虛擬孔徑高分辨測(cè)角方法

徐彥欽，崔國龍，余顯祥，葛萌萌，楊曉波

(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 成都 611731)

波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)作為陣列信號(hào)處理中的一個(gè)研究方式，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)探測(cè)、無線通信、電子偵察等領(lǐng)域[1-3]。DOA估計(jì)的分辨率主要受限于陣列孔徑，天線陣元個(gè)數(shù)或陣元間距的增加可以有效增大陣列孔徑，提高DOA 估計(jì)的分辨率[4]，但同時(shí)也極大增加了天線陣列的物理尺寸、復(fù)雜性以及成本。

文獻(xiàn)[5-7]研究出虛擬天線陣列技術(shù)可以在不改變物理陣列的前提下形成虛擬孔徑，從而增大陣列孔徑，獲得更高的角度分辨率。文獻(xiàn)[8]通過聯(lián)合未經(jīng)調(diào)制的接收信號(hào)及經(jīng)過調(diào)頻、調(diào)幅和調(diào)相等處理的接收信號(hào)，形成虛擬陣列接收信號(hào)構(gòu)造出較大的虛擬陣列孔徑。文獻(xiàn)[9]通過虛擬陣列變換，將實(shí)際物理陣列變換為陣列孔徑更大的虛擬陣列，提高了DOA 估計(jì)精度，但該方法性能受觀測(cè)區(qū)間影響。文獻(xiàn)[10-12]利用高階累積量的統(tǒng)計(jì)特性增加虛擬陣元實(shí)現(xiàn)陣列擴(kuò)展，有效擴(kuò)大了陣列孔徑，但該方法需要較多的快拍數(shù)，運(yùn)算量大，且形成的虛擬孔徑大小有限。文獻(xiàn)[13-14]提出了一種基于Khatri-Rao (KR 積)的虛擬陣列構(gòu)造方法，使得虛擬孔徑大小最多提升至實(shí)際物理陣列孔徑的兩倍。文獻(xiàn)[15-18]采用線性預(yù)測(cè)的方式進(jìn)行虛擬陣元的外推，從而實(shí)現(xiàn)了DOA 估計(jì)的高分辨性，但其外推虛擬陣元個(gè)數(shù)有限，且受信噪比影響較大。文獻(xiàn)[19]通過合成孔徑(synthetic aperture radar, SAR)方式形成虛擬孔徑，在汽車?yán)走_(dá)體制下實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的超分辨DOA 估計(jì)，然而該方法模型較為簡單，無法滿足實(shí)際汽車運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景。而多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達(dá)作為一種典型的具備虛擬孔徑特征的雷達(dá)體制，其構(gòu)建的虛擬孔徑的大小取決于發(fā)射陣元個(gè)數(shù)、接收的陣元個(gè)數(shù)以及陣元間距[20]。

為了形成更大的虛擬孔徑，本文提出了一種基于信號(hào)寬頻跳變相位補(bǔ)償?shù)奶摂M孔徑重構(gòu)方法。首先建立寬頻跳變信號(hào)的接收信號(hào)模型；然后對(duì)各頻點(diǎn)的窄帶接收信號(hào)加入補(bǔ)償相位進(jìn)行虛擬孔徑重構(gòu)處理，從而形成遠(yuǎn)大于實(shí)際物理孔徑的虛擬孔徑，其頻點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，形成的虛擬孔徑越大；最后，采用單快拍的空間非均勻傅里葉變換實(shí)現(xiàn)高分辨DOA估計(jì)。

1 信號(hào)模型

假設(shè)由單個(gè)天線分時(shí)發(fā)射如圖1 所示的寬頻跳變信號(hào)，該信號(hào)有N個(gè)頻點(diǎn)，采用步進(jìn)頻方式，則發(fā)射信號(hào)可表示為：

圖1 寬頻跳變信號(hào)示意圖

式中，s(t)為 第i個(gè) 頻點(diǎn)信號(hào)的復(fù)基帶包絡(luò)；f0為信號(hào)起始頻率；fN?1為 終止頻率；Δf為頻率步進(jìn)間隔；fi=f0+iΔf為第i個(gè) 頻點(diǎn)；τ為各頻點(diǎn)信號(hào)持續(xù)時(shí)間；TP為 載頻間隔時(shí)長；r ect(t/τ)為矩形函數(shù)。

考慮由M個(gè)陣元組成的均勻接收線陣，其間距為d，假設(shè)從空間遠(yuǎn)場(chǎng)觀察到有K個(gè)方向的寬頻跳變信號(hào)(k=1,2,···,K)入射到該陣列，且每個(gè)入射的寬頻跳變信號(hào)都由N個(gè)頻點(diǎn)的窄帶信號(hào)sk(t)ej2πfit(i=0,1,···,N?1) 組成，則N個(gè)頻點(diǎn)的陣列接收信號(hào)可表示為：

