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    形樹的伴隨多項(xiàng)式的分解及其補(bǔ)圖的色等價(jià)性

    2022-01-27 03:32:42熊鵬飛張秉儒
    關(guān)鍵詞:子圖歸納法奇數(shù)

    熊鵬飛,張秉儒

    (1.青海交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院,青海 西寧 810006;2.青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,青海 西寧 810008)

    1 預(yù)備知識(shí)

    2 圖的伴隨多項(xiàng)式的概念

    設(shè)G是p的階圖,若圖G的生成子圖G0的所有分支是完全圖,則稱G0為G圖的理想子圖。用bi(G)表示圖G的具有p-i個(gè)分支的理想子圖的個(gè)數(shù)(0≤i≤p-1),由文[4]的定理15可知

    (1)

    這里是p=|V(G)|,(λ)k=λ(λ-1)(λ-2)…(λ-k+1)。

    定義2.1[5]設(shè)G是p階圖,則圖G的多項(xiàng)式

    (2)

    稱為簡(jiǎn)單圖G的伴隨多項(xiàng)式,h(G,x)可以簡(jiǎn)記為h(G)。

    圖G的每個(gè)分支或是K1或是K2的生成子圖稱為圖G的一個(gè)匹配,圖G的一個(gè)k-匹配就是含有k條邊的匹配,由G的理想子圖的個(gè)數(shù)bi(G)的定義即得如下的

    引理2.1[5]若G是無(wú)三角形K3的圖,則bi(G)等于圖G的i-匹配的數(shù)目。

    定義2.2稱圖G與H是伴隨等價(jià)的,若h(G,x)=h(H,x);稱圖G是伴隨唯一的,若從h(H,x)=h(G,x)推出圖G與H同構(gòu),記為H≌G。

    我們常用到圖的伴隨多項(xiàng)式h(G,x)的如下的基本性質(zhì):

    引理2.3[7]設(shè)uv∈E(G)且uv不屬于圖G的任何三角形,則有

    h(G,x)=h(G-uv,x)+xh(G-{u,v},x)

    引理2.4[7]設(shè)圖G具有k個(gè)分支G1,G2,…,Gk,則有

    h(G,x)=h(G1x)h(G2,x)…h(huán)(Gk,x)=

    設(shè)G是任意的連通圖,其伴隨多項(xiàng)式h(G,x)以下簡(jiǎn)記為h(G)。并不再贅述。

    根據(jù)引理2.4,我們?nèi)菀淄浦缦碌?/p>

    引理2.5設(shè)G和H是任意的兩個(gè)圖,K1是一個(gè)孤立點(diǎn),n≥2是任意的自然數(shù),則有

    (ⅰ)h(H∪nG)=h(H)h(nG)=

    h(H)hn(G);

    (ⅱ)h(H∪nK1)=h(H)h(nK1)=

    xnh(H)

    引理2.6[9-10]設(shè)n≥2是自然數(shù),Pn表示具有n個(gè)頂點(diǎn)的路,則有

    (ⅰ)h(Pm+1)=xh(Pm)+xh(Pm-1)

    (3)

    (ⅱ)h(Pm+n)=h(Pm)h(Pn)+

    xh(Pm-1)h(Pn-1)

    (4)

    引理2.7[11]設(shè)?k∈N,m(≥3)是自然數(shù),Ψ(k,m)表示把星圖Sk+1的唯一k度點(diǎn)與Pm的一個(gè)1度點(diǎn)重迭后得到的圖,則有

    (ⅰ)h(Ψ(2,m))=x2[h(Pm)+2h(Pm-1)]

    (5)

    (ⅱ)h(Ψ(k,m))=xk[h(Pm)+kh(Pm-1)]

    (6)

    3 幾類新圖的伴隨多項(xiàng)式

    圖1 圖

    圖2 圖ΨK(2,λ),λ=n+2-1(n+1)δ

    圖3 圖

    圖4 圖

    圖5 圖ΨT(2δ,(λ+1)+2)

    圖6 圖

    引理3.1設(shè)m(≥3)是任意自然數(shù),?r∈N,r≥1,則有

    (7)

    (8)

    xh(Pm-1)h(Pm)=h(Pm)[xh(Pm)+xh(Pm-1)]+xh(Pm-1)h(Pm)=xh(Pm)[h(Pm)+2h(Pm-1)]

