多級變胞機構(gòu)的剛度調(diào)控分析

李延斌， 劉 濤，， 劉玉旺， 葛 壯， 苑婷雯

(1. 沈陽工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院， 沈陽 110870； 2. 中國科學(xué)院沈陽自動化研究所 機器人學(xué)國家重點實驗室， 沈陽 110016)

連續(xù)型多級變胞機構(gòu)具有很強的自適應(yīng)性和避障能力，受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[1].單電機驅(qū)動連續(xù)型伸縮機械臂，因其特有的剪叉機構(gòu)構(gòu)型，既保留了連續(xù)型機械臂的靈活特性，同時具備自由伸縮功能，適應(yīng)更加多樣化的復(fù)雜環(huán)境[2].但目前關(guān)于多級變胞機構(gòu)的剛度調(diào)控研究還較少.

Qi等[3]介紹了串聯(lián)雙層平面彈簧的連續(xù)體機械手結(jié)構(gòu)設(shè)計；Chautems等[4]基于相變材料設(shè)計了一個用于微創(chuàng)手術(shù)的變剛度磁性連續(xù)裝置；Chu等[5]提出了針對欠驅(qū)動方式的彈簧設(shè)計參數(shù)的度量標準；屈淑維等[6]提出對串聯(lián)機械臂系統(tǒng)誤差和隨機誤差進行分析的方法；Xu等[7]介紹了繩索驅(qū)動的超冗余柔性臂；Cui等[8]考慮了彈簧的參數(shù)對抓取范圍的影響以及彈簧對自適應(yīng)性的影響，通過量化突出了分析方程，對彈簧的抓取穩(wěn)定性進行了分析；Dalibor等[9]提出了一種自適應(yīng)抓取機器人來檢測和識別物體的方法，并優(yōu)化了基于傳感器反饋算法來實現(xiàn)物體抓??；王宏等[10]對機器人導(dǎo)航中振動檢測傳感器的反饋做了研究；曹燕飛等[11-12]介紹了一款用于微創(chuàng)手術(shù)的連續(xù)型機器人，通過驅(qū)動布置在連接器上的柔性電纜，來實現(xiàn)整體臂的彎曲；彭鶴等[13]介紹了具有一定避障和過彎能力，可以完成油氣管道特殊工況下的檢測和維修的爬行機器人；Yang等[14]介紹了一種利用彈性材料合金驅(qū)動桿提供運動的連續(xù)體機器人；張瀟等[15]利用虛功原理對復(fù)合剪叉式機械臂進行力學(xué)建模，并對剪叉臂在極限情況下的受力情況進行分析.

綜上所述，學(xué)者們對變胞機構(gòu)的機構(gòu)學(xué)和運動學(xué)開展了較為廣泛的研究，取得了大量的研究成果.但對多級變胞機構(gòu)的剛度調(diào)控機理方向還未進行深入系統(tǒng)研究，尚未有該類機器人的剛度調(diào)控策略，而剛度調(diào)控策略作為實現(xiàn)多級變胞機構(gòu)的關(guān)節(jié)柔順性，提高多級變胞機構(gòu)的集成度，實現(xiàn)多級變胞機構(gòu)緊湊化的一種重要方法，對其進行深入研究對于多級變胞機構(gòu)機器人更好地走進人們的日常生活有著十分重要的意義.

本文針對一種新型單電機驅(qū)動多級變胞象鼻機器人開展剛度調(diào)控研究工作.根據(jù)結(jié)構(gòu)之間的相似關(guān)系，將該多級變胞機構(gòu)離散化為8個單元，通過單級變胞機構(gòu)對包含彈簧在內(nèi)的單元進行力學(xué)建模與力學(xué)特性分析，建立了多級變胞機構(gòu)的力學(xué)模型，然后基于單級變胞機構(gòu)的剛度分析，進而得到多級變胞機構(gòu)的剛度分析結(jié)果，最后基于實驗測試數(shù)據(jù)可以對彈簧的安裝位置、彈簧的安裝角度以及彈簧剛度等特性進行確定，最終實現(xiàn)了多級變胞機構(gòu)的性能最優(yōu)化.

