繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人標(biāo)定方法

李法民 鄭天江 沈雯鈞 王會(huì)肖 方灶軍 梁冬泰

1.寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，寧波，3152112.中國科學(xué)院寧波材料技術(shù)與工程研究所,寧波，3152013.浙江省機(jī)器人與智能制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,寧波，315201

0 引言

與傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人相比，連續(xù)體機(jī)器人具有柔順性高、能夠?qū)崿F(xiàn)連續(xù)變形等特點(diǎn)，越來越受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。

學(xué)者針對(duì)不同的應(yīng)用場景提出了多種連續(xù)體機(jī)器人構(gòu)型。KANG等[1]提出了一種將肌腱嵌入氣動(dòng)肌肉的連續(xù)體機(jī)器人，并建立了機(jī)器人的三維動(dòng)力學(xué)模型。ZHANG等[2]以形狀記憶合金(SMA)作為驅(qū)動(dòng)模塊，搭建了具有4個(gè)關(guān)節(jié)模塊的模塊化機(jī)器人臂，根據(jù)SMA的特點(diǎn)建立了自反饋控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人的控制。OTAKE等[3]研究了基于電活性聚合物凝膠的軟連續(xù)體機(jī)器人，提出了電活性聚合物系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并通過施加空間或時(shí)變電場來實(shí)現(xiàn)各種運(yùn)動(dòng)。周圓圓等[4]提出了一種新構(gòu)型的6自由度連續(xù)體手術(shù)機(jī)器人，其形變骨架采用超彈性材料一體化成形加工，形成具有一系列十字交叉鏤空結(jié)構(gòu)的彈性鉸鏈。MANTI等[5]提出了一種繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)械臂，該機(jī)械臂將驅(qū)動(dòng)繩索與彈性流體制動(dòng)器相結(jié)合，能夠?qū)崿F(xiàn)彎曲、拉伸和收縮運(yùn)動(dòng)。與其他連續(xù)體機(jī)器人構(gòu)型相比，采用繩索驅(qū)動(dòng)的連續(xù)體機(jī)器人通過繩索來傳力，其傳動(dòng)裝置可以安裝于基座，這有利于實(shí)現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)部件的輕量化，且繩驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的帶載荷能力較大，因此，該構(gòu)型適用于復(fù)雜環(huán)境內(nèi)運(yùn)動(dòng)及本質(zhì)安全的人機(jī)交互，被廣泛應(yīng)用在狹窄空間檢測[6]、輕量化機(jī)械臂[7]、外科手術(shù)[8]等領(lǐng)域。

由于連續(xù)體機(jī)器人容易產(chǎn)生柔性變形，故其控制精度較傳統(tǒng)機(jī)器人更容易受加工、安裝以及外載荷等因素影響。與傳統(tǒng)機(jī)器人相比，繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人更需要通過標(biāo)定來提高其精度。

國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人的標(biāo)定做了大量研究。YANG等[9]針對(duì)并聯(lián)機(jī)器人提出了標(biāo)定方法，該方法將旋量、關(guān)節(jié)角誤差都?xì)w納到初始位姿的誤差中，誤差模型簡單。谷樂豐等[10]提出了一種由安裝于機(jī)器人末端球心位置的測量裝置和可移動(dòng)球桿組成的新型便攜式機(jī)器人標(biāo)定裝置，能夠在較大空間中進(jìn)行標(biāo)定。KURBANHUSEN等[11]針對(duì)剛性關(guān)節(jié)繩驅(qū)動(dòng)機(jī)器人標(biāo)定方法進(jìn)行了研究。CHEN等[12]針對(duì)7自由度繩驅(qū)動(dòng)剛性機(jī)械臂，提出了一種集成化的兩級(jí)自校準(zhǔn)方法。雖然學(xué)者提出了大量的標(biāo)定方法，但一般需在機(jī)器人末端安裝測量裝置，這使得多數(shù)方法不能直接用于易產(chǎn)生柔性變形的連續(xù)體機(jī)器人，且目前針對(duì)連續(xù)體機(jī)器人的標(biāo)定方法研究較少。