    故(7)式成立;

    xh(Pm-1)h(Pm)h(Pm+1)=h(Pm+1)·

    xh(Pm)[h(Pm)+2h(Pm-1)]+

    xh(Pm-1)h(Pm)h(Pm+1)=

    xh(Pm)h(Pm+1)[h(Pm)+3h(Pm-1)]

    即(8)式也成立。

    引理3.2設(shè)m(≥3)是任意自然數(shù),?r∈N,r≥1,δ=(r+1)m+r,則有

    xh(Pm)hr-1(Pm+1)[h(Pm)+(r+1)h(Pm-1)]

    (9)

    證明如圖3.1所示,對(duì)自然數(shù)r≥1作數(shù)學(xué)歸納法:當(dāng)r=1,2時(shí),由(7)和(8)兩式知公式成立;假定公式對(duì)r-1成立,即

    根據(jù)(12)式及歸納假定,我們有

    xh(Pm-1)h(Pm)hr-1(Pm+1)=h(Pm+1)·

    xh(Pm)hr-2(Pm+1)[h(Pm)+rh(Pm-1)]+

    xh(Pm-1)h(Pm)hr-1(Pm+1)=

    xh(Pm)hr-1(Pm+1)[h(Pm)+rh(Pm-1)]+

    xh(Pm-1)h(Pm)hr-1(Pm+1)=

    xh(Pm)hr-1(Pm+1)[h(Pm)+(r+1)h(Pm-1)]

    由數(shù)學(xué)歸納法原理知,公式(9)對(duì)于任意自然數(shù)r都成立。

    我們定義頂點(diǎn)數(shù)記號(hào):λ=n+2-1(n+1)δ,則有

    (n-2)+2-1(n-1)δ=n+2-1(n+1)δ-2-δ=λ-2-δ

    2λ+1=(2n+1)+(n+1)δ,2λ+3+δ=(2n+3)+(n+2)δ

    注意到δ=(r+1)m+r,λ-2-δ=(n-1)+2-1nδ,則由上式可知(10)式成立;

    引理3.3設(shè)n(≥3)是奇數(shù),m≥3,r≥1,δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,則有

    h(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(1,λ-2-δ))]

    (11)

    2h(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(1,λ-2-δ))]

    (12)

    證明(ⅰ)如圖3.2所示,在圖ΨK(1,n+2-1(n+1)δ)中取邊e=V1W1,則由引理2.3和引理2.4,并注意到λ=n+2-1(n+1)δ,λ-2-δ=(n-2)+2-1(n-1)δ,我們有

    h(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(1,λ-2-δ))]

    故(11)式成立;

    (ⅱ)如圖3.2所示,在圖ΨK(2,n+2-1(n+1)δ)中均取邊e=V1W1,由引理2.3和引理2.4及(11)式,并注意到λ=n+2-1(n+1)δ,λ-2-δ=(n-2)+2-1(n-1)δ,我們有

    即(12)式也成立。

    引理3.4設(shè)n(≥3)是奇數(shù),m≥3,r≥1,δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,則有

    (13)

    (14)

    由此可知(13)式成立;

    =x[xh(ΨK(2,λ))+

    故(14)式也成立。

    引理3.5設(shè)n(≥3)是奇數(shù),m≥3,r≥1,δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,則有

    xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))

    (15)

    (ⅱ)h(ΨT(2δ,(λ+1)+2))=

    2xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))]

    (16)

    證明(ⅰ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n+1為偶數(shù),如圖3.5所示,在圖ΨT(δ,λ+1+δ)中取邊e=w1Vn+1,由引理2.3和引理2.4,即得

    xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))

    這里δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,故(15)式成立;

    (ⅱ)如圖3.5所示,在圖ΨT(2δ,λ+1+δ)中取邊e=w1Vn+1,由引理2.3和引理2.4,即得

    xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))+

    xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))]=

    2xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))]

    這里δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,故(16)式成立。

    引理3.6設(shè)n(≥3)為奇數(shù),r≥1,δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,則有

    (17)

    2xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))]

    (18)

    證明(ⅰ)如圖3.4所示,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n+1為偶數(shù),則d(Vn)=r+3,d(Vn+1)=2,

    這里δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,λ-2-δ=(n-2)+2-1(n-1)δ,故(17)式成立;

    xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))]=

    xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))+

    xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))]=

    2xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))]

    設(shè)k是任意自然數(shù),q是奇數(shù),2≤r∈N,δ=(r+1)m+r,我們引入圖的頂點(diǎn)記號(hào)

    λk=(2kq-1)+2k-1qδ,容易推知λ1=(2q-1)+qδ,λk=2λk-1+1(k≥2)

