響應(yīng)值之間的關(guān)系,通過對回歸方程的分析尋求最優(yōu)解,從而解決多變量問題的統(tǒng)計方法[14]。相對于直接優(yōu)化方法,響應(yīng)面法因為不需要每次都進行有限元計算,所以其計算效率相對更高。

經(jīng)過筆者對比驗證可知,方案二的邊界條件較方案一更貼合實際,為更理想的優(yōu)化結(jié)果。因此,筆者將行星軸和行星架裝配在一起,進行裝配體的優(yōu)化。

行星軸的剖視圖如圖10所示。

圖10 行星軸與行星架參數(shù)圖

圖10中,軸肩長度(P8)、接觸長度(P9)和通孔直徑(P5)為本次要優(yōu)化的行星軸參數(shù)。

對方案二進行分析可知,行星架的3根三角柱的受力較小,故筆者對三角柱進行優(yōu)化,即將三角柱挖成通孔,并將內(nèi)圓直徑(P6)和外圓直徑(P7)作為優(yōu)化參數(shù),將行星軸孔應(yīng)力(P1)、輸入端應(yīng)力(P2)、總變形(P3)和行星架質(zhì)量(P4)作為結(jié)果輸出。

參數(shù)優(yōu)化范圍如表2所示。

表2 參數(shù)優(yōu)化范圍

該實驗設(shè)計的目的是在樣本區(qū)間合理地選擇每個隨機采樣點,通過實驗得出樣本點的響應(yīng)值,為響應(yīng)面的建立提供原始數(shù)據(jù)[15-17]。筆者采用Central Composite Design實驗設(shè)計方法對樣本進行計算,然后利用Kriging響應(yīng)面模型對樣本數(shù)據(jù)進行擬合。

擬合優(yōu)度圖如圖11所示。

圖11中,由設(shè)計點計算出的觀察值和利用響應(yīng)面擬合出的預測值高度吻合,該結(jié)果表明,響應(yīng)面模型的可信度良好。

最終,筆者得到了響應(yīng)曲面(包括:最大變形響應(yīng)面和最大應(yīng)力響應(yīng)面),如圖12所示。

圖11 擬合優(yōu)度

圖12 響應(yīng)曲面

圖12中,響應(yīng)面反映出了各個參數(shù)對輸出參數(shù)的響應(yīng)程度。

由圖12(a)可知:P7和P8在當前取值條件下與行星架最大變形呈二次函數(shù)關(guān)系,當以最小變形為目標尋求最優(yōu)解時,候選點的值會選在黑色區(qū)域部分;

由圖12(b)可知:P8與P9相對于P6與P7對最大應(yīng)力的影響更大,P6、P7、P8、P9的增加可使最大應(yīng)力減小,但會導致更大變形。在滿足強度的情況下,可增加上述參數(shù)以減小變形。

完成響應(yīng)面的建立后,筆者通過設(shè)置優(yōu)化目標得到3個候選點,如表3所示。

表3 候選點數(shù)據(jù)

3.3 靜力學驗證

筆者根據(jù)優(yōu)化后的數(shù)據(jù)重新建模,并按照之前相同的邊界條件進行計算與驗證,最后將計算結(jié)果與響應(yīng)面的預測結(jié)果(候選點3)進行比較,其結(jié)果如表4所示。

表4 響應(yīng)點驗證

由表4可知,該響應(yīng)面的預測精度良好,可以準確地反映不同參數(shù)組合的實際輸出結(jié)果。

筆者將優(yōu)化前的數(shù)據(jù)和優(yōu)化后的數(shù)據(jù)進行對比,其結(jié)果如圖13所示。

由表13可知:行星架的最大應(yīng)力由299.78 MPa降低為269.35 MPa,減小了10.1%;最大變形量由0.26 mm降低為0.17 mm,減小了34.6%;行星架的質(zhì)量由開始的413.58 kg降低為310.81 kg,減小了24.8%。

圖13 最終優(yōu)化對比

由此可見,該行星架綜合優(yōu)化的效果顯著。

4 結(jié)束語

筆者通過兩種不同的方案對行星架進行了靜力學分析,并篩選出了最優(yōu)方案,隨后對行星架裝配體的剛?cè)狁詈夏Ｐ偷年P(guān)鍵參數(shù)進行了CCD抽樣分析,并擬合出響應(yīng)面最優(yōu)解;最后,對該最優(yōu)解進行了驗證。

研究結(jié)果表明:

(1)基于剛?cè)狁詈夏Ｐ偷姆桨付淤N合實際,且最大應(yīng)力位置在行星軸和行星軸孔的接觸位置;

(2)行星架的輸入端和輸出端的軸孔受力不均勻,且大部分應(yīng)力集中在輸出端,輸入端面板的受力偏小;

(3)行星軸上的通孔對其最大應(yīng)力的影響較為顯著,且為非線性關(guān)系;當軸剛度小于臨界值時,通孔直徑的增加會導致其最大應(yīng)力減小,反之則會導致其應(yīng)力增大;

(4)通過建立響應(yīng)面模型,對需要修改的參數(shù)進行多目標尋優(yōu),得出最優(yōu)解,并對最優(yōu)解進行了靜力學驗證,其結(jié)果表明,響應(yīng)面精度在誤差范圍內(nèi),該最優(yōu)解結(jié)果可以接受;并且以最優(yōu)解為最終優(yōu)化方案,取得的優(yōu)化效果最為顯著。

綜上所述,在保證響應(yīng)面精度的情況下,基于響應(yīng)面法的參數(shù)優(yōu)化零件的優(yōu)化效果良好,特別適用于無法通過手動計算強度的零件。

在后續(xù)的研究中,筆者將對復雜結(jié)構(gòu)零件進行全參數(shù)優(yōu)化,以實現(xiàn)其輕量化設(shè)計的目的。