本文設(shè)計(jì)了一種基于柔性支撐構(gòu)型的繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人關(guān)節(jié)模塊，該關(guān)節(jié)模塊以柔性液壓軟管材料作為支撐骨架，通過4根繩索牽引，可實(shí)現(xiàn)2-DOF的連續(xù)彎曲運(yùn)動(dòng)。為提高定位精度，本文利用指數(shù)積(POE)公式建立了基于柔性支撐構(gòu)型的繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人關(guān)節(jié)模塊的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，然后推導(dǎo)出了基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的誤差傳遞模型。

1 基于柔性支撐的繩驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)模塊設(shè)計(jì)

基于柔性支撐的繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人關(guān)節(jié)模塊模型見圖1。關(guān)節(jié)模塊由基座、動(dòng)平臺(tái)、柔性支撐骨架及4根驅(qū)動(dòng)繩索連接構(gòu)成。為簡化設(shè)計(jì)，動(dòng)平臺(tái)與基座具有相同結(jié)構(gòu)。柔性支撐骨架采用液壓軟管材料，具有較高的抗拉壓和扭轉(zhuǎn)剛度，能夠大幅減少運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的拉伸、壓縮、扭轉(zhuǎn)等復(fù)雜變形。驅(qū)動(dòng)繩索為剛閘繩，繩的連接點(diǎn)均勻分布在動(dòng)平臺(tái)與基座上，通過驅(qū)動(dòng)電機(jī)牽引繩索，可實(shí)現(xiàn)單關(guān)節(jié)模塊的兩自由度彎曲運(yùn)動(dòng)。

圖1 繩驅(qū)動(dòng)單關(guān)節(jié)模塊模型Fig.1 Model of cable-driven segment

2 繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 單關(guān)節(jié)模塊運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

繩驅(qū)動(dòng)單關(guān)節(jié)模塊運(yùn)動(dòng)學(xué)簡化模型如圖2所示，點(diǎn)OB、OM分別為基座、動(dòng)平臺(tái)的圓心，Bi、Mi(i=1,2,3,4)為4根繩索連接點(diǎn)。在基座、動(dòng)平臺(tái)上分別建立坐標(biāo)系OBXBYBZB、OMXMYMZM，兩坐標(biāo)系分別以O(shè)B、OM為原點(diǎn)，以O(shè)B、OM指向第一根繩索連接點(diǎn)的方向?yàn)檩SXB、XM，以垂直于基座、動(dòng)平臺(tái)的方向?yàn)檩SZB、ZM。由于4根繩索均勻分布在平臺(tái)上，所以軸YB、YM分別指向平臺(tái)第二根繩索連接點(diǎn)。

圖2 單關(guān)節(jié)模塊運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.2 Kinematics model of segment

假定柔性支撐骨架的彎曲形變理想化，則OBOM為一條定長為l的圓弧。平面OBOMO由軸ZB、ZM以及圓弧OBOM組成，分別交基座、動(dòng)平臺(tái)于直線OBO、OMO，且OBO與OMO相交于O點(diǎn)，該平面始終垂直于基座。

定義關(guān)節(jié)變量旋轉(zhuǎn)角α和彎曲角θ，通過兩關(guān)節(jié)變量α、θ來描述單關(guān)節(jié)模塊的彎曲運(yùn)動(dòng)。其中，α為軸XB與直線OBO的夾角，表示關(guān)節(jié)彎曲的方向；θ為∠OMOOB，表示關(guān)節(jié)彎曲的角度。

2.1.1關(guān)節(jié)變量與動(dòng)平臺(tái)末端位姿運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

(1)

ξ=(v,ω)∈R6×1

根據(jù)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)變換關(guān)系，T(α,θ)可表示為

(2)