1 靜力學(xué)分析

象鼻機器人由9個單元組成，其中第一單元為基本單元，其他8個為驅(qū)動單元，由上至下分別為第一單元至第八單元，僅由一個電機驅(qū)動.這9個單元可以實現(xiàn)平面內(nèi)的彎曲和拉伸運動，使機器人能夠保持各種形態(tài)，如圖1a所示.象鼻機器人由多級變胞機構(gòu)組成，由于剛度調(diào)控彈簧的存在，在彎曲過程中，當(dāng)變形機構(gòu)與物體接觸時，相應(yīng)的變形機構(gòu)會發(fā)生自適應(yīng)變形，如圖1b所示.

由于多級變胞機構(gòu)是由多個單級變胞機構(gòu)串聯(lián)組成的，在分析多級變胞機構(gòu)力學(xué)特性時，需考慮到各個單級變胞機構(gòu)力學(xué)特性的傳遞，故采用先局部再整體的方法，先對單級變胞機構(gòu)進行分析.表1為變量符號定義表.

圖1 象鼻機器人結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of elephant-trunk robot

1.1 單級變胞機構(gòu)的力學(xué)分析

當(dāng)多級變胞機構(gòu)抱持物體時，在各級變胞機構(gòu)適應(yīng)不同形狀的物體過程中，各級變胞機構(gòu)中的彈簧也會發(fā)生變形，在分析時，首先針對單級變胞機構(gòu)進行分析，最后一級變胞機構(gòu)受力圖如圖2所示.設(shè)AE長度為l4，彈簧的形變量為

Δx=x0-l3

(1)

彈簧的彈力為

F彈=kΔx=k(x0-l3)

(2)

所以，A點的力矩平衡方程為

F彈sin∠GFA·l1=FNl4

(3)

可得

表1 變量符號定義Tab.1 Variable symbol definition

(4)

圖2 最后一級變胞機構(gòu)受力圖Fig.2 Force diagram of last stage metamorphic mechanism

1.2 多級變胞機構(gòu)的力學(xué)分析

多級變胞機構(gòu)各級之間采用串聯(lián)方式進行連接，各級之間的連接點為A、B兩點，其在抱持物體時的受力狀態(tài)如圖3所示.

圖3 多級變胞機構(gòu)之間的力學(xué)關(guān)系Fig.3 Mechanical relationship among multi-stage metamorphic mechanisms

2 剛度分析

在抱持不同形狀與尺寸的物體過程中，每個單級變胞機構(gòu)也會受到與物體直接接觸的支持力與摩擦力的作用，其內(nèi)部也存在著柔性的彈簧與剛性的連桿之間的耦合，同時，由于自適應(yīng)力的大小與彈簧剛度、長度以及安裝位置均存在著密不可分的聯(lián)系，因此，對于彈簧的自身參數(shù)以及安裝參數(shù)的確定極為重要.可以將單級變胞機構(gòu)作為模型，對其進行彈簧剛度與自適應(yīng)特性之間關(guān)系的確定，將不同級變胞機構(gòu)的參數(shù)代入，進而可以求出各級變胞機構(gòu)的最佳彈簧剛度.

2.1 單級變胞機構(gòu)的剛度分析

本文所提出的多級變胞機構(gòu)每個單元的底部連桿和支撐連桿均有可供調(diào)節(jié)彈簧位置的安裝孔，通過對彈簧位置的調(diào)節(jié)可以得到不同的抱持曲線.圖4為單級變胞機構(gòu)在彎曲抱持時的受力分析.

圖4 力關(guān)系圖Fig.4 Force relation diagram

由于每一單元結(jié)構(gòu)相同，故只需仿真其中某一個單元即可，圖4中，負載為F′，E點為載荷作用點，l3則由負載決定，由于l1和l2位置固定，設(shè)AE的長度為l4，∠GFA為θt，則角度θt由l3決定，其他參數(shù)均可由測量獲得.