式中，[·]T表 示轉(zhuǎn)置操作；sk(t)為第k個(gè)寬頻跳變信號(hào)中的復(fù)基帶包絡(luò)；xi(t)為 頻點(diǎn)fi處的接收信號(hào)向量；vi(t)為M個(gè)陣元的高斯白噪聲矢量，滿足均值為零，方差為；θk為 第k個(gè)信號(hào)的入射角度；向量ai(θk)表示第k個(gè)信號(hào)在頻率點(diǎn)fi處的導(dǎo)向矢量，定義為：

式中，φi(θk)=2πdsin(θk)/λi為頻率fi處的空間相位；λi=c/fi為載波波長；c為光速。

2 基于虛擬孔徑的高分辨DOA 估計(jì)

2.1 虛擬孔徑重構(gòu)原理

根據(jù)式(3)的導(dǎo)向矢量模型，可知空間相位φ與陣元間距d的變換關(guān)系為：φ=2πdsin(θk)/λ。根據(jù)此變換關(guān)系，若在接收信號(hào)中加入補(bǔ)償相位 φ，可得到平移間距：

式中，dmove為物理陣列與虛擬陣列之間的平移間距。

對(duì)N?1個(gè)頻點(diǎn)的接收信號(hào)分別加入不同的補(bǔ)償相位 φi，使得物理陣列在不同頻點(diǎn)處產(chǎn)生不同的陣列平移di,move，以此達(dá)到陣列擴(kuò)展的目的，從而實(shí)現(xiàn)虛擬孔徑的重構(gòu)。

假設(shè)在第n次采樣快拍中，對(duì)第k個(gè)寬頻跳變信號(hào)進(jìn)行相位補(bǔ)償，其中第i個(gè)頻點(diǎn)信號(hào)的補(bǔ)償相位為 φi，如圖2 所示。

圖2 虛擬孔徑重構(gòu)示意圖

最后對(duì)補(bǔ)償后的N個(gè)頻點(diǎn)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)排序。則第k個(gè)寬頻跳變信號(hào)在虛擬孔徑上的接收信號(hào)向量可表示為：

2.2 相位補(bǔ)償原理

圖3 相位補(bǔ)償?shù)奶摂M孔徑重構(gòu)框圖

對(duì)第一個(gè)頻點(diǎn)信號(hào)的導(dǎo)向矢量a1(θk)分析可得，向量a1(θk)可 等效為復(fù)正弦信號(hào)的M次時(shí)域采樣序列，其信號(hào)頻率為f=dsin(θk)，采樣間隔為1 /λ1。因此，各頻點(diǎn)的導(dǎo)向矢量可等效為周期是T=1/f的復(fù)正弦信號(hào)的M次時(shí)域采樣序列，且第i個(gè)頻點(diǎn)的采樣間隔為1 /λi，如圖4 所示。其中，第i個(gè)頻點(diǎn)的導(dǎo)向矢量ai(θk)對(duì) 應(yīng)的M個(gè)采樣值yi(n)表示為：

因此，第i個(gè)采樣序列可表示為：

將所有頻點(diǎn)的采樣序列yi(i=0,1,···,N?1)在時(shí)序上直接排列成一組間斷的非均勻采樣序列y=，同時(shí)定義y為虛擬導(dǎo)向矢量等效的采樣序列。其中，y的 實(shí)部采樣序列如圖4所示。

圖4 采樣序列 y的實(shí)部采樣時(shí)序圖

在上述采樣時(shí)序中，各頻點(diǎn)的采樣序列起始采樣值為1，且第M個(gè)采樣值為 e?j2πf(M?1)/λi。對(duì)序列yi的 起始采樣值加入補(bǔ)償相位值 φi，使其等于序列yi?1的 第M個(gè)采樣值。由于加入相位補(bǔ)償后，序列yi在 時(shí)序上進(jìn)行平移，從而連續(xù)地拼接在序列yi?1之后，因此，加入N?1個(gè)補(bǔ)償相位后，各頻點(diǎn)的采樣序列能完全重構(gòu)為連續(xù)的復(fù)正弦信號(hào)的采樣序列，如圖5 所示。

圖5 重構(gòu)后虛擬導(dǎo)向矢量的實(shí)部采樣時(shí)序圖

以y0、y1為 例，對(duì)y1的采樣序列進(jìn)行相位補(bǔ)償后，有：

可得到y(tǒng)2采 樣序列對(duì)應(yīng)的補(bǔ)償相位φ1=2πf(M?1)/λ0=(M?1)φ0(θk)。此時(shí)，補(bǔ)償相位為第零個(gè)頻點(diǎn)信號(hào)在第1 個(gè)陣元與第M個(gè)陣元之間的空間相位差。