式中，R(α,θ)∈SO(3),為坐標(biāo)系OMXMYMZM相對(duì)于OBXBYBZB的方向；p(α,θ)為坐標(biāo)系OMXMYMZM相對(duì)于OBXBYBZB的位置向量。

由式(1)可得

(3)

(4)

由式(3)、式(4)可得

(5)

(6)

式中，L為柔性骨架的長度。

綜上所述，若給定關(guān)節(jié)變量α、θ，則繩驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)模塊的動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于基座的位姿也確定。

2.1.2關(guān)節(jié)變量與繩長的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

‖BiMi‖表示第i根繩索的長度，根據(jù)幾何關(guān)系，有

BiMi=BiOB+OBOM+OMMi

(7)

則第i根繩索的表達(dá)式為

(8)

(9)

式中，βi為OBO與OBBi的夾角；r為繩連接點(diǎn)所在圓的半徑。

由式(8)可得繩長與關(guān)節(jié)角的數(shù)學(xué)關(guān)系：

(10)

(11)

2.2 連續(xù)體機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人是由多個(gè)相同的2-DOF繩驅(qū)動(dòng)單關(guān)節(jié)模塊連接構(gòu)成。對(duì)于n個(gè)單關(guān)節(jié)模塊組成的連續(xù)體機(jī)器人，其正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

T0,n=T0,1(α1,θ1)…Ti-1,i(αi,θi)…Tn-1,n(αn,θn)

(12)

式中，Ti-1,i(αi,θi)為第i個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

給定每個(gè)單關(guān)節(jié)模塊的旋轉(zhuǎn)角α、彎曲角θ，則繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人的末端動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于基座系的位姿便可確定。

3 繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人標(biāo)定算法

3.1 誤差模型

對(duì)于由n個(gè)關(guān)節(jié)模塊構(gòu)成的繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人，由式(12)可知，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是關(guān)于初始位姿T(0)、旋量ξ、關(guān)節(jié)角q的函數(shù)，即

T=f(T(0),ξ,q)

(13)

T(0)=[T0,1(0)T1,2(0) …Tn-1,n(0)]T

ξ=[ξ1ξ2…ξn]T

q=[q1q2…qn]T

對(duì)式(13)進(jìn)行微分，有

(14)

由式(14)可知，末端位姿誤差δT·T-1由δT(0)、δξ和δq三個(gè)參數(shù)決定。由于ξ是關(guān)節(jié)角q=[αθ]T的函數(shù)，這里暫時(shí)不考慮旋量帶來的誤差，故只需推導(dǎo)出最終與δT(0)和δq相關(guān)的末端誤差模型。式(14)可簡化為

(15)

對(duì)式(12)進(jìn)行微分，可得

(16)

(17)

δti=[dxidyidziδxiδyiδzi]

Ji4=ωδqi=[δαiδθi]T

式中，Ad(T)表示求矩陣T的伴隨變換矩陣，δti為第i個(gè)關(guān)節(jié)末端運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差；Ji為第i個(gè)關(guān)節(jié)的雅可比矩陣[14]；δqi為第i個(gè)關(guān)節(jié)的角度誤差；ω′為ω的導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)李群李代數(shù)相關(guān)理論[13]，可得

(18)

將式(16)～式(18)代入式(15)，得

(19)

將式(19)線性化表示為

y=Ax

(20)

其中，y為末端位姿誤差，x為機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差，具體表達(dá)式為

Ad(Tq)=[Ad(T0,1(0))J1Ad(T0,1)Ad(T1,2(0))J2

…Ad(T0,n-1)Ad(Tn-1,n(0))Jn]
δt=[δt1δt2…δtn]T
δq=[δq1δq2… δqn]T

若測量m組數(shù)據(jù)，則式(20)可擴(kuò)展為

(21)

由式(21)得

(22)

3.2 模型參數(shù)的最小二乘法求解

為得到高精度的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型參數(shù)，采用最小二乘法對(duì)式(22)進(jìn)行迭代計(jì)算，算法流程如圖3所示。