當(dāng)某一關(guān)節(jié)在自適應(yīng)過程中處于平衡狀態(tài)時，此關(guān)節(jié)存在如下關(guān)系：

(5)

(6)

由以上兩個公式可以得出負載與彈簧的剛度系數(shù)，負載與角度之間的關(guān)系為

(7)

(8)

2.2 多級變胞機構(gòu)的剛度分析

多級變胞機構(gòu)剛度調(diào)控的任務(wù)可以分為兩部分：一部分是對各級變胞機構(gòu)中的彈簧長度、安裝位置等相關(guān)幾何關(guān)系的確定；另一部分是對各級變胞機構(gòu)中的彈簧剛度進行確定.

2.2.1 彈簧長度和安裝位置的幾何關(guān)系分析

首先針對單級變胞機構(gòu)進行分析，如圖4所示，設(shè)彈簧的原長為x0，彈簧的剛度系數(shù)為k，∠GFA接近90°時，彈簧彈力用于抵抗自適應(yīng)變形時的分配比例最大，由余弦定理可得

(9)

因為l3為彈簧在自適應(yīng)過程中的長度，而彈簧是標準件，因此彈簧的長度是規(guī)定好的，因此，需要確定l1、l2與∠GFA的關(guān)系.

由于各級變胞機構(gòu)中存在比例關(guān)系，可以確定各級中θt的大小是不變的，取第一級變胞機構(gòu)支撐連桿的長度為a，則第n級變胞機構(gòu)中支撐連桿的長度為apn-1.以最后一級變胞機構(gòu)為例，則有

a8=ap7=80×0.957=55.87 mm

(10)

取l3的原長小于a8，經(jīng)過查閱機械設(shè)計手冊，取l3=35 mm，由于彈簧的最大壓縮量為自身長度的30%，因此，彈簧的最短長度為24.5 mm.

經(jīng)過對l3長度相關(guān)參數(shù)的確定，可以得到l1、l2與∠GFA的關(guān)系，如圖5所示.

為了保證彈簧彈力沿著底部連桿方向的分力與接觸點處的摩擦力可以相互抵消一部分，進而可以減小對于連接軸的壓力，故需要保證0°<φ1<90°，可得

圖5 l1、l2與∠GFA的關(guān)系曲面Fig.5 Relation surface of l1，l2 and ∠GFA

(11)

同樣可以得到l1、l2與φ1的關(guān)系，如圖6所示.

圖6 l1、l2與φ1的關(guān)系曲面Fig.6 Relation surface of l1，l2 and φ1

由上述兩幅曲面圖可知l1、l2與∠GFA、φ1的關(guān)系，為了確定最優(yōu)位置，需要將兩幅曲面圖進行合并，由于∠GFA和φ1的角度范圍存在偏差，因此選擇將∠GFA的角度減小50°(此角度為自己設(shè)定的角度，目的為利用圖解法方便求解，只需要后期將其換算回來即可)，其結(jié)果如圖7所示.兩平面相交的交線正是在同一變胞機構(gòu)中安裝位置l1、l2相同的情況下，分別對應(yīng)的∠GFA和φ1.

圖7 兩平面的相交曲面Fig.7 Intersection surface of two planes

2.2.2 彈簧剛度分析

關(guān)于各級變胞機構(gòu)中彈簧剛度的確定，前文已經(jīng)將多級變胞機構(gòu)之間內(nèi)部傳遞的力進行了求解，因此，可以將單級變胞機構(gòu)作為模型，對其進行彈簧剛度與自適應(yīng)特性之間關(guān)系的確定，進而將不同級變胞機構(gòu)的參數(shù)代入，可以求出最佳的彈簧剛度.其中，彈簧彈力F彈與接觸點處的正壓力FN之間的關(guān)系為

F彈sin∠GFA·l1=FNl4+FDc

(12)

變形可得

(13)

式中，ci為第i級變胞機構(gòu)底部連桿的長度.