再對(duì)y2進(jìn)行相位補(bǔ)償，即：

可得到y(tǒng)2對(duì)應(yīng)的補(bǔ)償相位為：

同理，可推導(dǎo)出采樣序列yi的 補(bǔ)償相位 φi是第1 個(gè)陣元與第M個(gè)陣元之間的空間相位差，并依次相加：

通過比相單脈沖測(cè)角法[21]可得到陣元1 與陣元M之間的相位差 Δψi?1=(M?1)φi?1(θk)，然后對(duì)空間相位差依次相加，即可得到各個(gè)頻點(diǎn)信號(hào)的補(bǔ)償相位：φi=Δψ0+Δψ1+··· +Δψi?1。

為保證采樣序列重構(gòu)的連續(xù)性，本文對(duì)后N?1個(gè) 采樣序列中的前M?1個(gè)采樣值進(jìn)行相位補(bǔ)償，使其重構(gòu)為復(fù)正弦信號(hào)的時(shí)域采樣序列yˉ，其采樣個(gè)數(shù)為N(M?1)。定義yˉ為等效的虛擬導(dǎo)向矢量：

綜上所述，通過對(duì)各頻點(diǎn)信號(hào)進(jìn)行相位補(bǔ)償，使得物理孔徑重構(gòu)為更大的虛擬孔徑，從而獲得更高的角度分辨，其孔徑大小主要取決于重構(gòu)頻點(diǎn)個(gè)數(shù)N。虛擬孔徑重構(gòu)算法的具體步驟如下：1)測(cè)量前N?1個(gè) 頻點(diǎn)信號(hào)在第1 個(gè)陣元與第M個(gè)陣元間的空間相位差；2)取各個(gè)頻點(diǎn)導(dǎo)向矢量前M?1個(gè)值進(jìn)行排列，形成采樣序列；3)將測(cè)量得到的空間相位差作為補(bǔ)償相位 φi加入到采樣序列，使其重構(gòu)為一條復(fù)正弦信號(hào)的非均勻采樣序列；4)得到虛擬導(dǎo)向矢量。

2.3 多目標(biāo)相位補(bǔ)償性能分析

在單目標(biāo)的相位補(bǔ)償原理中，可知補(bǔ)償相位與目標(biāo)角度有關(guān)，本節(jié)對(duì)多目標(biāo)的相位補(bǔ)償進(jìn)行性能分析。假設(shè)陣列接收到來自 θ1、θ2方向的兩個(gè)入射信號(hào)，則式(2)中的第i個(gè)頻點(diǎn)的接收信號(hào)在第n次的采樣快拍模型可表示為：

同理，第i個(gè)頻點(diǎn)的補(bǔ)償相位 φi可表示為：

根據(jù)式(16)，可知 e?jφ1由兩個(gè)相位差疊加形成，因此，加 入補(bǔ)償相位 φ1后，可得到導(dǎo)向矢量如下：

式(18)中，前兩項(xiàng)分別為不同目標(biāo)的導(dǎo)向矢量通過相位補(bǔ)償重構(gòu)形成的虛擬導(dǎo)向矢量，而最后一項(xiàng)為多余的交叉項(xiàng)。在此交叉項(xiàng)中，由于補(bǔ)償相位中的角度與目標(biāo)導(dǎo)向矢量的角度不匹配，因此會(huì)對(duì)DOA 估計(jì)性能以及其旁瓣形狀造成不同程度的影響。

3 仿真結(jié)果

本節(jié)主要通過仿真實(shí)驗(yàn)分析評(píng)估所提方法的有效性及性能。設(shè)置陣元個(gè)數(shù)為M=16，其余參數(shù)如表1 所示。

表1 仿真參數(shù)表

3.1 單目標(biāo)場(chǎng)景

假設(shè)單目標(biāo)的入射角度為 θk=20°，信噪比設(shè)為 20 dB，采用相位補(bǔ)償?shù)姆椒▽?duì)各頻點(diǎn)信號(hào)向量進(jìn)行虛擬導(dǎo)向矢量的重構(gòu)。圖6a 表示了第一個(gè)頻點(diǎn)a1(θk)的實(shí)部采樣序列，而圖6b 表示了前4 個(gè)頻點(diǎn)重構(gòu)之后的虛擬導(dǎo)向矢量的實(shí)部采樣序列。