圖3 標(biāo)定算法流程圖Fig.3 Flow chart of the calibration algorithm

4 仿真分析

4.1 仿真過程

本文利用MATLAB作為計(jì)算工具，對(duì)上述繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

選擇的仿真模型為繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人單關(guān)節(jié)模塊，其主要模型參數(shù)為：柔性支撐長度L=120 mm，繩索連接點(diǎn)到平臺(tái)圓心距離r=67 mm，初始位姿矩陣為

對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)初始參數(shù)T0,1(0)、ξ、q分別預(yù)設(shè)誤差Δt、Δξ、Δq，其中:

Δt=[0 0.1 mm 0.1 mm -0.1 mm 0 0]T

Δξ=[0.02 0 0 0 sin 0.02 cos 0.02-1]

Δq=[0.008° 0.008°]T

則實(shí)際模型參數(shù)表示為

ξa=ξ+Δξqa=q+Δq

此時(shí)，繩驅(qū)動(dòng)單關(guān)節(jié)模塊的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(23)

4.2 仿真結(jié)果分析

仿真導(dǎo)入30組關(guān)節(jié)角，其中前20組用于迭代求解標(biāo)定后的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，后10組用于驗(yàn)證標(biāo)定后運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的正確性。

定義平均位置誤差Ep和平均姿態(tài)誤差Eo，具體表示為

圖4所示為前20組數(shù)據(jù)的平均誤差隨迭代次數(shù)收斂情況。位置誤差經(jīng)6次迭代，從11.727 mm下降到0.0978 mm，姿態(tài)誤差從0.0929 rad下降到0.0027 rad，且第二次迭代時(shí)位置誤差就已下降到1.043 mm，姿態(tài)誤差下降到0.0068 rad，說明算法具有較好的收斂性。

(a)位置誤差迭代過程

通過標(biāo)定算法得到新的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型參數(shù)：

利用后10組數(shù)據(jù)對(duì)標(biāo)定后的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如圖5所示。10組數(shù)據(jù)的平均位置誤差為0.109 mm，平均姿態(tài)誤差為0.0029 rad，驗(yàn)證了標(biāo)定算法的可行性。

(a)位置誤差

4.3 算法對(duì)比

傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定方法一般僅考慮初始位姿誤差對(duì)精度的影響，如文獻(xiàn)[9]針對(duì)并聯(lián)機(jī)器人提出的標(biāo)定算法。本文對(duì)文獻(xiàn)[9]的傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定算法進(jìn)行仿真計(jì)算，并將其結(jié)果與本文所提算法進(jìn)行比較，對(duì)比結(jié)果如圖6所示。

(a)位置誤差對(duì)比

由圖6可得，傳統(tǒng)算法經(jīng)迭代后位置誤差下降到0.2292 mm，姿態(tài)誤差下降到0.0041 rad。根據(jù)仿真結(jié)果對(duì)比可得，本文所提算法能夠獲得更小的收斂誤差，得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型精度相對(duì)較高，這進(jìn)一步驗(yàn)證所提算法的可行性。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證標(biāo)定算法的有效性，利用繩驅(qū)動(dòng)單關(guān)節(jié)模塊樣機(jī)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)環(huán)境布置如圖7所示，實(shí)驗(yàn)設(shè)備由運(yùn)動(dòng)捕捉系統(tǒng)(qualisys track manager，QTM)、上位機(jī)、繩驅(qū)動(dòng)樣機(jī)、驅(qū)動(dòng)電機(jī)組成，其中運(yùn)動(dòng)捕捉系統(tǒng)測量關(guān)節(jié)末端位姿，上位機(jī)用于控制繩驅(qū)動(dòng)單關(guān)節(jié)模塊，驅(qū)動(dòng)電機(jī)牽引繩索運(yùn)動(dòng)。如圖8所示，樣機(jī)采用4根繩索驅(qū)動(dòng)，柔性支撐的長度L=120 mm，繩索連接點(diǎn)所在圓周的半徑r=67 mm。