2.3 剛度調(diào)控特性參數(shù)確定

2.3.1 彈簧安裝位確定

1) 第八級變胞機構(gòu)中彈簧安裝位置的確定.經(jīng)過針對兩個曲面交線的確定，可得交線上21 805個數(shù)據(jù)滿足要求，初始位置時，l3=35 mm，φ1=30.1°，∠GFA=80.1°；末態(tài)位置時，l3=24.5 mm，φ1=53.4°，∠GFA=104.1°.由以上數(shù)據(jù)可得φ1與l3之間的關(guān)系如圖8所示.

圖8 包絡(luò)角φ1與安裝位置l3的關(guān)系曲線圖Fig.8 Relation curve between envelop angle φ1 and installation site l3

由φ1與l3的關(guān)系曲線圖可知，在l3的整個變化過程中，φ1值一直在(0°，90°)的范圍內(nèi)，因此滿足結(jié)構(gòu)上的要求.∠GFA與l3之間的關(guān)系如圖9所示.

圖9 l3與∠GFA的關(guān)系曲線圖Fig.9 Relation curve between l3 and ∠GFA

由于要求∠GFA的大小盡量在90°附近，由l3與∠GFA的關(guān)系曲線圖可知，∠GFA的變化范圍為(80°，105°)之間，基本在90°附近變化.同時，為了提供較大的包絡(luò)角φ1，故選取圖7的末態(tài)極限位置作為安裝位置，此時在圖7中對應(yīng)的數(shù)據(jù)為l1=26.08 mm，l2=39.89 mm.故l1=26.08 mm，l2=39.89 mm為第八級變胞機構(gòu)中彈簧的最佳安裝位置.

2) 其他級變胞機構(gòu)中彈簧安裝位置的確定.按上述方法類推即可，同時根據(jù)仿生象鼻各關(guān)節(jié)的真實比例系數(shù)，得出各級變胞機構(gòu)的相關(guān)位置參數(shù)如表2所示.

表2 各級變胞機構(gòu)的彈簧安裝參數(shù)Tab.2 Spring installation parameters of metamorphic mechanisms at all levels

彈簧的安裝位置固定，此時，彈簧的最大壓縮量也就固定了，因此，當(dāng)變胞機構(gòu)承擔(dān)負載時，可以選擇剛度系數(shù)不同的彈簧，對不同質(zhì)量的物體進行自適應(yīng)調(diào)整.

2.3.2 彈簧剛度確定

經(jīng)過查閱資料可知，設(shè)最大壓縮量與自身長度的比值為h，故當(dāng)彈簧達到最大壓縮量時，存在

l3=(1-h)x0

(14)

故方程可以寫成

(15)

在第n+1級中

(16)

1) 第八級變胞機構(gòu)中剛度的確定.彈簧剛度與負載之間的關(guān)系為

(17)

為了保證在工作過程中的可靠性，需要選擇φ1的最大值，因此取φ1=53.4°的情況進行分析，l4應(yīng)取最大值即55.87 mm進行分析.

將相關(guān)參數(shù)代入后，可得

k=0.21FN

(18)

取第八級所承受的最大正壓力為10 N，可得到關(guān)系曲線如圖10所示.

圖10 正壓力與彈簧剛度系數(shù)關(guān)系曲線Fig.10 Relation curve of positive pressure vs.spring stiffness coefficient

由于在自適應(yīng)過程中，φ1的大小是不斷變化的，因此彈簧剛度也會與φ1存在一定的關(guān)系.

同時，由余弦定理可得

根據(jù)當(dāng)前國家和教育部的要求，職業(yè)教育就是要培養(yǎng)高技能型人才，提高學(xué)生的實踐能力和對工作的適應(yīng)能力。這就要求我們職業(yè)教育的過程更加貼近工程實踐，要求我們的課程教學(xué)更能體現(xiàn)實踐要求。

(19)

又有

(20)

將式(14)～(18)與式(20)進行聯(lián)立可得

(21)

將相關(guān)參數(shù)代入，取負載為最大正壓力10 N，可得到關(guān)系曲線如圖11所示.