    設(shè)n是形如n=2k-1q-1的奇數(shù),注意到λk=(2kq-1)+2k-1qδ,則計(jì)算可得

    2λ+1=(2n+1)+(n+1)δ=(2kq-1)+2k-1qδ=λk

    (19)

    λ=n+2-1(n+1)δ=(2k-1q-1)+2k-2qδ=λk-1

    (20)

    4 因式分解定理

    定理4.1設(shè)r(≥1)是任意自然數(shù),m∈N,m≥3,,δ=(r+1)m+r,則有

    (21)

    (22)

    證明對(duì)于?r∈N,r≥1,m≥3,注意到h(K1)=x,由引理2.5、(13)和(6)兩式,即得

    xr+1[h(Pm)+(r+1)h(Pm-1)]=

    h(Pm)hr-1(Pm+1)h(Ψ(r+1),m)

    即(21)式成立;根據(jù)(21)式及引理2.5,容易推知(22)成立。

    定理4.2設(shè)n(≥3)為奇數(shù),r≥1,δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,則有

    (23)

    (24)

    證明(ⅰ)若n(≥3)為奇數(shù)時(shí),注意到δ=(r+1)m+r,λk=(2kq-1)+2k-1qδ,由引理2.5、(17)和(14)兩式,即得

    x2h(ΨK(2,λ))[h(ΨK(2,λ))+

    這里λ=n+2-1(n+1)δ,λ-2-δ=(n-2)+2-1(n-1)δ,故(23)式成立。

    (ⅱ)根據(jù)引理2.4及(23)式,立即推知(24)式也成立。

    把(19)和(20)兩式依次代入(23)和(24)兩式,我們有如下的

    定理4.3設(shè)?k∈N,q是奇數(shù),r≥1,λk=(2kq-1)+2k-1qδ,則有

    (25)

    (26)

    定理4.4設(shè)?k∈N,q(≥3)是奇數(shù),λk=(2kq-1)+2k-1qδ,δ=(r+1)m+r,則有

    (27)

    (28)

    證明(ⅰ)對(duì)自然數(shù)k≥2作數(shù)學(xué)歸納法:當(dāng)k=2時(shí),由(25)式易推知

    此時(shí)(35)式成立:假定結(jié)論對(duì)于k-1成立,對(duì)于k的情形,由引理2.5、(25)式及歸納假定即得

    由此可知當(dāng)k時(shí)結(jié)論也成立,故由數(shù)學(xué)歸納法原理知,對(duì)于任意的自然數(shù)k≥2,(27)式成立;

    (ⅱ)根據(jù)引理2.4及(27)式,立即推知(28)式也成立。

    定理4.5設(shè)n(≥3)為奇數(shù),r≥1,δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,則有

    (29)

    ΨT(2δ,(λ+1)+2))

    (30)

    證明(ⅰ)若n(≥3)為奇數(shù)時(shí),注意到δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,由引理2.5、(18)和(16)兩式,即得

    2xh(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(2,λ))]=

    這里δ=(r+1)m+r,λ+1=(n+1)+2-1(n+1)δ,故(29)式成立;

    (ⅱ)根據(jù)引理2.4及(29)式,立即推知(30)式也成立。

    定理4.6設(shè)n(≥3)為奇數(shù),r≥1,δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,則有

    h(Pm)hr-1(Pm+1)h(Ψ(r+1),

    (31)

    (32)

    證明(ⅰ)若n(≥3)為奇數(shù)時(shí),注意到δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,以及λ+1=(n+1)+2-1(n+1)δ,由引理2.5、(29)和(21)兩式,即得

    故(31)式成立;

    (ⅱ)根據(jù)引理2.4及(31)式,立即推知(32)式也成立。

    5 圖的色價(jià)性分析

    在給出幾類圖的伴隨分解的基礎(chǔ)上,我們來(lái)討論這些圖色等價(jià)性。

    證明根據(jù)(28)式知

    定理5.2設(shè)n(≥3)為奇數(shù),r≥1,δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,則圖簇

    證明根據(jù)(24)式知

    仿此,根據(jù)定義2.2和引理2.2以及(26)、(28)、(30)、(32)等四個(gè)公式,同法可證如下的幾個(gè)結(jié)論:

    定理5.5設(shè)n(≥3)為奇數(shù),r≥1,δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,則圖簇

    定理5.6設(shè)n(≥3)為奇數(shù),r≥1,δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,

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