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.7 Experimental equipment

圖8 繩驅(qū)動(dòng)單關(guān)節(jié)樣機(jī)Fig.8 Prototype of cable-drive segment

5.1 實(shí)驗(yàn)步驟

實(shí)驗(yàn)中，在基座、動(dòng)平臺(tái)上放置標(biāo)記小球(3個(gè))，通過QTM測得標(biāo)記小球的坐標(biāo)。根據(jù)3個(gè)小球坐標(biāo)分別計(jì)算基座、末端動(dòng)平臺(tái)在QTM坐標(biāo)系下的位姿TQ,B、TQ,E，則可得到末端在基座坐標(biāo)系下的實(shí)際位姿TB,E：

(24)

實(shí)驗(yàn)具體步驟如下：

(1)運(yùn)用QTM測量基于初始運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的120組數(shù)據(jù)，其中前80組通過標(biāo)定算法計(jì)算新的理論模型參數(shù)，后40組計(jì)算位姿誤差用于數(shù)據(jù)對(duì)比；

(2)將步驟(1)中計(jì)算出的標(biāo)定后的模型參數(shù)重新導(dǎo)入上位機(jī)；

(3)測量基于標(biāo)定后運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的40組數(shù)據(jù)(與步驟(1)中40組關(guān)節(jié)角相同)，計(jì)算末端位姿誤差；

(4)比較步驟(1)、步驟(3)中40組數(shù)據(jù)的末端位姿誤差，驗(yàn)證算法有效性。

5.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

實(shí)驗(yàn)步驟(1)中80組數(shù)據(jù)迭代的收斂性如圖9所示，通過4次迭代初始位置誤差從3.836 mm下降到1.153 mm，姿態(tài)誤差從0.123 rad下降到0.022 rad，算法的收斂性較好。

(a)位置誤差

標(biāo)定算法最終得到的新運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)為

將標(biāo)定后的新運(yùn)動(dòng)學(xué)模型導(dǎo)入上位機(jī)，采集實(shí)驗(yàn)步驟(3)中40組數(shù)據(jù)，將該數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)步驟(1)中40組數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖10所示。標(biāo)定前位置平均誤差為3.955 mm，姿態(tài)平均誤差為0.122 rad。標(biāo)定后位置平均誤差為2.68 mm，姿態(tài)平均誤差為0.0224 rad。

(a)位置誤差

5.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析可得：繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體單關(guān)節(jié)模塊位置平均誤差從標(biāo)定前的3.955 mm下降到2.68 mm，位置精度提高了32.23%；平均姿態(tài)誤差從0.122 rad下降到0.0224 rad，姿態(tài)精度提高了81.64%，證明了標(biāo)定算法的有效性。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繩驅(qū)動(dòng)單關(guān)節(jié)樣機(jī)在標(biāo)定后位置、姿態(tài)仍存在一定誤差。繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人為弱剛度系統(tǒng)，自重是導(dǎo)致機(jī)器人存在誤差重要原因之一。另外，驅(qū)動(dòng)繩索在運(yùn)動(dòng)過程中存在的摩擦力也會(huì)影響機(jī)器人控制精度。

6 結(jié)束語

提出了基于柔性支撐的繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人構(gòu)型，根據(jù)指數(shù)積公式建立了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。針對(duì)機(jī)器人控制精度較差的問題，提出了誤差標(biāo)定算法，通過標(biāo)定算法計(jì)算出準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。仿真結(jié)果顯示，該算法能夠快速收斂，并正確得到標(biāo)定后的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，證明了該標(biāo)定算法的可行性。最后，制作了繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人單關(guān)節(jié)樣機(jī)，對(duì)誤差標(biāo)定算法進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，機(jī)器人末端位置精度提高了32.23%，姿態(tài)精度提高了81.64%，驗(yàn)證了標(biāo)定算法的有效性。未來，將針對(duì)自重和摩擦等非幾何因素導(dǎo)致的誤差問題進(jìn)行研究，進(jìn)一步提高繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人的控制精度。