圖11 l3與彈簧剛度系數(shù)關(guān)系曲線Fig.11 Relation curve of l3 vs.spring stiffness coefficient

綜上所述，當(dāng)取底部連桿最遠端的正壓力為10 N時，可得彈簧剛度系數(shù)為4.28 N/mm.

2) 其他級變胞機構(gòu)中剛度的確定.除最后一級變胞機構(gòu)外，其他級變胞機構(gòu)所承受的負載還會有一部分是從后一級變胞機構(gòu)傳遞過來的，從安全性的角度出發(fā)可得

(22)

將F彈，i=ki(x0，i-l3，i)代入可得

(23)

由于第八級變胞機構(gòu)的約束反力已經(jīng)求出，而其他相關(guān)參數(shù)已知，故可由式(23)對彈簧剛度進行求解.由于各級變胞機構(gòu)之間為等比數(shù)列的關(guān)系，因此分析過程都是相似的，在第八級變胞機構(gòu)分析基礎(chǔ)上進行變形，所得結(jié)果如表3所示.取底部連桿最遠端的正壓力為10 N時為最大負載的狀態(tài).

表3 彈簧剛度系數(shù)與力學(xué)數(shù)據(jù)Tab.3 Spring stiffness coefficient and mechanical data

3 剛度分析實驗

3.1 驗證安裝位置l3與彈簧剛度系數(shù)k的關(guān)系

針對彈簧剛度與彈簧壓縮量之間的關(guān)系以及最末級變胞機構(gòu)進行實驗分析，在最后一級變胞機構(gòu)最末端施加10 N的力，對于不同剛度的彈簧，測量其壓縮量的大小，并與理論計算所得結(jié)果進行對比，進而對理論計算進行驗證.

圖12 l3和k的實驗與理論結(jié)果對比Fig.12 Comparison between experimental and theoretical results for l3 and k

經(jīng)過實驗可知，所得l3的長度與理論計算結(jié)果基本一致，l3與k為非線性關(guān)系.

3.2 驗證彈簧剛度系數(shù)k與正壓力FN的關(guān)系

采用的彈簧剛度系數(shù)分別為0.60、1.00、1.25、1.50、1.75、2 N/mm，選擇彈簧的壓縮量為10.5 mm，實驗過程如圖13所示.實驗數(shù)據(jù)與理論計算結(jié)果的對比如圖14所示.

經(jīng)過實驗可知，所得力的大小與理論計算結(jié)果基本一致，F(xiàn)N與k為線性關(guān)系.

4 結(jié) 論

本文建立了多級變胞機構(gòu)的力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上分析了多級變胞機構(gòu)之間力的傳遞特性，進而對多級變胞機構(gòu)整體力學(xué)特性進行分析與求解，同時分析了彈簧剛度、彈簧安裝位置以及安裝角度對剛度調(diào)控特性的影響，最后通過實驗驗證了理論結(jié)果的正確性，并得出以下結(jié)論：

1) 多級變胞機構(gòu)剛度調(diào)控的任務(wù)可以分為兩部分，一部分是對各級變胞機構(gòu)中彈簧長度、安裝位置等相關(guān)幾何關(guān)系的確定；另一部分是對各級變胞機構(gòu)中彈簧剛度進行確定.

圖13 實驗過程圖Fig.13 Experimental process diagram

圖14 FN和k的實驗與理論結(jié)果對比Fig.14 Comparison of experimental and theoretical results for FN and k

2) 在一定范圍內(nèi)，最佳彈簧剛度隨著安裝位置l3的增大而減小，當(dāng)最佳彈簧剛度達到最小值后，最佳彈簧剛度隨著安裝位置l3的增大而增大，兩者之間為非線性關(guān)系.

3) 在分析多級變胞機構(gòu)剛度調(diào)控問題時，可以取出單級變胞機構(gòu)作為模型，對其進行彈簧剛度與自適應(yīng)特性之間關(guān)系的確定，將不同級變胞機構(gòu)的參數(shù)代入，進而可以求出最佳的彈簧剛度，本文所提到的多級變胞機構(gòu)中的正壓力與彈簧剛度為線性關(guān)系.