從圖6b 的仿真結(jié)果可知，對(duì)前4 個(gè)頻點(diǎn)導(dǎo)向矢量進(jìn)行補(bǔ)償相位后，能有效地將采樣序列重構(gòu)為一個(gè)更長的正弦信號(hào)的采樣序列，此序列為虛擬導(dǎo)向矢量的采樣序列。由于不同頻點(diǎn)序列采樣間隔不一致，所以該序列是一個(gè)非均勻的采樣序列。

圖6 重構(gòu)前后導(dǎo)向矢量的實(shí)部采樣序列對(duì)比圖

接下來，對(duì)虛擬孔徑重構(gòu)的接收信號(hào)進(jìn)行空間非均勻傅里葉變換。圖7 表示了對(duì)虛擬導(dǎo)向矢量進(jìn)行空間非均勻傅里葉變換的歸一化DOA 估計(jì)圖，其中虛線為物理孔徑的DOA 估計(jì)圖，實(shí)線為虛擬孔徑的DOA 估計(jì)圖。

圖7a 的虛擬孔徑使用了4 個(gè)頻點(diǎn)進(jìn)行重構(gòu)，然后使用虛擬孔徑進(jìn)行DOA 估計(jì)，其中物理孔徑方向圖的主瓣寬度約為 6.8°，而虛擬孔徑DOA估計(jì)圖的主瓣寬度約為1 .8°，其角度分辨率大約提高了4 倍。圖7b 的虛擬孔徑重構(gòu)了10 個(gè)頻點(diǎn)，其主瓣寬度能達(dá)到 0.7°，角度分辨率大約提高了9倍。因此，在單目標(biāo)的場(chǎng)景下，通過虛擬孔徑的重構(gòu)可有效地提高角度分辨率，其提升的倍數(shù)約為重構(gòu)的頻點(diǎn)數(shù)。

圖7 空間非均勻傅里葉變換的DOA 估計(jì)對(duì)比圖

3.2 多目標(biāo)場(chǎng)景性能分析

假設(shè)陣列接收到兩個(gè)信號(hào)，其入射角度分別為θ1=20°、θ2=25°，信噪比均為 20 dB，同樣使用單目標(biāo)的相位補(bǔ)償方法對(duì)兩目標(biāo)的各頻點(diǎn)導(dǎo)向矢量進(jìn)行重構(gòu)，從而構(gòu)建虛擬孔徑。圖8 為重構(gòu)了4 個(gè)頻點(diǎn)的導(dǎo)向矢量后的歸一化DOA 估計(jì)圖。

圖8 兩目標(biāo)空間非均勻傅里葉變換的DOA 估計(jì)對(duì)比圖

由圖8 可知，實(shí)際的物理孔徑已無法有效區(qū)分兩個(gè)目標(biāo)，而通過單目標(biāo)的相位補(bǔ)償方法重構(gòu)形成虛擬孔徑，可有效地分辨出角度相近的兩個(gè)目標(biāo)，其DOA 估計(jì)的角度分別為1 8.8°、2 6.3°。但由于交叉項(xiàng)的影響，DOA 估計(jì)角度與實(shí)際目標(biāo)角度存在1°左右的誤差。

若設(shè)置陣元個(gè)數(shù)為M=50，其目標(biāo)角度分別為θ1=20°、θ2=21.5°。圖9 為重構(gòu)了10 個(gè)頻點(diǎn)導(dǎo)向矢量的DOA 估計(jì)對(duì)比圖，從圖中可知，通過虛擬孔徑的重構(gòu)，有效地實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)角度相差1 .5°的分辨，同時(shí)由交叉項(xiàng)帶來的誤差僅有 0.4°左右。所以，其角度分辨率也會(huì)受實(shí)際物理陣元個(gè)數(shù)的影響，物理陣元越多，由交叉項(xiàng)引起的多目標(biāo)DOA估計(jì)誤差越小。

圖9 兩目標(biāo)空間非均勻傅里葉變換的DOA 估計(jì)對(duì)比圖

4 結(jié)束語

本文針對(duì)陣列孔徑有限而導(dǎo)致DOA 估計(jì)角度分辨率較低的問題，通過利用虛擬孔徑重構(gòu)的思想，提出了一種基于信號(hào)寬頻跳變的相位補(bǔ)償虛擬孔徑重構(gòu)方法。通過對(duì)寬頻跳變信號(hào)的各個(gè)頻點(diǎn)進(jìn)行相位補(bǔ)償，使物理陣列發(fā)生平移，然后進(jìn)行虛擬孔徑重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了虛擬陣列的擴(kuò)展，從而達(dá)到了形成遠(yuǎn)大于物理孔徑的虛擬孔徑的目的，有效地提高了DOA 估計(jì)的分辨率，且計(jì)算較為簡單。通過仿真實(shí)驗(yàn)和數(shù)值分析，證明了該方法的有效性。